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文檔簡介
1、1、(本題5分)試確定作為的近似值具有幾位有效數(shù)字,并確定其相對誤差限。解 因為 =3.142857= =3.141592所以 (2分)這里,由有效數(shù)字的定義可知作為的近似值具有3位有效數(shù)字。 (1分)而相對誤差限 (2分)2、(本題6分)用改進(jìn)平方根法解方程組:;解 設(shè)由矩陣乘法得: (3分)由解得 (3分)3、(本題6分)給定線性方程組1)寫出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式;2)考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的斂散性;解 1)Jacoib迭代格式為 (2分)Gauss-Seidel迭代格式為 (2分)2)由于所給線性方程組的系數(shù)矩陣 是嚴(yán)
2、格對角占優(yōu)的,所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收斂的。(2分)4、(本題6分)已知方程在附近有一個根。將此方程改寫成如下2個等價形式: 構(gòu)造如下兩個迭代格式:1)2)判斷這兩個迭代格式是否收斂;解 1)記,則, (2分) 所以該迭代格式是局部收斂的。 (1分) 2)記,則, (2分) 所以該迭代格式是發(fā)散的 (1分)5、(本題6分)設(shè)(1)寫出解的牛頓迭代格式;(2)證明此迭代格式是線性收斂的。解 (1)因,故,由牛頓迭代公式 , (1分) 得, (2分) (2)因迭代函數(shù), , (1分) 故 此牛頓迭代格式是線性收斂的。 (2分)6、(本題9分)給定數(shù)據(jù)x 0
3、2 3 5f(x) 1 -3 -4 2(1) 寫出的3次Lagrange插值多項式;(2) 寫出的3次Newton插值多項式;解 (1)由題意知 (3分) (2分)(2)用牛頓插值公式,構(gòu)造差商表0 12 3 5 2 3 (3分)則有 (1分)7、(本題6分)作一個5次多項式使得 解 構(gòu)造有重節(jié)點的牛頓插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 (4分) 則有 (2分)8、(本題6分)已知數(shù)據(jù)如下,試用二次多項式來擬合:012345615141414141516解 設(shè),則上表可化為01231000012 這時,取,并設(shè)所求二次多項式為 ,容易得到 , , , (3分)
4、 得正規(guī)方程組如下: 解得 即 (2分) 回代得 (1分)9、(本題5分)給定求積節(jié)點試推出計算積分的插值型求積公式解 由于 所以 (1分) (1分) (1分) (1分) 故求積公式為 (1分)10、(本題6分)分別用梯形公式和辛普森公式計算積分: 解 (1)用梯形公式 , (3分) (2)用辛普森公式 (3分)11、(本題8分)求高斯型求積公式的系數(shù)解 令: (1分) 由 得 再由 (2分) (1分) 得 所以的根為 (2分) (2分)12、(本題6分)設(shè)為次多項式,為個互異點,為的次插值多項式。若,試證。解:因為為次多項式,所以, (2分)又因為,故有 (2分)由插值關(guān)系可知: (2分)所以,13、(本題10分)設(shè),求及譜半徑。解 由定義得 (2分) (2分)又由于,而 (2分) 所以,。 (2分)因為 所以 (2分)14、(本題6分)寫出用4階經(jīng)典龍格-庫塔法求解初值問題的計算公式,并取步長,計算的近似值,小數(shù)點后至少保留4位。解 ,于是 (4分) 故,由于 故 (2分)15、(本題9分)給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值,精確至5位有效數(shù)解 冪法計
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