淺談幾種變形分析與建模方法

1、 淺談幾種變形分析與建模方法 姓 名： 學 號： 班 級： 指導老師：成 績： 2014年6月26 日變形是自然界普遍存在的現(xiàn)象，它是指變形體在各種荷載作用下，其形狀，大小，及位置在時間域和空間域中的變化。變形體的變形在一定范圍里被認為是允許的，如果超出允許值，則可能引發(fā)災害，自然界的變形危害現(xiàn)象時很普遍的，如地震，滑坡，崩塌，地表沉降，火山爆發(fā)，潰壩，橋梁與建筑物的倒塌等。通過這學期的學習我們知道所謂變形監(jiān)測，就是利用測量和專用儀器及方法對變形體的變形現(xiàn)象進行監(jiān)視觀測的工作。其任務(wù)是確定在各種荷載和外動力作用下，變形體的形狀，大小及位置變化的空間狀態(tài)和時間特征。變形監(jiān)測工作是人們通過變形現(xiàn)象

2、獲得科學認識，檢驗理論和假設(shè)的必要手段。變形體的范疇可以大到整個地球，小到一個工程建筑物的塊體，它包括自然和人工的構(gòu)造物。根據(jù)變形體的研究范圍，可以將變形監(jiān)測研究對象分為三類：（1） 全球性變形研究，如監(jiān)測全球板塊運動，地極移動，地球自轉(zhuǎn)速率變化，低潮等；（2） 區(qū)域性變形研究，如地殼變形監(jiān)測，城市地面沉降等；（3） 工程和局部性變形研究，如監(jiān)測工程建筑物的三維變形，滑坡體的滑動，地下開采引起的地表移動和下沉等。在緊密工程測量中，具有代表性的變形體有大壩，橋梁，礦區(qū)，高層建筑物，防護堤，邊坡，隧道，地鐵，地表沉降等。隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展和計算機應用水平的提高，各種理論和方法為變形分析和變形預

3、報提供了廣泛的研究途徑。由于變形體變形機理的復雜性和多樣性，對變形分析與建模理論和方法的研究，需要結(jié)合地質(zhì)、力學、水文等相關(guān)學科的信息和方法，引入數(shù)學、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)科學以及非線性科學的理論，采用數(shù)學模型來逼近、模擬和揭示變形體的變形規(guī)律和動態(tài)特征，為工程設(shè)計和災害防治提供科學的依據(jù)。在日常施工和運營過程中，因不同的地質(zhì)條件和土壤性質(zhì)，地下水位和大氣溫度的變化。建筑物荷載和外力作用等影響，建筑會產(chǎn)生一定的變形，因此需要對重要的建筑物和發(fā)現(xiàn)已變形的建筑物進行變形監(jiān)測及預測，掌握其變形的發(fā)展規(guī)律以及趨勢，以確保該建筑物的施工安全和使用安全-在測量中有很多種分析建筑物變形的方法，通常采用統(tǒng)計分析

4、法，確定函數(shù)法及混合模型法。統(tǒng)計分析法主要是采用數(shù)學處理方法，如回歸分析法，頻譜分析法，濾波模型法,Asaoka法，時間序列分析模型，灰色系統(tǒng)分析模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等本文結(jié)合工程實例，在傳統(tǒng)灰色預測模型GM的基礎(chǔ)上，加以卡爾曼濾波法的輔助，對建筑物變形進行定量分析和預測，為建筑物變形觀測研究提供更加可靠的觀測數(shù)據(jù)-本文介紹的是本學期學過的幾種變形分析與建模的理論與方法?；貧w分析法作為一種統(tǒng)計分析方法，需要效應量和環(huán)境量具有較長且一致性較好的觀測值序列。這種函數(shù)關(guān)系可以解釋變形產(chǎn)生的主要原因，也可以進行預報，同時也給出估計精度。多元線性回歸是研究一個變量與多個因子之間非確定關(guān)系的最基本方法。

5、其數(shù)學模型是: (1)式中，下標 t 表示觀測值變量，共有 n 組觀測數(shù)據(jù)，p表示因子個數(shù)。分析步驟如下：1）建立多元線性回歸方程。多元線性回歸數(shù)學模型如式 (1) 所示，用矩陣表示為 (2)式中，y 為 n 維變形量的觀測向量， ；x 是一個 n* (p+1) 矩陣，其形式為：是回歸系數(shù)向量， ；是服從同一正態(tài)分布 的n維隨機向量，。由最小二乘原理可求得的估值 為2）回歸方程顯著性檢驗。如果因變量 y 與自變量之間不存在線性關(guān)系，則式 (1) 中的為零向量，即有原假設(shè)：將此原假設(shè)作為式 (1) 的約束條件，求得統(tǒng)計量。式中， ； ；。在原假設(shè)成立時，統(tǒng)計量 F 應服從分布，故在選擇顯著水平

6、后，可用式（3）檢驗原假設(shè)： (3)若式 (3) 成立，即認為在顯著水平下，y 對有顯著的線性關(guān)系，回歸方程是顯著的。3）回歸系數(shù)顯著性檢驗。檢驗因子 Xj是否顯著的原假設(shè)應為：由式 (1) 可估算求得：式中, Cij為矩陣 中主對角線上第 j 個元素。于是在原假設(shè)成立時, 統(tǒng)計量故可組成檢驗原假設(shè)的統(tǒng)計量它在原假設(shè)成立時服從 分布。分子通常又稱為因子 Xj 的偏回歸平方和。時間序列法是一種動態(tài)數(shù)據(jù)處理方法, 它是一種處理隨時間變化而又相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)的數(shù)學方法, 是用來分析各種相依有序的離散數(shù)據(jù)集合。時間序列分析的特點在于: 逐次的觀測值通常是不獨立的, 且分析必須考慮到觀測資料的時間順序,

7、當逐次觀測值相關(guān)時, 未來數(shù)值可以由過去觀測資料來預測, 可以利用觀測數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應的數(shù)學模型來描述客觀現(xiàn)象的動態(tài)特征。時間序列分析的基本原理是: 對于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列xt , 若 xt的取值不僅與其n 步的各個取值Xt - 1, Xt- 2 , ,Xt- n 有關(guān), 而且還與前m 步的各個干擾 at - 1, at- 2 , at- m 有關(guān)( n, m =1, 2,) , 按多元線性回歸的思想, 可得到最一般的 ARMA 模型: (1)式中, 稱為自回歸( Auto- Regre-ssive) 參數(shù);稱為滑動平均( MovingAverage) 參數(shù); at 這一序

8、列為白噪聲序列。式( 1)稱為Xt的自回歸滑動平均模型( Auto- Regressive Moving Average Model, ARMA ) , 記為 ARMA( n , m) 模型。當時, 模型( 1) 變?yōu)?2)式( 2) 稱為 n 階自回歸模型, 記為 AR( n) 。當時, 模型( 1) 變?yōu)?(3)式( 3) 稱為 m 階滑動平均模型, 記為MA( m) 。為方便對式( 1) 進行描述, 引入線性后移算子B并令：則有：（4）即滿足 ARMA( p, q) 模型的時序Xt 可由現(xiàn)時刻以前的白噪聲( 輸入隨機沖量) 序列 at 通過系統(tǒng)G ( B ) 的作用而完成。（5）注: 函

9、數(shù)。自相關(guān)函數(shù)是描述隨機信號 X ( t) 在任意兩個不同時刻 t1、t2取值之間的相關(guān)程度。它是時間序列模型識別的基本分析工具。對于一個平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的隨機過程 Xt 的自協(xié)方差函數(shù)為: （6）當 k= 0 時, 得到Xt 的方差函數(shù)：（7） ， 自相關(guān)函數(shù)定義為：（8）偏相關(guān)函數(shù)是分析時間序列模型概率特性的另一指標。它的定義是: 已知Xt 為一平穩(wěn)時間序列,若能選擇適當?shù)?k 個系數(shù), 將 Xt表示為Xt- 1的線性組合。（9）當這種表示的誤差方差（10）為極小時, 則定義最后一個系數(shù)為偏自相關(guān)函數(shù)( 系數(shù)) 。根據(jù)AR( n) , MA( m) , ARMA( n, m) 模型下自相

10、關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì), 可以直接給出初步識別穩(wěn)定時間序列模型類型的依據(jù), 如下表所示。數(shù)據(jù)樣本應滿足平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的條件, 因此對實際的沉降序列進行時間序列分析前應進行平穩(wěn)化和均值化處理, 步驟如下:1) 對原始數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗; 2) 對差分后的序列做均值化處理; 3) 對新序列計算自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù), 進行模型識別; 4) 對所選模型進行參數(shù)估計; 5) 對模型適用性進行檢驗; 6) 確定預報模型, 進行預報?；疑到y(tǒng)分析模型GM(1，1)模型是最常用的一種灰色模型，它是由一個只包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的模型。用X灰色模塊構(gòu)成微分方程。（1），經(jīng)過微分求解（2）則有GM（1,1）預測模型方程為（3）首先是建立模型，并對建立好的模型進行檢驗，若檢驗合格并符合實際情況，則可用它來對實際情況進行預測-灰色預測模型檢驗不僅包括殘差檢驗，關(guān)聯(lián)度檢驗，還包括后驗方差檢驗-在本文中主要是采用后驗方差方法檢驗，即對殘差分布的統(tǒng)計特性進行檢驗，它由后驗差比值C和小誤差概率P 共同表達。卡爾曼濾波方程在實質(zhì)上是一組遞推的計算公式，其包含一個遞推過程，是一個不斷預報且不斷修正的過程，因此更符合實際情況，有助于實時實地處理多期復測數(shù)據(jù)。本文中直接給出離散卡爾曼濾波的遞推公式：進一步預測 （4）一步預測誤差方差陣（5）濾波增益矩陣(6)狀態(tài)估計（7）狀