平面向量整說課詳解

1、平面向量整理一、 平面向量的本質：向量就是終點相對于起點的位置變化。這里包含兩點：1、變化的距離 2、變化的方向二、 平面向量可以用有向線段來表示，但要注意有向線段不是向量，只是表示向量的手段。一個向量可以用不同的有向線段來表示，只要終點相對相對于起點的位置變化相同。需要注意的是表示向量有向線段的起點，并不是向量實際意義上的起點；表示向量的有向線段的終點，并不是向量實際意義上的終點。三、 1、向量的模 就是終點相對于起點變化的距離；2、零向量 （1）變化的距離為0 （2）變化的方向是任意的3、單位向量 （1）變化的距離為1（2）變化的方向不要求4、相等向量 （1）變化的距離相等 （2）變化的方

2、向相同5、相反向量 （1）變化的距離相等 （2）變化的方向相反6、平行（共線）向量 只要求變化的方向在一條直線上，對距離沒要求四、向量的加減法 1、向量的加法：兩向量相加表示經過兩次位置變化后，終點相對于最初起點的位置變化如： 表示向東走100米，表示向東北100米，那么a+b的和表示向東北走了100米。aba+b+由此不難得到兩向量相加的三角形法則：即將被加的向量順次首尾相接，連接起點和最后終點得到的向量。類似的，a+b+c表示三次位置變化BCD向量的平行四邊形法則實質上也是三角形法則：A2、向量的減法：向量的減法是加法的逆運算。a-bb如：ab表示a+（b）可將向量的減法轉化為兩向量相加。

3、表現為兩向量起點重合，連接兩向量的終點并指向被減向量的向量a-ba-b五、數乘運算數乘運算向量的平行（共線）即，向量共線則向量可以進行線性運算（兩向量之間存在倍數關系），反過來，向量可以進行線性運算（兩向量之間存在倍數關系）則向量共線。六、平面向量基本定理1、向量的加減法可以看作是向量合成，向量的分解可以看作是合成的逆運算。O12、基底：先講數軸（一維的）作好類比過渡數軸上每個數都可以用單位過表示，如4×18（8）×1，這里的單位1就可以看作是基底，當然用2也可以去度量任何一個實數，如：42×2，6.83.4×2，這里的2就可以看作是基底，所以說基底就是

4、一個度量衡。3、如果我們討論的向量終點相對于起點的位置變化在一條直線方向上（一維的情形）。Oi如圖，我們可以規(guī)定一個方向向右的單位向量，叫它i，那么其它向量就可以用它來度量，例如，方向向右，終點相對于起點變化的距離為3的向量a就可以表示為3i，方向向左，終點相對于起點變化的距離為4.5的向量 b就可以表示為 -4.5i，類似于坐標，我們也可以記a=3，b=-4.5那么a + b=3+（-4.5）=-1.5，表示方向向左，變化的距離為1.5的向量；-2a=-2×3=-6，表示方向向左變化的距離為6的向量。這一點與實數運算完全類似。lcmba4、平面向量是二維的，所以平面向量的基底，需要

5、兩個方向如圖：則ab+c，且這種分解是唯一的，在l,m直線方向上分別取非零向量i，j，則cxi, b=yj ,由共線向量基本定理，這里的x，y也是唯一的。任一向量a都可以分解為非零向量i，j的線性表示，axi +yj這里且是唯一的。這里的非零向量i，j就是基底，是平面向量的度量衡。并且，如果我們選取的非零向量i，j是單位向量，我們就可以將向量a記作a=（x，y）,這里，我們相當于建立了一個斜坐標系。y六、向量的坐標表示xO23A(2,3)向量作為一種工具，可以實現由代數的方法研究幾何的問題。為此，我們需要把它代數化，這就需要引入參考系（坐標系）。由以上討論，可以選取兩個垂直的單位向量i，j為基

6、底，把它們的起點固定在直角坐標系的原點上，實現將向量有序數對表示。如圖，如圖，（2，3）（1）平面中的向量都可以看作是經過兩次位置變化而得到的，一次是x軸方向的（水平的），另一次是y軸方向上的（豎直的）。則就可以分解為兩條直線方向上的位置變化，而在每條直線方向上運算都是線性的。xO32A(3,2)B(6,5)C65（2）向量變化的距離，由直角三角形得到|=向量變化的方向可以由來表示。（3）起點為A終點為B的向量表示，如圖： 可以看作是先由A到C，再由C到B，所以一般化一下，A（x1 , y1）,B(x2 , y2)由直角三角形ABC也可以看到，AB七、向量的數量積abOBAC1、記住數量積的幾

7、何意義：如圖，ababcos表示a與向量b在向量a方向上的投影（bcos）的積，這里是兩向量的夾角（）。實質為把兩個向量的內積轉化為兩個實數的乘積。2、向量的坐標表示要從向量坐標的本質上推導，a（x1，y1）x1i+ y1j , b（x2，y2）x2i+ y2j這里向量i，j表示兩個垂直的單位向量i，j。推導從略。例題講解1(2009·廣東，5分)一質點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2 D6解析：本題實際上是求與的和向量，由余弦定理|2|2| |22|

8、·|·cosOF1F34162·2·4·()28.|2，故選A.答案：A解析：平面向量問題一般要作圖，質點處于平衡狀態(tài)，則F1+F2+F30，所以F3（F1+F2）,表示向量F1 、F2兩次變化可等價于一次變化的效果OF1，F3表示其相反向量，于是就成了解三角形的問題，利用余弦定理求出OF3的長度就行了。 242（2010浙江，4分）在ABC中，M是線段BC的中點，AM3，BC10，則·_.解析：·()·()()·()9×10016.答案：16解析：畫圖，解決向量的點積問題，就是簡化，考慮找到度

9、量衡（基底），從而把它化成兩個方向上的線性運算，我們選取向量AM，BC為基底（因為這兩個向量的信息是知道的），可得·()·()()·()9×10016.ABCM3（2011浙江，4分）若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_XyO解析：對于以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積S0|·sin，×2|sin，因此sin，1，因此與的夾角的取值范圍是，答案：，解析：因|1，可以認為向量的終點在單位圓周上，畫個圖。對于以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積，|1，則的終點落到圓內。S0|·si

10、n，×2|sin，因此sin，y|1，所以從反比例函數上可以得到sin，1，XO/65/6畫一個單位圓，如圖，終邊落到陰影區(qū)域的角就是的取值范圍是，4（2010浙江，4分）已知平面向量，(0，)滿足|1，且與的夾角為120°，則|的取值范圍是_解析：如圖，設，則在ABC中，ACB60°，根據正弦定理，即|sinABC，由于0°<ABC<120°，所以0<sinABC1，故0<|.答案：(0，120°解析：一般地，題目所給為向量表達，我們把它轉化為幾何表達；題目所給為幾何表達，我們可以考慮轉化向量表達。|1，即向

11、量變化的距離為1，且與的夾角為120°，現在我們把題目中的向量表達轉化為幾何表達，如圖，要注意與的夾角為120°，則ACB60°，利用根據正弦定理，即|sinABC，由于0°<ABC<120°，所以0<sinABC1，故0<|.5給出下列四個命題：若ab，則ab；若|a|b|，則ab；若|a|b|，則ab；若ab，則|a|b|.其中正確命題的個數是()A1B2C3D4解析：選A中，當ab時，兩向量不一定相等，不正確；中，當兩向量模相等時，兩向量不一定共線，不正確；中，當向量相等時，模一定相等，正確綜上只有正確故選A. 解

12、析：ab 只是a與b的方向在一條直線方向上。而ab要求變化的距離和方向都是相同的。錯。|a|b|只說明變化的距離相等，方向不一定相同。錯。|a|b|只說明變化的距離相等，但兩向量的方向不一定在同一直線方向上。錯。若ab，則兩向量方向相同，變化的距離又相等。對。5在四邊形ABCD中，且|，那么四邊形ABCD為()A平行四邊形B菱形C長方形D正方形解析：選B由，且|知，四邊形ABCD為平行四邊形且鄰邊相等，所以四邊形ABCD為菱形故選B.解析：由知兩向量變化的距離相等，方向相同，所以四邊形ABCD的對邊AB與CD平行又相等，四邊形ABCD為平行四邊形，又|知這兩個向量變化的距離相等，即ABBC，所

13、以平行四邊形ABCD的鄰邊相等，四邊形ABCD為菱形故選B.6.(2014·西安模擬)設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()AabBabCa2bDab且|a|b|解析：(1)選C表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選擇項易知C滿足題意解析：表示的兩個向量是相等的，即變化的距離相等，變化的方向相同，由于|a|、|b|均為正數，根據數乘表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向就行了，只有C項表示a與b的方向相同。7.(2013·江蘇高考)設D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC

14、.若1 2 (1，2為實數)，則12的值為_解析：(2)由題意作圖如圖在ABC中，()12，1，2.故12.解析：先畫圖，問題的實質是將和作為基底，去表示，()12，1，2.故12.8（2013重慶，5分）在平面上，| | |1，.若| |<，則|的取值范圍是()A.B.C. D. 解析：本題考查向量問題和圓中的最值問題，意在考查考生的轉化化歸以及邏輯思維能力由題意得點B1，B2在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心半徑為的圓內，又，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|最大，為，當P在半徑為的圓周上時，|最小，為，故選D.答案：D解析：本題是向量的表達轉化為圖形表達，

15、| | |1，點B1，B2在以O為圓心的單位圓上， |<，點P在以O為圓心半徑為的圓內，又，四邊形AB1PB2為矩形，所以點A，點P在以B1B2為直徑的圓上，如圖，所以，當以B1B2為直徑的圓與圓O相外切時，|最小，AyOxB1B2PB1B2AP當以B1B2為直徑的圓恰好過點O時，|最大。平面向量的坐標運算xOyP(6,8)Q(x,y)1（2012安徽，5分）在平面直角坐標系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得向量，則點Q的坐標是()A(7，)B(7，)C(4，2) D(4，2)解析：設xOP=，將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得向量，向量變化的距離沒變還是向

16、量的長度為=10只要確定的方向，可以由來定，這里由三角函數知識得；。故選A2（2010新課標全國，5分）a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()A. BC. D解析：由題可知，設b(x，y)，則2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)，由cosa，b.答案：C3（2011北京，5分）已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b與c共線，則k_.解析：因為a2b(，3)，所以由(a2b)c得×3k0，解得k1.答案：14（2010陜西，5分）已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab

17、)c，則m_.解析：由已知ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c得1×2(m1)×(1)m10，所以m1.答案：15(2009·廣東，5分)若平面向量a，b滿足|ab|1，ab平行于x軸，b(2，1)，則a_.解析：設a(x，y)，則ab(x2，y1)由題意a(1,1)或a(3,1)答案：(1,1)或(3,1)6(2013·陜西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab, 則實數m等于()AB.C或D0解析：選C由ab知1×2m20，解得m或.故選C.7(2014·中山模擬)在平行四邊形ABCD中，E，F分別是CD和BC的

18、中點，若 ，其中，R，則_.解析：問題是將分解為，的線性表示。由于在平行四邊形ABCD中，用，作為基底比較方便，所以我們設a，b，則ab，ab，ab，(ab)，即 .，.平面向量的應用1(2009·寧夏、海南，5分)已知點O、N、P在ABC所在平面內，且|，NC0，···，則點O、N、P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B.重心、外心、內心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內心解析：本題是向量與平面幾何的綜合，關鍵是將所給的向量表示反譯成幾何表示E(1)|，即點O到三點A、B、C的距離相等，所以點O為ABC的外心（2）如圖，由平行四邊形法則，的和向量表

19、示恰好是2.平平四邊形法則，設D這里D是BC邊中點，則2.0，20，2，A、D、N三點共線，點N在BC邊的中線上，同理點N也在AB、AC邊的中線上，所以點N是重心··，··0，·()0，·0，.同理，點P是ABC的垂心答案：C2(2009·天津，4分)在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_解析：題目中給的向量表示，轉化為幾何表示。由(1,1)知 ABAD，四邊形ABCD為平行四邊形，又，表示將，單位化，其和向量必在B的平分線上，又·知BD平分B，所以四邊形ABCD為菱形，又()23，ABC60&

20、#176;，BD.答案：3.（2011安徽，13分）設>0，點A的坐標為(1,1)，點B在拋物線yx2上運動，點Q滿足，經過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足，求點P的軌跡方程解析：本題中所給的是向量表示，應把其反譯為幾何表示。這里>0，幾何表示為B，Q，A三點共線，且點Q在線段BA上。類似的，知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，且點M在線段PQ上。以下是具體解法：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，則x2y0(yx2)，即y0(1)x2y.再設B(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得將式代入式，