淺談幾種變形分析與建模方法

1、 淺談幾種變形分析與建模方法 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 班 級(jí)： 指導(dǎo)老師：成 績(jī)： 2014年6月26 日變形是自然界普遍存在的現(xiàn)象，它是指變形體在各種荷載作用下，其形狀，大小，及位置在時(shí)間域和空間域中的變化。變形體的變形在一定范圍里被認(rèn)為是允許的，如果超出允許值，則可能引發(fā)災(zāi)害，自然界的變形危害現(xiàn)象時(shí)很普遍的，如地震，滑坡，崩塌，地表沉降，火山爆發(fā)，潰壩，橋梁與建筑物的倒塌等。通過(guò)這學(xué)期的學(xué)習(xí)我們知道所謂變形監(jiān)測(cè)，就是利用測(cè)量和專(zhuān)用儀器及方法對(duì)變形體的變形現(xiàn)象進(jìn)行監(jiān)視觀測(cè)的工作。其任務(wù)是確定在各種荷載和外動(dòng)力作用下，變形體的形狀，大小及位置變化的空間狀態(tài)和時(shí)間特征。變形監(jiān)測(cè)工作是人們通過(guò)變形現(xiàn)象

2、獲得科學(xué)認(rèn)識(shí)，檢驗(yàn)理論和假設(shè)的必要手段。變形體的范疇可以大到整個(gè)地球，小到一個(gè)工程建筑物的塊體，它包括自然和人工的構(gòu)造物。根據(jù)變形體的研究范圍，可以將變形監(jiān)測(cè)研究對(duì)象分為三類(lèi)：（1） 全球性變形研究，如監(jiān)測(cè)全球板塊運(yùn)動(dòng)，地極移動(dòng)，地球自轉(zhuǎn)速率變化，低潮等；（2） 區(qū)域性變形研究，如地殼變形監(jiān)測(cè)，城市地面沉降等；（3） 工程和局部性變形研究，如監(jiān)測(cè)工程建筑物的三維變形，滑坡體的滑動(dòng)，地下開(kāi)采引起的地表移動(dòng)和下沉等。在緊密工程測(cè)量中，具有代表性的變形體有大壩，橋梁，礦區(qū)，高層建筑物，防護(hù)堤，邊坡，隧道，地鐵，地表沉降等。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)應(yīng)用水平的提高，各種理論和方法為變形分析和變形預(yù)

3、報(bào)提供了廣泛的研究途徑。由于變形體變形機(jī)理的復(fù)雜性和多樣性，對(duì)變形分析與建模理論和方法的研究，需要結(jié)合地質(zhì)、力學(xué)、水文等相關(guān)學(xué)科的信息和方法，引入數(shù)學(xué)、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)科學(xué)以及非線性科學(xué)的理論，采用數(shù)學(xué)模型來(lái)逼近、模擬和揭示變形體的變形規(guī)律和動(dòng)態(tài)特征，為工程設(shè)計(jì)和災(zāi)害防治提供科學(xué)的依據(jù)。在日常施工和運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，因不同的地質(zhì)條件和土壤性質(zhì)，地下水位和大氣溫度的變化。建筑物荷載和外力作用等影響，建筑會(huì)產(chǎn)生一定的變形，因此需要對(duì)重要的建筑物和發(fā)現(xiàn)已變形的建筑物進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)及預(yù)測(cè)，掌握其變形的發(fā)展規(guī)律以及趨勢(shì)，以確保該建筑物的施工安全和使用安全-在測(cè)量中有很多種分析建筑物變形的方法，通常采用統(tǒng)計(jì)分析

4、法，確定函數(shù)法及混合模型法。統(tǒng)計(jì)分析法主要是采用數(shù)學(xué)處理方法，如回歸分析法，頻譜分析法，濾波模型法,Asaoka法，時(shí)間序列分析模型，灰色系統(tǒng)分析模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等本文結(jié)合工程實(shí)例，在傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型GM的基礎(chǔ)上，加以卡爾曼濾波法的輔助，對(duì)建筑物變形進(jìn)行定量分析和預(yù)測(cè)，為建筑物變形觀測(cè)研究提供更加可靠的觀測(cè)數(shù)據(jù)-本文介紹的是本學(xué)期學(xué)過(guò)的幾種變形分析與建模的理論與方法?；貧w分析法作為一種統(tǒng)計(jì)分析方法，需要效應(yīng)量和環(huán)境量具有較長(zhǎng)且一致性較好的觀測(cè)值序列。這種函數(shù)關(guān)系可以解釋變形產(chǎn)生的主要原因，也可以進(jìn)行預(yù)報(bào)，同時(shí)也給出估計(jì)精度。多元線性回歸是研究一個(gè)變量與多個(gè)因子之間非確定關(guān)系的最基本方法。

5、其數(shù)學(xué)模型是: (1)式中，下標(biāo) t 表示觀測(cè)值變量，共有 n 組觀測(cè)數(shù)據(jù)，p表示因子個(gè)數(shù)。分析步驟如下：1）建立多元線性回歸方程。多元線性回歸數(shù)學(xué)模型如式 (1) 所示，用矩陣表示為 (2)式中，y 為 n 維變形量的觀測(cè)向量， ；x 是一個(gè) n* (p+1) 矩陣，其形式為：是回歸系數(shù)向量， ；是服從同一正態(tài)分布 的n維隨機(jī)向量，。由最小二乘原理可求得的估值 為2）回歸方程顯著性檢驗(yàn)。如果因變量 y 與自變量之間不存在線性關(guān)系，則式 (1) 中的為零向量，即有原假設(shè)：將此原假設(shè)作為式 (1) 的約束條件，求得統(tǒng)計(jì)量。式中， ； ；。在原假設(shè)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 F 應(yīng)服從分布，故在選擇顯著水平

6、后，可用式（3）檢驗(yàn)原假設(shè)： (3)若式 (3) 成立，即認(rèn)為在顯著水平下，y 對(duì)有顯著的線性關(guān)系，回歸方程是顯著的。3）回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)因子 Xj是否顯著的原假設(shè)應(yīng)為：由式 (1) 可估算求得：式中, Cij為矩陣 中主對(duì)角線上第 j 個(gè)元素。于是在原假設(shè)成立時(shí), 統(tǒng)計(jì)量故可組成檢驗(yàn)原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量它在原假設(shè)成立時(shí)服從 分布。分子通常又稱(chēng)為因子 Xj 的偏回歸平方和。時(shí)間序列法是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法, 它是一種處理隨時(shí)間變化而又相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法, 是用來(lái)分析各種相依有序的離散數(shù)據(jù)集合。時(shí)間序列分析的特點(diǎn)在于: 逐次的觀測(cè)值通常是不獨(dú)立的, 且分析必須考慮到觀測(cè)資料的時(shí)間順序,

7、當(dāng)逐次觀測(cè)值相關(guān)時(shí), 未來(lái)數(shù)值可以由過(guò)去觀測(cè)資料來(lái)預(yù)測(cè), 可以利用觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述客觀現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)特征。時(shí)間序列分析的基本原理是: 對(duì)于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列xt , 若 xt的取值不僅與其n 步的各個(gè)取值Xt - 1, Xt- 2 , ,Xt- n 有關(guān), 而且還與前m 步的各個(gè)干擾 at - 1, at- 2 , at- m 有關(guān)( n, m =1, 2,) , 按多元線性回歸的思想, 可得到最一般的 ARMA 模型: (1)式中, 稱(chēng)為自回歸( Auto- Regre-ssive) 參數(shù);稱(chēng)為滑動(dòng)平均( MovingAverage) 參數(shù); at 這一序

8、列為白噪聲序列。式( 1)稱(chēng)為Xt的自回歸滑動(dòng)平均模型( Auto- Regressive Moving Average Model, ARMA ) , 記為 ARMA( n , m) 模型。當(dāng)時(shí), 模型( 1) 變?yōu)?2)式( 2) 稱(chēng)為 n 階自回歸模型, 記為 AR( n) 。當(dāng)時(shí), 模型( 1) 變?yōu)?(3)式( 3) 稱(chēng)為 m 階滑動(dòng)平均模型, 記為MA( m) 。為方便對(duì)式( 1) 進(jìn)行描述, 引入線性后移算子B并令：則有：（4）即滿足 ARMA( p, q) 模型的時(shí)序Xt 可由現(xiàn)時(shí)刻以前的白噪聲( 輸入隨機(jī)沖量) 序列 at 通過(guò)系統(tǒng)G ( B ) 的作用而完成。（5）注: 函

9、數(shù)。自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)信號(hào) X ( t) 在任意兩個(gè)不同時(shí)刻 t1、t2取值之間的相關(guān)程度。它是時(shí)間序列模型識(shí)別的基本分析工具。對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的隨機(jī)過(guò)程 Xt 的自協(xié)方差函數(shù)為: （6）當(dāng) k= 0 時(shí), 得到Xt 的方差函數(shù)：（7） ， 自相關(guān)函數(shù)定義為：（8）偏相關(guān)函數(shù)是分析時(shí)間序列模型概率特性的另一指標(biāo)。它的定義是: 已知Xt 為一平穩(wěn)時(shí)間序列,若能選擇適當(dāng)?shù)?k 個(gè)系數(shù), 將 Xt表示為Xt- 1的線性組合。（9）當(dāng)這種表示的誤差方差（10）為極小時(shí), 則定義最后一個(gè)系數(shù)為偏自相關(guān)函數(shù)( 系數(shù)) 。根據(jù)AR( n) , MA( m) , ARMA( n, m) 模型下自相

10、關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì), 可以直接給出初步識(shí)別穩(wěn)定時(shí)間序列模型類(lèi)型的依據(jù), 如下表所示。數(shù)據(jù)樣本應(yīng)滿足平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的條件, 因此對(duì)實(shí)際的沉降序列進(jìn)行時(shí)間序列分析前應(yīng)進(jìn)行平穩(wěn)化和均值化處理, 步驟如下:1) 對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn); 2) 對(duì)差分后的序列做均值化處理; 3) 對(duì)新序列計(jì)算自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù), 進(jìn)行模型識(shí)別; 4) 對(duì)所選模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì); 5) 對(duì)模型適用性進(jìn)行檢驗(yàn); 6) 確定預(yù)報(bào)模型, 進(jìn)行預(yù)報(bào)?；疑到y(tǒng)分析模型GM(1，1)模型是最常用的一種灰色模型，它是由一個(gè)只包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的模型。用X灰色模塊構(gòu)成微分方程。（1），經(jīng)過(guò)微分求解（2）則有GM（1,1）預(yù)測(cè)模型方程為（3）首先是建立模型，并對(duì)建立好的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)合格并符合實(shí)際情況，則可用它來(lái)對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行預(yù)測(cè)-灰色預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)不僅包括殘差檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，還包括后驗(yàn)方差檢驗(yàn)-在本文中主要是采用后驗(yàn)方差方法檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，它由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P 共同表達(dá)?？柭鼮V波方程在實(shí)質(zhì)上是一組遞推的計(jì)算公式，其包含一個(gè)遞推過(guò)程，是一個(gè)不斷預(yù)報(bào)且不斷修正的過(guò)程，因此更符合實(shí)際情況，有助于實(shí)時(shí)實(shí)地處理多期復(fù)測(cè)數(shù)據(jù)。本文中直接給出離散卡爾曼濾波的遞推公式：進(jìn)一步預(yù)測(cè) （4）一步預(yù)測(cè)誤差方差陣（5）濾波增益矩陣(6)狀態(tài)估計(jì)（7）狀