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文檔簡介
1、.學(xué)業(yè)分層測評建議用時(shí):45分鐘學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.滿足122334nn13n23n2的自然數(shù)nA.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4【解析】經(jīng)歷證當(dāng)n1,2,3時(shí)均正確,但當(dāng)n4時(shí),左邊1223344540,而右邊34234228,應(yīng)選C.【答案】C2.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,假如當(dāng)nkkN且k1時(shí)命題成立,那么一定可推得當(dāng)nk1時(shí),該命題也成立.現(xiàn)n5時(shí),該命題不成立,那么應(yīng)有A.當(dāng)n4時(shí)該命題成立B.當(dāng)n6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n6時(shí)該命題不成立【解析】假設(shè)n4時(shí)命題成立,由遞推關(guān)系知n5時(shí)命題成立,與題中條件矛盾,n4時(shí),該命題不成立.【答案】C3.記
2、凸k邊形的內(nèi)角和為fk,那么凸k1邊形的內(nèi)角和fk1fkA.B.C.2D.【解析】nk到nk1時(shí),內(nèi)角和增加.【答案】B4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1232n1n12n1時(shí),在驗(yàn)證n1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式為A.1B.13C.123D.1234【解析】當(dāng)n1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為123.【答案】C5.一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n2時(shí)命題成立,且由nk時(shí)命題成立推得nk2時(shí)命題也成立,那么A.該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取什么值無關(guān)D.以上答案都不對【解析】由題意n2時(shí)成立可推得n4,6,8,都成立,因此所有正偶數(shù)都成立,應(yīng)選B.【答案】B二、
3、填空題6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:設(shè)fn1,那么nf1f2fn1nfnnN,且n2第一步要證明的式子是_.【解析】n2時(shí),等式左邊2f1,右邊2f2.第一步要證明的式子是2f12f2.【答案】2f12f27.用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN,nn12n1能被6整除時(shí),某同學(xué)證法如下:1n1時(shí)1236能被6整除,n1時(shí)命題成立.2假設(shè)nk時(shí)成立,即kk12k1能被6整除,那么nk1時(shí),k1k22k3k1k2kk3kk1k2k1k2k3.k,k1,k2和k1,k2,k3分別是三個(gè)連續(xù)自然數(shù).其積能被6整除.故nk1時(shí)命題成立.綜合12,對一切nN,nn12n1能被6整除.這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法,主要原因是_.【答
4、案】沒用上歸納假設(shè)8.設(shè)fn1nN,那么fn1fn等于_. 【導(dǎo)學(xué)號:38000057】【解析】因?yàn)閒n1,所以fn11,所以fn1fn.【答案】三、解答題9.fn2n73n9,是否存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除fn?假如存在,求出最大的m值,并證明你的結(jié)論;假設(shè)不存在,請說明理由.【解】存在,m36.證明如下:1當(dāng)n1時(shí),f136,能被36整除;2假設(shè)當(dāng)nkkN,且k1時(shí),fk能被36整除,即fk2k73k9能被36整除,那么當(dāng)nk1時(shí),fk12k173k1932k73k9183k11.由歸納假設(shè)32k73k9能被36整除,而3k11是偶數(shù),所以183k11能被36整除,所以fk
5、1能被36整除.由12,得fn能被36整除,由于f136,故能整除fn的最大整數(shù)是36,即m36.10.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2anxan0有一根為Sn1,n1,2,3,.1求a1,a2;2猜測數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格證明.【解】1Sn1是方程x2anxan0的一個(gè)根,Sn12anSn1an0,Sn12anSn0,當(dāng)n1時(shí),a1,當(dāng)n2時(shí),a2.2由1知S1a1,n2時(shí),Sn12SnSn1Sn0,Sn.此時(shí)當(dāng)n2時(shí),S2;當(dāng)n3時(shí),S3.由猜測可得,Sn,n1,2,3,.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.當(dāng)n1時(shí),a1S1,顯然成立.假設(shè)當(dāng)nkkN,且k1時(shí)結(jié)論成立,即Sk.當(dāng)
6、nk1時(shí),由知Sk1,Sk1.當(dāng)nk1時(shí)式子也成立.綜上,Sn,n1,2,3,對所有正整數(shù)n都成立.才能提升1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1nN的過程中,第二步nk時(shí)等式成立,那么當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11【解析】由條件知,左邊是從20,21一直到2n1都是連續(xù)的,因此當(dāng)nk1時(shí),左邊應(yīng)為12222k12k,從右邊應(yīng)為2k11.【答案】D2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:n1n2nn2n132n1時(shí),從“k到k1左邊需增乘的代數(shù)式是A.2k1 B.C.22k1D.【解析】當(dāng)nk1
7、時(shí),左邊k11k12k1k1k1k2k3kkk1k2k3kk22k1.【答案】C3.設(shè)平面內(nèi)有n條直線n2,其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).假設(shè)用fn表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),那么f4_;當(dāng)n4時(shí),fn_用n表示. 【導(dǎo)學(xué)號:38000058】【解析】f20,f32,f45,f59,每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù).所以f3f22,f4f33,f5f44,fnfn1n1.累加,得fnf2234n1n2.所以fnn1n2.【答案】5n1n24.ABC的三邊長是有理數(shù).1求證:cos A是有理數(shù);2求證:對任意正整數(shù)n,cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).【證明】1由AB,BC,AC為有理數(shù)及余弦定理知cos A 是有理數(shù).2用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù).當(dāng)n1時(shí),由1知cos A是有理數(shù),從而有sin Asin A1cos2A也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)nkk1時(shí),cos kA和sin Asin kA都是有理數(shù).當(dāng)nk1時(shí),由cosk1Acos Acos kAsin Asin kA,sin Asink1Asin Asin Acos kAcos A
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