備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)含詳細(xì)答案

1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系(大題培優(yōu)易錯(cuò)難題)含詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，某無人機(jī)于空中 A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是30 >60，此時(shí)無人機(jī)的飛 行高度AC為60m ,隨后無人機(jī)從 A處繼續(xù)水平飛行30 J3 m到達(dá)A'處.(1)求A、B之間的距離(2)求從無人機(jī) A'上看目標(biāo)口的俯角的正切值【答案】(1) 120米；(2) H3.5【解析】 【分析】E,連接A'D ,于是得到 A'E AC 60, DC=Y3AC=20j3 ,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義(1)解直角三角形即可得到結(jié)論；過A'作A'E BC交BC的延長(zhǎng)

2、線于CE AA' 30 £,在 RtABC中，求得即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)由題意得：/ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= AC = 1 =120 (m)sin30 一2(2)過A'作A'E BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接A'D , 則 A' E AC 60, CE AA' 30 幣,在 RtA ABC 中,AC=60m, / ADC=60 ,DC= - AC=20、3 3DE=50,3A'E 602 -tan Z A A' D= tanZ A'DC= = -v 3D

3、E 50-3 5答：從無人機(jī) A'上看目標(biāo)D的俯角的正切值是 243.5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵2 .小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為 120時(shí)，感覺最舒適(如圖 1),側(cè)面示意圖為圖 2；使用時(shí)為了散熱，她在底板下面墊入散熱 架ACO 后，電腦轉(zhuǎn)到 AO，B，位置(如圖3),側(cè)面示意圖為圖 4.已知OA=OB=24cm, 。/ C± OA 于點(diǎn) C,。/ C=12cm.(1)求/ CAO/的度數(shù).(2)顯示屏的頂部 B/比原來升高了多少？(3)如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。/ B，

4、與水平線的夾角仍保持 120。，則顯示屏。/ B，應(yīng)繞點(diǎn)。/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？【答案】(1) / CAO =30； (2) (36 方向旋轉(zhuǎn)30°.【解析】-12x13) cm； (3)顯示屏 O'域繞點(diǎn)O按順時(shí)針試題分析：(1)通過解直角三角形即可得到結(jié)果；(2)過點(diǎn)B作BD, AO交AO的延長(zhǎng)線于D,通過解直角三角形求得、反 j-BD=OBsinZ BOD=24X=1273 ,由C、O'、B'三點(diǎn)共線可得結(jié)果；(3)顯示屏O而繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°,求得/EO B'/干OA=30；既是顯示屏O'應(yīng)繞點(diǎn)O&#

5、39;按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°.試題解析：(1) ;。'(1OA 于 C, OA=OB=24cm,O'C O'C 12 1,-.sinZCAO/cao' =q 0(2)過點(diǎn) B 作 BD, AO交 AO 的延長(zhǎng)線于 D, 1. sinZ BOD=- , . . BD=OBsin/ BOD,OjD / AOB=120 ,° Z BOD=60 : 二 BD=OBsin/ BOD=24 xl =12O' LOA,/CAO' =30 ° ./AO' C=6 0：/AO' B' =120 Z AO

6、9; 叱 AO' C=1& 0 °.O， B' +OB D=24+12- 12 冉=36-12/，顯示屏的頂部 B比原來升高了( 36-12后)cm；(3)顯示屏O面繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30°,理由：顯示屏O'內(nèi)水平線的夾角仍保持 120。， ./EO' F=120 ° ./FO' A=CAO' =30 ° / AO' B' = 120 ° ./EO' BT FO' A=3 0 ° 顯示屏O'底繞點(diǎn)O'按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

7、 30：5就J* >PJ * R:./ / 盧F:y/ ：/ :c o D考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).3.如圖，在平行四邊形ABCD中，"平分,交"于點(diǎn)"，"廠平分乙，交仞于點(diǎn)F, "E與"F交于點(diǎn)P,連接EF PD.(1)求證：四邊形是菱形；若= < /ID T一4"=町，求山山DP的值.【答案】(1)證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)AE平分/ BAD> BF平分/ABC及平行四邊形的性質(zhì)可得 AF=AB=BE 從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形(2)由菱形的性質(zhì)可知 A

8、P的長(zhǎng)及/PAF=60,過點(diǎn)P作PHI± AD于H,即可得到PH、DH的長(zhǎng)，從而可求tan/ADP試題解析：(1).AE平分/ BAD BF平分/ABC/ BAE=Z EAF / ABF=Z EBF1.AD/BC/ EAF=Z AEB ZAFB=Z EBF/ BAE=Z AEB Z AFB=Z ABF.AB=BE AB=AF.AF=AB=BE1.AD/BC.ABEF為平行四邊形又 AB=BE.ABEF為菱形(2)作 PH，AD于 H由/ABC=60 而已（1）可知 /PAF=60, PA=2,貝U有 PH=73 , AH=1, . DH=AD-AH=5/ 小tanZ ADP= 考點(diǎn)：

9、1、平行四邊形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數(shù)4.如圖，某公園內(nèi)有一座古塔 AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午 水平面的夾角為32 ,此時(shí)塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子CD.與地面的夾角為45。，此時(shí)塔尖A在地面上的影子 E與墻角C的距離為 一條直線上），求塔 AB的高度.（結(jié)果精確到0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32 ° =0.5299cos32° = 0.8480tan32 ° =0.6249血 1.41429時(shí)太陽光線與中午12時(shí)太陽光線15 米（B、E、C 在【答案】塔高 AB約為32.99米.【解析】【分析】過點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H,

10、設(shè)AB= x,則AH= x- 3,解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：過點(diǎn)D作DHXAB,垂足為點(diǎn) H.°/ ADH = 32 .=BC, /ABC =/ AHD = 90；設(shè) AB = x,貝U AH = x - 3.在 RtABE 中,Z AEB = 45 ；得 tan AEBtan45AB 1EBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在 RtAHD 中,/ AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 15解得x15 tan32 3 32.99 .塔高【點(diǎn)睛】1 tan32AB約為32.99米.本題考查的是解直角三角形的

11、應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題 的關(guān)鍵.5 .如圖，AB是。的直徑，E是。上一點(diǎn)，C在AB的延長(zhǎng)線上，ADLCE交CE的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)D,且AE平分/ DAC.(1)求證：CD是。的切線；(2)若 AB= 6, /ABE= 60°,求 AD 的長(zhǎng).9【答案】(1)詳見解析；(2)-2【解析】【分析】(1)利用角平分線的性質(zhì)得到 / OAE= / DAE,再利用半徑相等得 / AEO= / OAE,等量代 換即可推出OE/AD,即可解題，(2)根據(jù)30。的三角函數(shù)值分別在 RtAABE中，AE= AB cos30 ； 在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 A

12、即可解題.【詳解】證明：如圖，連接 OE, . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DAE.,.OA=OE,/ AEO= / OAE./ AEO= / DAE. .OE/ AD. .DCXAC, OEXDC. .CD是。O的切線. D(2)解：.AB是直徑,/ AEB= 90 ； / ABE= 60 :/ EAB= 30 ；在 RtMBE 中，AE=ABcos30 =6X立=3折2在 RtA ADE 中,/ DAE= / BAE= 30°,J39 .AD=cos30 X。AEjX3d3 = 3 .【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應(yīng)用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)

13、表示 出所求線段是解題關(guān)鍵.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 DE交x軸于點(diǎn)E (30, 0),交y軸于點(diǎn)D (0, 1、 j、工，、一，一公40),直線 AB: y=-x+5交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,交直線 DE于點(diǎn)P,過點(diǎn)E作3EF，x軸交直線AB于點(diǎn)F,以EF為一邊向右作正方形 EFGHI(1)求邊EF的長(zhǎng)；(2)將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒 J10個(gè)單位的速度勻速平移，得到正方形EiFiGiHi,在平移過程中邊 FiGi始終與y軸垂直，設(shè)平移的時(shí)間為 t秒(t>0).當(dāng)點(diǎn)Fi移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求t的值； 當(dāng)Gi, Hi兩點(diǎn)中有一點(diǎn)移動(dòng)到直線 DE上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)正方

14、形日FiGiHi與4APE重疊部分的面積.【答案】(i) EF= i5； (2)i0 ；i20 ；【解析】【分析】(i)根據(jù)已知點(diǎn) E (30, 0),點(diǎn)D (0, 40),求出直線 DE的直線解析式y(tǒng)=-x+40,可3求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出 F點(diǎn)坐標(biāo)即可；(2)易求B (0, 5),當(dāng)點(diǎn)Fi移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=i0ji0Ti0=i0；F點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是而tF垂直x軸方向移動(dòng)的距離是t,當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，在RtF'NF中,NF _iNF 一3,EM=NG'=i5-F'N=i5-3t,在RDMH'中，-MH-EM 3 '45t=4, S=

15、- X (i2+j-) Xi023i-;8當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí),在 RtF'PK中，-PK-,F K 3PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG'中,PKKG 15 3t 93t=7, S=i5X (i5-7) =i20.【詳解】(i)設(shè)直線DE的直線解析式 y=kx+b, 將點(diǎn) E (30, 0),點(diǎn) D (0, 40),30k b 0b 4040直線AB與直線DE的交點(diǎn)P (2i, i2),由題意知F (30, 15),，EF= 15;(2)易求 B (0, 5),BF=10 .10 ,斤=10；，當(dāng)點(diǎn)Fi移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t=10ji0當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE

16、上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是加,在 RtF'NF 中,NF _1,NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4EM 3 't 4-，15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,F點(diǎn)移動(dòng)到F'的距離是濟(jì)0t,PF=3/0,1 -PF'= >A0t-3 加, 在 RtF'PK 中，PK 1一,F K 3.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34，15

17、3t 932 .t = 7,3 .S= 15 x(15-7) = 120.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)；掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用三角 形的正切值求邊的關(guān)系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確確定陰影 部分的面積是解題的關(guān)鍵.1 27.如圖，已知二次函數(shù) y x bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (-3, 6),并與x軸交于點(diǎn)B (21, 0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)P.(1)求這個(gè)二次函數(shù)解析式;(2)設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足 /DPO/BAQ求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)作直線AP,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,在直線AP上是否存在點(diǎn) N,使AM+MN的值最小？若存在，求出

18、 M、N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn) P (1, -2) ; (2)點(diǎn) P(7,0); ( 3)點(diǎn) N (7, 14) .55【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；(2)利用-11BH 221Sabc= x ACX BH= x BCMy 求出 sin a = -(= (=,則 tan22yAB2 加 &上 MD PMD 中，tan a =一PMxx 2/212 ,即可求解;M、(3)作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) A' (5, 6),過點(diǎn)A作A吐AP分別交對(duì)稱軸與點(diǎn) 交AP于點(diǎn)N,此時(shí)AM+MN最小，即可求解.【詳解

19、】6 - 3b 3b 12(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:2(，解得：3,0- b cc 22故：拋物線的表達(dá)式為：y=lx2-x-3,22令 y=0,則 x=-1 或 3,令 x=0,則 y=-3 ,2故點(diǎn)C坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn)P (1, -2);設(shè)：/DPC=/BAC=a,(2)過點(diǎn)B作BH, AC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作PGJ±x軸交于點(diǎn)G,由題意得：AB=2 而'，AC=6j2, BC=4, PC=2 衣，S>A ABC=1 >AC 汨H=1 >BC xyA, 22解得：BH=2 6，sinBH 2.21“AB 2105由題意得：GC=2=PG

20、,故 / PCB=45°,延長(zhǎng)PC,過點(diǎn)D作DM，PC交于點(diǎn)M,則 MD=MC=x,在 PMD中,MDtan a-PMx _1 x 2.2-2解得：x=2j2,則 CD=J2x=4,故點(diǎn) P (7, 0);(3)作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) A' (5, 6),過點(diǎn)A作ANAP分別交對(duì)稱軸與點(diǎn) M、交AP于點(diǎn)N,此時(shí)AM+MN最小,直線AP表達(dá)式中的k值為： 2=-2,則直線AN表達(dá)式中的k值為1,42設(shè)直線AN的表達(dá)式為：y= x+b,2將點(diǎn)A'坐標(biāo)代入上式并求解得：b=-,2故直線A N的表達(dá)式為：y=x+22當(dāng) x=1 時(shí)，y=4,故點(diǎn) M (1 , 4),同理直線

21、AP的表達(dá)式為：y=-2x，聯(lián)立 兩個(gè)方程并求解得：x=-, 5故點(diǎn) N (-7, 14). 55【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，其中( 用對(duì)稱點(diǎn)求解最小值，是此類題目的一般方法.AB以每B重合)，8.如圖，在 RtABC中，ZC= 90°, /A=30°, AB= 4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，出 秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) B運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作PD, AC于點(diǎn)D(點(diǎn)P不與點(diǎn)A, 作/DPQ= 60°,邊PQ交射線DC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用含t的代數(shù)式表示線段 DC的長(zhǎng)： ；(2)當(dāng)t =時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)；(3

22、)當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過 4ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，求出t的值.II 3 51【答案】(1) 2v3一,0；(2)1； (3) t的值為歹或孑或不【分析】(1)先求出AC,用三角函數(shù)求出 AD,即可得出結(jié)論;(2)利用AQ=AQ即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用銳角三角函數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】(1) AP= 21 , AB=4,/A=30° .AC= ., AD=二. CD=2% M-(2) AQ=2AD=2A；3i當(dāng)AQ=AC時(shí)，Q與C重合即 =.(3) 如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過 AB的中點(diǎn)F時(shí),. PF= 2PG= 2t,如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過111II/ PGF= 9

23、0 ； PG= PQ= ,AP= t, AF=AB= 2. / A= / AQP= 30 °,/ FPG= 60 ；/ PFG= 30 °,II.AP+PF= 2t + 2t = 2, .1.t=AC的中點(diǎn)N時(shí), ./QMN = 90 ： AN=AC=>/3, QM=jPQ= AP=t.在 RtA NMQ 中，.AN + NQ= AQ, 如圖，當(dāng)PQ的垂直平分線過 BC的中點(diǎn)F時(shí),/ H= 30 ： / BFHk 30 = / H,BH= BF= 1. / ABC= 60 ；在 RtA PEH 中,PH=2PE= 2t.5. AH=AP+ PH=AB+ BH, ，2t

24、+2t=5, ，t =季即當(dāng)線段PQ的垂直平分線經(jīng)過 ABC一邊中點(diǎn)時(shí),【點(diǎn)睛】t的值為13 5百或.或不此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線 的性質(zhì)，正確作出圖形是解本題的關(guān)鍵.9.如圖1,在RtABC中，ZACB= 90°, AC=3, BC= 4,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在線 段AB上，且PQ= BQ,延長(zhǎng)QP交射線AC于點(diǎn)D.(1)求證：QA=QD;(2)設(shè)/ BAP= "，當(dāng)2tan ”是正整數(shù)時(shí)，求 PC的長(zhǎng)；(3)作點(diǎn)Q關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Q',連結(jié)QQ, AQ, DQ ,延長(zhǎng)BC交線段DQ于點(diǎn)E,連結(jié)AE, QQ

25、分別與AP, AE交于點(diǎn)M, N (如圖2所示).若存在常數(shù) k,滿足k?MN =PE?QQ,求k的值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得出/ B= / BPQ= / CPD,由直角三角形的性質(zhì)得出 /BAC=ZD,即可得出結(jié)論；1(2)過點(diǎn) P 作 PH, AB 于 H,設(shè) PH= 3x, BH=4x, BP= 5x,由題意知 tan a= 1 或一，當(dāng)2tan肝1時(shí)，HA= PH= 3x,與勾股定理得出 3x+4x= 5,解得x= 5,即可求出PC長(zhǎng);7當(dāng)tan a 1時(shí)，HA= 2PH- 6x,得出6x+4x=5,解得x= 1 ,即可求出 PC長(zhǎng)；22(3)

26、設(shè)QQ與AD交于點(diǎn)O,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出 AQ'= AQ= DQ= DQ；得出四邊形一，一 ,1 、一一 一一一AQDQ是菱形，由菱形的性質(zhì)得出QQ ± AD, A0= 一 AD,證出四邊形 BEQQ是平行四邊2形，得出 QQ = BE,設(shè) CD= 3m,貝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ - BE= 4m+4, PE= 8m,MOPC由三角函數(shù)得出 =tanZ PA4,即可得出結(jié)果.AOAC【詳解】(1)證明：PQ= BQ,Z B= Z BPQ= Z CPD, Z ACB= Z PCEU 90 ,Z A+Z BAO 90 , Z D+Z CPD= 90 ；Z B

27、AC= Z D,QA = QD;(2)解：過點(diǎn) P作PHXABT H,如圖1所示：設(shè) PH=3x, BH=4x, BP= 5x,4由題意得：tan Z BAO - , Z BAP< Z BAG, 312tan 是正整數(shù)時(shí)，tan先1或一，2當(dāng) tan a=1 時(shí)，HA=PH= 3x,3x+4x=5,5 x=一,73即 PC=4-5x=-；71當(dāng) tan a=時(shí)，HA= 2PH- 6x,26x+4x= 5,1 x=,23即 PC= 4 - 5x=;233綜上所述，PC的長(zhǎng)為它或3； 72(3)解：設(shè)QQ與AD交于點(diǎn)0,如圖2所示：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：AQ = AQ= DQ= DO,四邊形AQ

28、DQ是菱形，,1. .QQ ±AD, A0= - AD,2BC± AC,.QQ'/ BE,. BQ/ EQ；四邊形BEQQ是平行四邊形，.QQ'=BE,設(shè) C4 3m,貝U PC= 4m, AD=3+3m,即 QQ BE= 4m+4, PE= 8m,MO = tanZPAC=里, AOAC3MOm = 4m,M 3即 MN= 2MO = 4m (1+m),PEgQQ'8m(4 4m)- k= 8本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、勾股定理、菱形的 判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的

29、 判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.10.在RtABC中，/ACB= 90°, CD是AB邊的中線，DE± BC于E,連結(jié) CD,點(diǎn)P在射線CB上（與B, C不重合）（1）如果 /A= 30°,如圖1, /DCB等于多少度；如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DF,連結(jié)BF,補(bǔ)全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3,若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，且 /A= a （0°< a< 90°）,連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 a得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫出D

30、E、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系 （不需證明）【答案】（1）/DCB= 60°. 結(jié)論：CP= BF.理由見解析；（2）結(jié)論：BF- BP= 2DE?tan ”理由見解析.【解析】【分析】(1) 根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=30°,只要證明4CDB是等邊三角形即可； 根據(jù)全等三角形的判定推出 4DC百DBF,根據(jù)全等的性質(zhì)得出CP= BF,(2)求出 DC= DB = AD, DE/ AC,求出 Z FDB= Z CDP= 2a 匕 PDB, DP= DF,根據(jù)全等三 角形的判定得出 ADC國(guó)DBF,求出CP= BF,推出BF- BP= BC,解直角三角形求出 CE

31、= DEtan ”即可.【詳解】(1)Z A=30°, / ACB= 90°,/ B= 60 °, .AD= DB,-.CD=AD= DB, .CDB是等邊三角形，/ DCB= 60 :如圖1,結(jié)論：CP= BF,理由如下：圖1 . /ACB= 90； D 是 AB 的中點(diǎn)，DEL BC, Z DCB= 60 °, .CDB為等邊三角形./ CDB= 60 °二線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段DF, / PDF= 60 ； DP= DF,/ FDB= / CDP,在 DCP和4DBF中DC DBCDP BDF , DP DF.,.DCFAD

32、BF, .CP= BF.(2)結(jié)論：BF- BP= 2DEtana.理由：/ACB= 90°, D 是 AB 的中點(diǎn)，DEL BC, / A= a,-.DC=DB= AD, DE/ AC,/ A= / ACD= a, / EDB= / A= a, BC= 2CE,/ BDC= / A+Z ACD= 2 a, / PD已 2 %/ FDB= / CDP= 2 a 廿 PDB,二線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 a得到線段DF,.DP= DF,在 DCP和4DBF中DC DBCDP BDF ,DP DF.,.DCFADBF,.CP= BF,而 CP= BC+BR .BF- BP= BC,在 R

33、tA CDE 中,/ DEO 90°, tanZ CDE= CE , DE .CE= DEtan / .BC= 2CE= 2DEtan ,a即 BF- BP= 2DEtana.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出 DC® DBF是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，證明過程類似.11 .已知：在 4ABC 中，ZACB=90°, CD± AB于 D, BE: AB=3: 5,若 CE=五 ,【答案】tan Z AEC=3, CD=12V?25【解析】解：在 RTA ACD 與

34、 RTA ABC 中4 / ABC+Z CAD=90 , / ACD+Z CAD=90 / ABC=Z ACD, cos/ ABC=cos/ ACD-5BC 4在 RTA ABC 中， 令 BC=4k,AB=5k 貝U AC=3kAB 5BE 3由 一 一，BE=3k 貝U CE=k且 CE=J2 貝U k= J2 , AC=3j2AB 5RT-A ACE中，tan Z AEC=C- =3ECCD 4_ 12 RT-A ACD 中 cos/ ACD=- , CD=阮.AC 55AD的垂直平12.如圖，RtAABC, CA±BC, AC= 4,在 AB邊上取一點(diǎn) D,使 AD= BC,作 分線，交AC邊于點(diǎn)F,交以AB為直徑的。于G, H,設(shè)BC= x.(1)求證：四邊形 AGDH為菱形；(2)若EF= y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)連結(jié) OF, CG. 若4AOF為等腰三角形，求 。的面積；若BC= 3,則v/30CG+A.(直接寫出答案).（2 后+2）【答案】(1)證明見解析；(2) y= 1x2 (x>0) ； ( 3)16?；??；?83兀；4 727