探索勾股定理（2）

1、1.1 探索勾股定理（2）1.經(jīng)歷運(yùn)用拼圖的方法說明勾股定理的過程，在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣。2.掌握勾股定理和他的簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用拼圖的方法證明勾股定理學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用面積法證勾股定理 教法及學(xué)法指導(dǎo)：針對八年級學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課選擇引導(dǎo)探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流。并利用教具與多媒體進(jìn)行教學(xué)。在教師的組織引導(dǎo)下，采用自主探索、合作交流方式，讓學(xué)生思考問題，獲取知識，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動手、動口、動腦的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。 課前準(zhǔn)備：制作課件，學(xué)生課前進(jìn)行相關(guān)調(diào)查及預(yù)習(xí)工作.教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)

2、情境，導(dǎo)入新課師我們曾學(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，其中平方差公式（a+b）（ab）=a2b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的內(nèi)容誰還能記得當(dāng)時這兩個公式是如何推出的？生利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊例如（a+b）（ab）=a2ab+abb2=a2b2，所以平方差公式是成立的生還可以用拼圖的方法來推出例如：（a+b）2=a2+2ab+b2我們可以用一個邊長為a的正方形，一個邊長為b的正方形，兩個長和寬分別為a和b的長方形可拼成如下圖所示的邊長為（a+b）的正方形，那么這個大的正方形的面積可以表示為（a+b）2；又可以表示為a2+2ab+b

3、2所以（a+b）2=a2+2ab+b2 師由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理同時又利用一些特例驗(yàn)證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗(yàn)證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系 二、性質(zhì)探究1拼一拼（1）在一張硬紙板上畫4個如下圖所示全等的直角三角形并把它們剪下來 （2）用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？（對于上面2個問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來鼓勵學(xué)生大

4、膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵，然后在小組內(nèi)交流，同時提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系（a+b）2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說明勾股定理）生我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個邊長為c的正方形觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長是（a+b）要利用這個圖說明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個大正方形的面積即可 大正方形面積可以表示為：（a+b）2，又可以表示為：ab×4+（ba）對比這兩種表示方法，可得出c2=ab×4+（ba）化簡、整理得c2=a2+b2因此我們得到了勾股定理生我拼出了和這個同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長是c，小正方形的邊長

5、為ba，利用這個圖形也可以說明勾股定理因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab×4+（ba）2對比兩種表示方法可得c2=ab×4+（ba）2化簡得c2=a2+b2同樣得到了勾股定理 師真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗(yàn)證了勾股定理利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn)在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了有人做過統(tǒng)計(jì)，說有五百余種1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書其實(shí)，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理

6、的證明簡直到了每天一種的地步生老師，我在查資料時，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？師是的1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他提出的一個勾股定理的證明據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話生能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？師可以如下圖所示這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學(xué)用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯(lián)系 生總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一

7、個同學(xué)拼出的大正方形的一半師同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理生上面的圖形整體上拼成一個直角梯形所以它的面積有兩種表示方法既可以表示為（a+b）·（a+b），又可以表示為ab×2+c2對比兩種表示方法可得（a+b）·（a+b）= ab×2+c2化簡，可得a2+b2=c2師很好同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法2議一議師前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2師上圖中的ABC和ABC是什么三角形？生A

8、BC，ABC在小方格紙上，不難看出ABC中，BCA90°；ABC中，ABC，BCA，BAC都是銳角，所以ABC是鈍角三角形，ABC是銳角三角形師ABC的三邊上“長”出三個正方形誰來幫我數(shù)一下每個正方形含有幾個小格子生以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b2=9個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a2=8個單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c2=29個單位面積a2+b2=9+7=16個單位面積，c2=29個單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2c2師銳角三角形ABC中，如何呢？生以a為邊長的正方形

9、含5個小格子，所以a2=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b2=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以c2=9個單位面積由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個單位面積在銳角三角形ABC中，a2+b2c2師通過對上面兩個圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2（其中a、b是直角邊，c為斜邊）這樣的關(guān)系生老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2c2；在銳角三角形ABC中，a2+b2c2它們恒成立嗎？師這位同學(xué)很善于思考，的確如此同學(xué)們課后不妨驗(yàn)證一下，你一定會收獲不小三、性質(zhì)的應(yīng)用

10、 1.例題精講我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛。他趕緊拿出紅外線測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？（學(xué)生自己畫圖完成，全班交流） 2.鞏固提高（1）飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時飛行多少千米？（2）在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？師生共析1分析：根據(jù)題意，可以畫出下圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢?/p>

11、，C、B點(diǎn)是兩個時刻飛機(jī)的位置，C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題 解：根據(jù)題意，得RtABC中，C=90°，AB=5000米，AC=4800米由勾股定理，得AB2=AC2+BC2即50002=BC2+48002，所以BC=1400米2分析：在此問題中，要注意水草的長度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時和吹到一邊，它的長度是不變的解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無風(fēng)時水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BCAD 所以在RtACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+366AC=27，AC=45所以這里的水深為45分米評注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要 四、收獲園地師：這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實(shí)際問題生：暢談自己的收獲！五、達(dá)標(biāo)檢測如下圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問B點(diǎn)到物體A的像A的距離是多少？ 六、作業(yè) 1課本P11，習(xí)題12 1