學(xué)業(yè)分層測評 第3章 3.1　數(shù)學(xué)歸納法原理(3.1.1+3.1.2)

1、.學(xué)業(yè)分層測評建議用時(shí)：45分鐘學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.滿足122334nn13n23n2的自然數(shù)nA.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】經(jīng)歷證當(dāng)n1,2,3時(shí)均正確，但當(dāng)n4時(shí)，左邊1223344540，而右邊34234228，應(yīng)選C.【答案】C2.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，假如當(dāng)nkkN且k1時(shí)命題成立，那么一定可推得當(dāng)nk1時(shí)，該命題也成立.現(xiàn)n5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有A.當(dāng)n4時(shí)該命題成立B.當(dāng)n6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n6時(shí)該命題不成立【解析】假設(shè)n4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知n5時(shí)命題成立，與題中條件矛盾，n4時(shí)，該命題不成立.【答案】C3.記

2、凸k邊形的內(nèi)角和為fk，那么凸k1邊形的內(nèi)角和fk1fkA.B.C.2D.【解析】nk到nk1時(shí)，內(nèi)角和增加.【答案】B4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1232n1n12n1時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為A.1B.13C.123D.1234【解析】當(dāng)n1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為123.【答案】C5.一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時(shí)命題成立，且由nk時(shí)命題成立推得nk2時(shí)命題也成立，那么A.該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取什么值無關(guān)D.以上答案都不對【解析】由題意n2時(shí)成立可推得n4,6,8，都成立，因此所有正偶數(shù)都成立，應(yīng)選B.【答案】B二、

3、填空題6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)fn1，那么nf1f2fn1nfnnN，且n2第一步要證明的式子是_.【解析】n2時(shí)，等式左邊2f1，右邊2f2.第一步要證明的式子是2f12f2.【答案】2f12f27.用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN，nn12n1能被6整除時(shí)，某同學(xué)證法如下：1n1時(shí)1236能被6整除，n1時(shí)命題成立.2假設(shè)nk時(shí)成立，即kk12k1能被6整除，那么nk1時(shí)，k1k22k3k1k2kk3kk1k2k1k2k3.k，k1，k2和k1，k2，k3分別是三個(gè)連續(xù)自然數(shù).其積能被6整除.故nk1時(shí)命題成立.綜合12，對一切nN，nn12n1能被6整除.這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法，主要原因是_.【答

4、案】沒用上歸納假設(shè)8.設(shè)fn1nN，那么fn1fn等于_. 【導(dǎo)學(xué)號：38000057】【解析】因?yàn)閒n1，所以fn11，所以fn1fn.【答案】三、解答題9.fn2n73n9，是否存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都能使m整除fn？假如存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；假設(shè)不存在，請說明理由.【解】存在，m36.證明如下：1當(dāng)n1時(shí)，f136，能被36整除；2假設(shè)當(dāng)nkkN，且k1時(shí)，fk能被36整除，即fk2k73k9能被36整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，fk12k173k1932k73k9183k11.由歸納假設(shè)32k73k9能被36整除，而3k11是偶數(shù)，所以183k11能被36整除，所以fk

5、1能被36整除.由12，得fn能被36整除，由于f136，故能整除fn的最大整數(shù)是36，即m36.10.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3，.1求a1，a2；2猜測數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格證明.【解】1Sn1是方程x2anxan0的一個(gè)根，Sn12anSn1an0，Sn12anSn0，當(dāng)n1時(shí)，a1，當(dāng)n2時(shí)，a2.2由1知S1a1，n2時(shí)，Sn12SnSn1Sn0，Sn.此時(shí)當(dāng)n2時(shí)，S2；當(dāng)n3時(shí)，S3.由猜測可得，Sn，n1,2,3，.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.當(dāng)n1時(shí)，a1S1，顯然成立.假設(shè)當(dāng)nkkN，且k1時(shí)結(jié)論成立，即Sk.當(dāng)

6、nk1時(shí)，由知Sk1，Sk1.當(dāng)nk1時(shí)式子也成立.綜上，Sn，n1,2,3，對所有正整數(shù)n都成立.才能提升1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1nN的過程中，第二步nk時(shí)等式成立，那么當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11【解析】由條件知，左邊是從20,21一直到2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng)nk1時(shí)，左邊應(yīng)為12222k12k，從右邊應(yīng)為2k11.【答案】D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：n1n2nn2n132n1時(shí)，從“k到k1左邊需增乘的代數(shù)式是A.2k1 B.C.22k1D.【解析】當(dāng)nk1

7、時(shí)，左邊k11k12k1k1k1k2k3kkk1k2k3kk22k1.【答案】C3.設(shè)平面內(nèi)有n條直線n2，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn).假設(shè)用fn表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么f4_；當(dāng)n4時(shí)，fn_用n表示. 【導(dǎo)學(xué)號：38000058】【解析】f20，f32，f45，f59，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù).所以f3f22，f4f33，f5f44，fnfn1n1.累加，得fnf2234n1n2.所以fnn1n2.【答案】5n1n24.ABC的三邊長是有理數(shù).1求證：cos A是有理數(shù)；2求證：對任意正整數(shù)n，cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).【證明】1由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知cos A 是有理數(shù).2用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).當(dāng)n1時(shí)，由1知cos A是有理數(shù)，從而有sin Asin A1cos2A也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)nkk1時(shí)，cos kA和sin Asin kA都是有理數(shù).當(dāng)nk1時(shí)，由cosk1Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asink1Asin Asin Acos kAcos A