微分方程及其應(yīng)用

1、第九章 微分方程及其應(yīng)用§9.1 微分方程及其相關(guān)概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程： . . .只含一個(gè)自變量的微分方程,稱為常微分方程,自變量多于一個(gè)的稱為偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各節(jié)提到微分方程時(shí)均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如，、為一階方程，、為二階方程，而為n階方程。微分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導(dǎo)數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程的目的是尋找未知函數(shù)本身。如果P19

2、6有一個(gè)函數(shù)滿足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成（對(duì)自變量的）恒等式，這個(gè)函數(shù)就叫做微分方程的解。例如顯然是的解，因?yàn)?。若方程解中含有?dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，例如就是的通解。從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱為微分方程的特解。例如就是的一個(gè)特解。用來確定通解中任意常數(shù)值的條件稱為定解條件，當(dāng)自變量取某個(gè)值時(shí)，給出未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值的條件稱為初始條件。在本章中，我們遇到的用來確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條件。例如，如果的初始條件為，則在代入到通解后，可以求得，從而得到特解。一般的，因?yàn)殡A微分方程的通解中含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。需要

3、有個(gè)（一組）定解條件，所以階方程的初始條件為：其中為個(gè)給定常數(shù)。微分方程的解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線，特解所對(duì)應(yīng)的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條。例如，方程的積分曲線族如圖9所示。其中就是滿足初始條件的特解。§9.2 微分方程的經(jīng)典案例例1 自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律自由落體運(yùn)動(dòng)是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓第二定律：物體動(dòng)量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度的絕對(duì)值不大（與光速=3km/s相比較）時(shí)，其質(zhì)量可以是一恒量。于是這一運(yùn)動(dòng)定律能表達(dá)成或 （1）其中表示物體

4、所受外力的合力。對(duì)于僅受到地球引力作用的自由落體的運(yùn)動(dòng)，則有：這里表示重力加速度，其大小一般取為：；表示自由落體運(yùn)動(dòng)的路程，其大小以表示之。注意到的方向與的方向一致，將代入式后得到自由落體運(yùn)動(dòng)立場(chǎng)大小變化的規(guī)律： 或 （2）運(yùn)動(dòng)規(guī)律式表示一個(gè)微分方程問題。等式（2）的左端是路程大小的二次微商它的右端是常數(shù)。這里和之間不是普通的函數(shù)關(guān)系，而是二微商的關(guān)系。例2 單擺運(yùn)動(dòng)單擺又稱為鐘擺或數(shù)學(xué)擺。所謂單擺運(yùn)動(dòng)是指一質(zhì)量為>0的小球，用長度為的柔軟細(xì)繩拴住，細(xì)繩的一端固定在某點(diǎn)O處。小球在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，略去空氣的阻力和細(xì)繩在O點(diǎn)處的摩擦力。并且認(rèn)為細(xì)繩的長度不變，僅考慮地球的引力和細(xì)繩對(duì)小球的

5、拉力（見圖92）。在鉛垂平面內(nèi)引進(jìn)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的極坐標(biāo)系統(tǒng)，由于細(xì)繩長度不變且細(xì)繩總是直的，所以小球的位置用一個(gè)坐標(biāo)就能表示。這里表示細(xì)繩和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對(duì)應(yīng)的為零。作用在小球上的地球引力的大小為，其方向鉛垂向下。重力沿細(xì)繩方向的分力的大小為，其方向沿細(xì)繩指向外。這個(gè)力與小球運(yùn)動(dòng)所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細(xì)繩方向沒有運(yùn)動(dòng)。重力在垂直于細(xì)繩方向的分力的大小為，它的方向與角增加的方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得到單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為： （3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：于是從式（3）得出： （4）關(guān)系式（4）是包含及其二接微商的方程，并且不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程

6、中（以這種非線性形式）。從方程（4）來求出隨著時(shí)間變化規(guī)律的分析表達(dá)式是困難的。當(dāng)比較小時(shí)，對(duì)微分方程（4）能夠進(jìn)行線性化出處理，即用代替，或者說，用來近似。這樣得到式（4）的線性化微分方程： 在相同初始條件下服從微分方程求得的隨時(shí)間變化的規(guī)律是單擺運(yùn)動(dòng)的近似規(guī)律。通常將式寫成如下的規(guī)范形式： （5）其中 。例3 真空中的拋射體運(yùn)動(dòng)在真空中運(yùn)動(dòng)的拋射體，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律十分復(fù)雜。這里僅考慮在真空中拋射體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即忽略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為的拋射體受地球引力作用而引起的運(yùn)動(dòng)。取一直角坐標(biāo)系，軸沿水平方向；軸垂直于軸；軸垂直于平面，并與軸、軸一起組成右手坐標(biāo)系。依牛頓第二定律，拋射體

7、的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為： （6）拋射體的初始狀態(tài)取為： 其中是拋射體的初始速度，位于平面內(nèi)，表示的大??；表示與水平方向（即軸）之間的夾角（見圖9-4）。例4 深水炸彈的水下運(yùn)動(dòng)一質(zhì)量為的深水炸彈，從高為處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運(yùn)動(dòng)，而僅考慮它在鉛直方向的運(yùn)動(dòng)。由經(jīng)典力學(xué)知：物體由高為處自由下落至海平面時(shí)，其鉛垂方向的速度為：這里為重力加速度。按如下方式取定坐標(biāo)系：坐標(biāo)原點(diǎn)取在海平面上某處， 軸沿鉛垂向下，（見圖9-5）。深水炸彈自高度為處自由下落至海平面的時(shí)間為。于是深水炸彈的初始狀態(tài)為： 深水炸彈在海中運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們不考慮海水對(duì)它的浮力，這時(shí)炸彈受到兩個(gè)力的作用，：一是地球引力，

8、其方向鉛垂向下；另一個(gè)是海水對(duì)炸彈的摩擦力。這個(gè)摩擦力是很復(fù)雜的，它和炸彈的形狀、速度等因素有關(guān)，這里近似的認(rèn)為摩擦力的大小和炸彈的速度成正比，比例系數(shù)即摩擦系數(shù)為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是鉛垂向上的。于是摩擦力能表示為： 根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為：或 （7）例5 放射性元素的衰變放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量成正比。已知時(shí)鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時(shí)間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，

9、故得微分方程 其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前置符號(hào)是由于當(dāng)增加時(shí)單調(diào)減少，即的緣故。按題意，初始條件為 例6 指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型。這個(gè)模型的基本假設(shè)是：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。記時(shí)刻的人口為，當(dāng)考察一個(gè)國家或一個(gè)很大地區(qū)的人口時(shí)，是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻的人口為，人口增長率為r，r是單位時(shí)間內(nèi)的增量與的比例系數(shù)。于是，滿足如下的微分方程： 表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長。例7 阻滯增長模型（Logistic模型）例6中的指數(shù)增長模型在19世紀(jì)前比較符合人口增長情況，但從19世紀(jì)以后，就與人口事實(shí)上的增長情況產(chǎn)生了較大的差異。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著。如果當(dāng)人口較少時(shí)（相對(duì)于資源而言）人口增長率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少。為了使人口預(yù)報(bào)特別是長期預(yù)報(bào)更好的符合實(shí)際情況，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口