數(shù)值分析試卷及其答案2

1、1、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對誤差限。解 因為 =3.142857= =3.141592所以 （2分）這里，由有效數(shù)字的定義可知作為的近似值具有3位有效數(shù)字。 （1分）而相對誤差限 （2分）2、（本題6分）用改進(jìn)平方根法解方程組：；解 設(shè)由矩陣乘法得： （3分）由解得 （3分）3、（本題6分）給定線性方程組1）寫出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的斂散性；解 1）Jacoib迭代格式為 （2分）Gauss-Seidel迭代格式為 （2分）2）由于所給線性方程組的系數(shù)矩陣 是嚴(yán)

2、格對角占優(yōu)的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收斂的。（2分）4、（本題6分）已知方程在附近有一個根。將此方程改寫成如下2個等價形式： 構(gòu)造如下兩個迭代格式：1）2）判斷這兩個迭代格式是否收斂；解 1）記，則， （2分） 所以該迭代格式是局部收斂的。 （1分） 2）記，則， （2分） 所以該迭代格式是發(fā)散的 （1分）5、（本題6分）設(shè)（1）寫出解的牛頓迭代格式；（2）證明此迭代格式是線性收斂的。解 （1）因，故，由牛頓迭代公式 ， （1分） 得， （2分） （2）因迭代函數(shù)， ， （1分） 故 此牛頓迭代格式是線性收斂的。 （2分）6、（本題9分）給定數(shù)據(jù)x 0

3、2 3 5f(x) 1 -3 -4 2（1） 寫出的3次Lagrange插值多項式；（2） 寫出的3次Newton插值多項式；解 （1）由題意知 （3分） （2分）（2）用牛頓插值公式，構(gòu)造差商表0 12 3 5 2 3 （3分）則有 （1分）7、（本題6分）作一個5次多項式使得 解 構(gòu)造有重節(jié)點的牛頓插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 （4分） 則有 （2分）8、（本題6分）已知數(shù)據(jù)如下，試用二次多項式來擬合：012345615141414141516解 設(shè)，則上表可化為01231000012 這時，取，并設(shè)所求二次多項式為 ，容易得到 ， ， ， （3分）

4、 得正規(guī)方程組如下： 解得 即 （2分） 回代得 （1分）9、（本題5分）給定求積節(jié)點試推出計算積分的插值型求積公式解 由于 所以 （1分） （1分） （1分） （1分） 故求積公式為 （1分）10、（本題6分）分別用梯形公式和辛普森公式計算積分： 解 （1）用梯形公式 ， （3分） （2）用辛普森公式 （3分）11、（本題8分）求高斯型求積公式的系數(shù)解 令： （1分） 由 得 再由 （2分） （1分） 得 所以的根為 （2分） （2分）12、（本題6分）設(shè)為次多項式，為個互異點，為的次插值多項式。若，試證。解：因為為次多項式，所以， （2分）又因為，故有 （2分）由插值關(guān)系可知： （2分）所以，13、（本題10分）設(shè)，求及譜半徑。解 由定義得 （2分） （2分）又由于，而 （2分） 所以，。 （2分）因為 所以 （2分）14、（本題6分）寫出用4階經(jīng)典龍格-庫塔法求解初值問題的計算公式，并取步長，計算的近似值，小數(shù)點后至少保留4位。解 ，于是 （4分） 故，由于 故 （2分）15、（本題9分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特征值，精確至5位有效數(shù)解 冪法計