柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲線

1、第四章 柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲線教學(xué)目的:1.掌握消去參數(shù)法，能運(yùn)用此法熟練地求出一般柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程.2.能識(shí)別母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的錐面方程,旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.掌握求這些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能識(shí)別曲面的大致形狀.3.掌握平行截線法,能運(yùn)用此法討論二次曲面的方程,認(rèn)識(shí)曲面的形狀.4.掌握橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程與主要性質(zhì). 5.了解單葉雙曲面與雙曲拋物面的直紋性,并能掌握求直母線的方法.6.能根據(jù)給定條件,較準(zhǔn)確地作出空間區(qū)域的簡(jiǎn)圖.重點(diǎn)難點(diǎn): 1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義和一般方程的求法是重點(diǎn),尋找柱面、錐面、 旋轉(zhuǎn)曲面

2、的準(zhǔn)線是難點(diǎn). 2. 橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)與形狀是重點(diǎn),一般二次曲面方程的靈活多樣是難點(diǎn). 3.二次直紋面的性質(zhì)及直母線方程求法是重點(diǎn),證明單葉雙曲面與雙曲拋物面的一些性質(zhì)難點(diǎn). 4.空間區(qū)域的作圖是重點(diǎn),其中在作空間區(qū)域時(shí),分析并作出幾個(gè)曲面的交線是難點(diǎn). 4.1 柱 面一. 柱面的定義空間中由平行于定方向且與定曲線相交的一族平行直線所產(chǎn)生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;準(zhǔn)線:定曲線;母線:一族平行線中的每一條直線.柱面由其準(zhǔn)線和定方向唯一確定,但對(duì)于一柱面,準(zhǔn)線不唯一.二.柱面的方程 在空間直角坐標(biāo)系下,柱面準(zhǔn)線方程 (1) 母線的方向數(shù)X,Y,Z.即 (2) 任取柱面

3、準(zhǔn)線上一點(diǎn)則過此點(diǎn)的母線方程為 且有,.從而消去參數(shù)最后得到一個(gè)三元方程 ，這就是以為準(zhǔn)線, 母線的方向數(shù)X,Y,Z的柱面方程.三.例題講解 例1.柱面的準(zhǔn)線方程為母線的方向數(shù)為1,0,1.求這柱面的方程. 解 設(shè)是準(zhǔn)線上的點(diǎn),那么過的母線為, 且 (1)設(shè) ,那么 ,代入(1)得 可得 ,即 求得柱面方程為 .例 2. 已知圓柱面的軸為 ,點(diǎn)(1,2,1)在此圓柱上, 求這柱面的方程.解法一 因?yàn)閳A柱面的母線平行于其軸,所以母線的方向數(shù)即為軸的方向數(shù)1,2,2.若能求出圓柱面的準(zhǔn)線圓,問題即解決了.空間的圓總可以看成是某一球面與一平面的交線, 此圓柱面的準(zhǔn)線圓可以看成是以軸上的點(diǎn)(0,1,1

4、)為中心, 點(diǎn)(0,1,1)到已知點(diǎn)(1,2,1)的距離為半徑的球面與過知點(diǎn)(1,2,1)且垂直于軸的平面的交線,即準(zhǔn)線圓的方程為設(shè)為準(zhǔn)線圓上的點(diǎn),那么,且過的母線為.消去參數(shù)即得所求的圓柱面方程 . 解法二 將圓柱面看成是動(dòng)點(diǎn)到軸線等距離的點(diǎn)的軌跡,這里的距離就是圓柱面的半徑. 軸的方向矢量為,軸上的定點(diǎn)為,而圓柱面上的點(diǎn)為,所以,因此到軸的距離為 再設(shè) 為圓柱上任意點(diǎn),那么有 即 化簡(jiǎn)整理得 .定理 在空間直角坐標(biāo)系中，只含兩個(gè)元（坐標(biāo)）的三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面，它的母線平行于所缺元(坐標(biāo))的同名坐標(biāo)軸。 (即證方程 （11）表示的曲面是一個(gè)柱面，而且它的母線平行與z軸)證 取曲面

5、（11）與xOy坐標(biāo)面的交線 （12）為準(zhǔn)線，z軸的方向0：0：1為母線方向，來建立這樣的柱面方程。設(shè)為準(zhǔn)線(12)上的任意一點(diǎn)，那么過的母線為，即 （13）又因?yàn)樵跍?zhǔn)線（12）上，所以有 （14）（13）代入（14）消去參數(shù)，就得所求的柱面方程為，這就是方程（11），所以方程（11）就是一個(gè)母線平行于z軸的柱面。常見柱面方程(1) 橢圓柱面 (2) 圓柱面 (3) 雙曲柱面 (4) 拋物柱面 空間曲線的射影柱面通過空間曲線L作柱面,使其母線平行于坐標(biāo)軸軸,設(shè)這樣的柱面方程分別為 , 這三個(gè)柱面分別叫曲線L對(duì)坐標(biāo)面的射影柱面. 作業(yè) 4.2 錐 面一.錐面定義 空間中由通過一定點(diǎn)且與定曲線相交

6、的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫錐面. 錐面的頂點(diǎn):定點(diǎn);母線:一族直線;準(zhǔn)線:定曲線.二.錐面的方程 空間直角坐標(biāo)系下,頂點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程:任取準(zhǔn)線上一點(diǎn),則過此點(diǎn)的母線方程為 且,.從而消去參數(shù)最后得到一個(gè)三元方程這就是以為準(zhǔn)線,為頂點(diǎn)的錐面方程.例1、 錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為，求錐面的方程。解 設(shè)為準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，那么過的母線為 ， （1）且有 （2） （3）由（1）（3）的 （7）（7）代入（5）得所求的錐面方程為，或把它改寫為 ，這個(gè)錐面叫做二次錐面。二. 錐面與齊次方程定理 一個(gè)關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面.證 設(shè)有關(guān)于關(guān)于x,y,z的齊次方程,那么根據(jù)齊次方程的定義

7、有所以 曲面過原點(diǎn).再設(shè)非原點(diǎn)滿足方程,即有那么直線的方程為 代入,即有.所以整條直線都在曲面上,因此曲面是由通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線組成,即他是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面.虛錐面 推論 關(guān)于的齊次方程表示頂點(diǎn)在的錐面.作業(yè) 4.3 旋 轉(zhuǎn) 曲 面一.旋轉(zhuǎn)曲面的定義 空間一條曲線繞著定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面叫旋轉(zhuǎn)曲面(回旋曲面) 母線: 曲線;旋轉(zhuǎn)軸(軸): 定直線. 緯線: 旋轉(zhuǎn)曲面母線上任一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的一個(gè)圓,稱之為線圓(緯線).經(jīng)線: 以軸為界的每個(gè)半平面與曲面交成一條曲線,稱為經(jīng)線.(平面曲線)二.旋轉(zhuǎn)曲面的方程 1.一般情形下的曲面方程空間直角坐標(biāo)系下,旋轉(zhuǎn)曲面母線方程 : 軸: 任取母線

8、上一點(diǎn),則過此點(diǎn)的線圓方程為: 且有,.消去參數(shù)最后得到一個(gè)三元方程,此即為以為準(zhǔn)線, 為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.例1 求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 設(shè)是母線上的任意點(diǎn),因?yàn)樾D(zhuǎn)軸通過原點(diǎn),所以過的緯圓方程是由于是母線上的點(diǎn),所以又有,即.消去參數(shù)最后得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為2.以坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線、坐標(biāo)軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線可作為母線,通常把母線所在平面取作坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸,此時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面的方程具有特殊的形式. 設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為: ,旋轉(zhuǎn)軸為軸, 若為母線上的任意點(diǎn),那么過的緯圓為,且有 ,消去參數(shù)得所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 同樣若將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方

9、程是.因此,當(dāng)坐標(biāo)軸上的曲線繞此坐標(biāo)平面里的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí),為了求出這樣的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,只要將曲線在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo),而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的分方根來代替方程中的另一根.例2 將橢圓:分別繞長(zhǎng)軸(軸)與短軸(軸)旋轉(zhuǎn),求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 旋轉(zhuǎn)軸是軸,同名坐標(biāo)是,在方程中保留坐標(biāo)不變,用代,便得到橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程為.同樣將橢圓繞其短軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程為.上述二曲面分別叫長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球面,扁形旋轉(zhuǎn)橢球面.例 3 將雙曲線: 繞虛軸(z軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為; 繞實(shí)軸(y軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為.分別稱為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面與雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.例4 將拋物線: 繞它的對(duì)

10、稱軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 稱之為旋轉(zhuǎn)拋物面.例5 將圓 :繞z軸旋轉(zhuǎn),求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 繞z軸旋轉(zhuǎn),所以在方程中保留z不變,而y用代替就得到旋轉(zhuǎn)曲面方程, 或作業(yè) 4.4 橢 球 面定義: 在直角坐標(biāo)系下,由方程 (1) 所表示的曲面叫橢球面,或稱橢圓面.方程稱為橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程,其中a,b,c(abc)為任意的正常數(shù).一. 橢球面性質(zhì)1.當(dāng)(x,y,z)滿足方程時(shí),也一定滿足.橢球面關(guān)于三坐標(biāo)平面,三坐標(biāo)軸,坐標(biāo)原點(diǎn)都對(duì)稱.2.橢球面的對(duì)稱平面,對(duì)稱軸與對(duì)稱中心分別叫它的主平面,主軸與中心.3.橢球面與它的三對(duì)對(duì)稱軸即坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,這六個(gè)點(diǎn)叫做橢球面的頂點(diǎn).4.同一對(duì)稱軸上的兩

11、頂點(diǎn)間的線段以及它們的長(zhǎng)度2a,2b,2c叫橢球面的軸.半軸,長(zhǎng)(半)軸,中(半)軸,短(半)軸.5.任何兩軸相等的橢球面一定是旋轉(zhuǎn)橢球面,而三軸相等的橢球面就是球面.橢球面三軸不相等時(shí),叫三軸橢球面.6.橢球面上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)總有(x,y,z),因此橢球面完全被封閉在一個(gè)長(zhǎng)方體的內(nèi)部.二.平行截線割法平行截割法是討論二次曲面的基本方法,為了弄清楚曲面的大致形狀,進(jìn)而推出其性質(zhì),通常把曲面作為點(diǎn)的軌跡來研究,而分析其與一組平行平面的交線(截口)的形狀與性質(zhì).1. 平行截割法:利用平行平面的截口來研究曲面圖形的方法.2. 對(duì)曲面方程的討論,一般分以下幾項(xiàng):(1)對(duì)稱性 (2)頂點(diǎn)(對(duì)稱軸與曲面的

12、交點(diǎn)) (3)存在范圍 (4)主截線(曲面與坐標(biāo)軸的交線) (5)平截線(曲面與平行平面的交線)3. 主截線: (1), (2), (3) (橢球面的主橢圓)4. 平截線: 不妨設(shè)一組平行于xOy坐標(biāo)面的平行平面zh來截割橢球面,得截口: . 當(dāng)時(shí),無圖形; 當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn)(0,0,c); 當(dāng)時(shí),代表一個(gè)橢圓:兩軸的端點(diǎn)分別為 ()與.它們分別在主橢圓(2)和(3)上.綜上:橢球面可視為由一個(gè)大小和位置都可改變的橢圓變動(dòng)而產(chǎn)生的,它在變動(dòng)過程中保持所在平面與xOy坐標(biāo)面平行,且兩軸的端點(diǎn)分別在另外兩定橢圓(2)和(3)上滑動(dòng).橢圓有時(shí)也用參數(shù)方程表示:例 已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合，且通過橢

13、圓與點(diǎn)，求這個(gè)橢球面的方程。解 因?yàn)樗髨D球面的軸與三坐標(biāo)軸重合，所以設(shè)所求橢球面的方程為，它與xOy面的交線為橢圓，與已知橢圓比較知。又因?yàn)闄E球面通過點(diǎn)，所以又有所以 。因此所求橢球面方程為 作業(yè) 4.5 雙 曲 面一. 單葉雙曲面1.定義: 在直角坐標(biāo)系下,由方程 所表示的曲面叫單葉雙曲面.注: 10 當(dāng)時(shí), 單葉雙曲面為旋轉(zhuǎn)雙曲面. 20 標(biāo)準(zhǔn)方程還有另外兩種形式.2.圖形討論(1)對(duì)稱性:關(guān)于三坐標(biāo)面,三坐標(biāo)軸,原點(diǎn)對(duì)稱.(2)頂點(diǎn): ,(3)存在范圍:由及與軸無交點(diǎn)知曲面存在與橢圓柱面外部且沿軸上下伸沿到無窮遠(yuǎn).(4)主截線: (1) (2) (3) 腰橢圓 雙曲線 雙曲線(5)平截

14、線:a. 用一組平行xOy坐標(biāo)面的平面截割,截口為橢圓: 兩軸的端點(diǎn)分別為與它們分別在雙曲線(2)與(3)上.可見:單葉雙曲面可視為一個(gè)大小位置都可改變的橢圓變動(dòng)而產(chǎn)生的,變動(dòng)中保持所在平面與xOy面平行,且兩對(duì)頂點(diǎn)分別沿著兩個(gè)定雙曲線(2)與(3)滑動(dòng).b. 用平行于xOz面的平面截割,截口為: (4)10 時(shí),(4)為雙曲線,實(shí)軸平行于軸,虛軸平行于軸,(4)的頂點(diǎn)在腰橢圓(1)上,頂點(diǎn).20 時(shí),(4)為雙曲線, 實(shí)軸平行于z軸,虛軸平行于軸,它的頂點(diǎn)在雙曲線(3)上,頂點(diǎn).30 時(shí),(5)為兩條直線(相交) 或 可見:單葉雙曲面上有直線.二. 雙葉雙曲面1.定義:在直角坐標(biāo)系下,由方程

15、 所表示的曲面叫雙葉雙曲面.2. 圖形討論(1)對(duì)稱性:關(guān)于三坐標(biāo)面,三坐標(biāo)軸,原點(diǎn)對(duì)稱.(2)頂點(diǎn):與,軸不相交,與軸交于點(diǎn)(3)存在范圍:由知曲面分成兩葉.(4)主截線:兩雙曲線: (1) (2) 有共同實(shí)軸、頂點(diǎn).(5)平截線: 用平行平面截割,截口: (3) 10 時(shí), (3)表示一點(diǎn)或. 20 時(shí), (3)表示一橢圓:兩軸的端點(diǎn),分別在雙曲線(1)與(2)上. 可見: 雙葉雙曲面可視為一個(gè)橢圓變動(dòng)而產(chǎn)生的. 思考:用平行于xOz面的平面截割曲面的情況,截口: 取兩條雙曲線,使它們對(duì)應(yīng)的葉所在平面互相垂直,頂點(diǎn)和軸都重合,且有相同的開口方向,讓一條雙曲線平行于自己所在的平面,而使其頂點(diǎn)

16、在另一條雙曲線對(duì)應(yīng)葉上滑動(dòng),則這條雙曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡便是一個(gè)雙葉雙曲面. 例題 用一組平行平面,截割雙曲面得一族橢圓,求這些橢圓焦點(diǎn)的軌跡. 解 這一族橢圓為, 即因?yàn)?所以橢圓的長(zhǎng)半軸為,短半軸為,從而橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,消參即得.顯然,這族橢圓焦點(diǎn)的軌跡是一條在坐標(biāo)面xOz上的雙曲線,雙曲線的實(shí)軸為軸,虛軸為軸.作業(yè) 4.6 拋 物 面一. 橢圓拋物面1.定義:直角坐標(biāo)系下,由方程( 為任意常數(shù))所表示的曲面叫橢圓拋物面.2.圖形討論(1)對(duì)稱性:關(guān)于yOz、xOz坐標(biāo)面,z軸對(duì)稱,無對(duì)稱中心.(無心二次曲面)(2)頂點(diǎn)(0,0,0)(3)存在范圍:由, 知曲面全部位于xOy坐標(biāo)面的一側(cè).

17、(4)主截線:（主拋物線） (1) (2)（有共同的軸、開口方向、頂點(diǎn)）(5)平截線:a. 用平行xOy坐標(biāo)面的平面截割,截口為橢圓: （3）橢圓的兩對(duì)稱點(diǎn)，分別在主拋物面(1)與(2)上.可見:橢圓拋物面可視為橢圓的軌跡.b. 用平行于xOz面的平面截割,截口為拋物線： （4）(4)與拋物線(1)有相同的焦參數(shù)與開口方向,且其頂點(diǎn)在主拋物線(2)上.可見:橢圓拋物面可視為由兩個(gè)拋物線中的一條的軌跡.二. 雙葉拋物面1.定義:直角坐標(biāo)系下,由方程 所表示的曲面叫雙葉拋物面.2.圖形討論(1)對(duì)稱性:關(guān)于yOz、xOz坐標(biāo)面,z軸對(duì)稱,無對(duì)稱中心.(無心二次曲面)(2)頂點(diǎn)(0,0,0)(3)存

18、在范圍:無界.(4)主截線: （1） （2） （3） 過原點(diǎn)兩條相交直線 主拋物線(5)平截線:a. 用平行xOy坐標(biāo)面的平面截割,截口為雙曲線: （4）1.h0時(shí),雙曲線(4)實(shí)軸與x軸平行,虛軸與y軸平行,頂點(diǎn)在主拋物線(2)上2.h0時(shí), 雙曲線(4)頂點(diǎn)在主拋物線(3)上.可見:曲面被xOy坐標(biāo)面分割為上下兩部分,上部分沿x軸的兩個(gè)方向逐漸上升;下半部分沿y軸的兩個(gè)方向逐漸下降. b. 用平行于xOz面的平面截割,截口為拋物線： 拋物線(5)與主拋物線(2)有相同的焦參數(shù)與開口方向,且所在平面與(2)所在平面平行,其頂點(diǎn)在主拋物線(3)上. 橢圓拋物面與雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面，它們都沒

19、有對(duì)稱中心，所以又叫無心二次曲線.三空間區(qū)域簡(jiǎn)圖從是實(shí)例出發(fā),研究常見的曲面與平面(包含常用的坐標(biāo)面)所圍成的空間區(qū)域問題.例 1.作出球面與旋轉(zhuǎn)拋物面的交線.解 兩曲面的交線為（2）代入（1）得即所以，由（2）知所以取，因此交線方程可以改為或這是平面上的一個(gè)圓，圓心為，半徑為2。作業(yè) 4.7 單葉雙曲面與雙葉拋物面的直母線柱面與錐面都可以由一族直線所構(gòu)成,這種由一族直線所構(gòu)成的曲面叫直紋曲面,而構(gòu)成曲面的那族曲線叫這曲面的一族直母線.柱面與錐面都是直紋曲面.在前兩節(jié)看到單葉雙曲面與雙曲拋物面上都包含有直線.實(shí)際上,這兩曲面不僅包含有直線,而且可以有一組直線構(gòu)成,因而它們都是直紋曲面.一. 族直母線與族直母線 1. 族直母線將單葉雙曲面 (1) 改寫成或者(2) 現(xiàn)引進(jìn)不等于零的參數(shù),并考察上式得來的方程組 (3) 與兩方程組 (4) 與( 4)當(dāng)(3)式中參數(shù)和時(shí)的兩種極限情形,顯然不論取何值,(3)以及(4),( 4)都表示直線,我們把(3) ,(4),( 4)合起來組成的一族直線叫族直線. 現(xiàn)證明由這族直線可以構(gòu)成曲面,從而它是單葉雙曲面(1)的一族直母線.容易知道,族直線