概率論與數(shù)學建模

1、 概率論與數(shù)學建模基礎知識部分一、概率論： 1、概率：刻化某一事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)。 注：事件指隨機事件（可重復、可預測、結(jié)果明確） 例如拋骰子，拋一枚硬幣。2、常見的隨機變量：X （1）離散型： 泊松分布： 實際應用：時間t內(nèi)到達的次數(shù)；（小概率事件）一本書中一頁中的印刷錯誤數(shù)； 某地區(qū)在一天內(nèi)郵件遺失的信件數(shù)； 某一天內(nèi)醫(yī)院的急癥病人數(shù)； 某一地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； 一個時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計數(shù)器的粒子數(shù)等等（2）連續(xù)型：指數(shù)分布：其中為常數(shù) ，記為 特點:無記憶性。即是一個元件已經(jīng)使用了s小時，在此情形下，它總共能使用至少s+t小時的概率，與

2、開始使用時算起它至少能使用t小時的概率相等，即元件對已使用過s小時無記憶。實際應用：（可靠性理論、排隊論）許多“等待時間”都服從指數(shù)分布；一些沒有明顯“衰老”跡象的機械元器件（如半導體元件）的壽命也可也用指數(shù)分布來描述正態(tài)分布： 記為 標準正態(tài)分布：正態(tài)分布標準化：若,則，標準化的目的在于能夠方便查閱書后的標準正態(tài)分布表?！霸瓌t：“原則被實際工作者發(fā)現(xiàn),工業(yè)生產(chǎn)上用的控制圖和一些產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)都是根據(jù)3原則制定。3、隨機變量的特征數(shù)（數(shù)字特征）：均值（期望）：方差： 中心極限定理：是獨立同分布的隨機變量序列，且則有： 模型一、軋鋼中的浪費模型：問題：將粗大的鋼坯制成合格的鋼材需要兩道工序：粗軋（

3、熱軋），形成剛才的雛形；精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的成品材料。由于受到環(huán)境、技術等因素的影響，得到鋼材的長度是隨機的，大體上呈正態(tài)分布，其均值可以通過調(diào)整軋機設定，而均方差是由設備的精度決定，不能隨意改變。如果粗軋后的鋼材長度大于規(guī)定長度，精軋時要把多余的部分切除，造成浪費；而如果粗軋后的鋼材長度小于規(guī)定長度，則造成整根鋼材浪費。如何調(diào)整軋機使得最終的浪費最小。（1） 問題概述：成品材料的規(guī)定長度已知為，粗軋后的鋼材長度的標準差為，粗軋后的鋼材長度的均值，使得當軋鋼機調(diào)整到m進行粗軋，然后通過精軋以得到成品材時總的浪費最少。（2） 問題分析：精軋后的鋼材長度記為，的均值記為m，的方差為，按照題

4、意，。概率密度函數(shù)記為f（x），當成品鋼材的規(guī)定長度給定后，記的概率為，=p（）。在軋鋼過程中產(chǎn)生的浪費由兩種情況構(gòu)成：若，則浪費量為；若，則浪費量為。注意到當很大時，的可能性增加，浪費量同時增加；而當很小時，的可能性增加，浪費量也增加，因此需要確定一個合適的使得總的浪費量最小。（3） 模型建立與求解：這是一個優(yōu)化模型，建模的關鍵是選擇合適的目標函數(shù)，并用，m把目標函數(shù)表示出來。根據(jù)前面的分析，粗軋一根鋼材平均浪費長度為： 利用，和由（1）得：W=m- 以W為目標函數(shù)是否合適？由于軋鋼的最終產(chǎn)品是成品材，浪費的多少不應以每粗軋一根鋼材的平均浪費量為標準，而應該用每得到一根成品材浪費的平均長度來

5、衡量。因此目標函數(shù)為：因為是已知的常數(shù)，所以目標函數(shù)可以等價的取為： 其中，易見平均每得到一根成品鋼材所需要的剛才長度，問題就轉(zhuǎn)化為求m使達到最小。令則(2)式可表為：其中：可用微分法解的極值問題。不難推出最優(yōu)值Z應滿足方程： （*）記可根據(jù)標準正態(tài)分布的函數(shù)值和制成表格式給出圖形。Z-3.0-2.5-2.0-1.5 -1.0-0.5227.056.7918.107.2603.4771.680Z00.51.01.52.02.51.2530.8760.6560.5160.4200.355由上表可得方程（*）的根Z*注：當給定>F（0）=1.253時，方程（*）不止一個根，但是可以證得，只有

6、唯一負根Z*<0，才使取得極小值。模型二、（美國）一個地區(qū)911應急服務中心在過去的一年內(nèi)平均每月要收到171個房屋火災電話，基于這個資料的，火災率被估計為每月171次，下個月收到火災報警電話只有153個，這表明房屋火災率實際上實際上是減少了，或是或是它只是一個隨機波動？分析：Xn第n-1次和第n次火災之間的時間（月），X1，Xn，是獨立的且每一個Xn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為報告的房屋火災率（月），即是：，（Xi>0）目標：給定=171，確定每月收到153次這樣的少的電話報警的概率有多大？或者說每月收到153是否屬于正常范圍內(nèi)？建模：，將代入得：（利用3原理）：若要有95%的把握，

7、則：若要有99%的把握，則：選擇95%的把握得到： 將=171，n=153代入（1），有：即：因此我們的觀察值是在正常的變化范圍之內(nèi)結(jié)論：斷言火災報警率降低的證據(jù)不充分，它可能是正態(tài)隨機變量的正常結(jié)果。當然，若每月都連續(xù)這樣低，則需重新評估。靈敏度分析：當=171代入（1）得： 因為對任何的，區(qū)間總會包含1，即在之間都屬于正常范圍。 對于“每月171次”的假設的敏感性分析。去掉特殊性，假設每月的均值是，我們有一個月的報警電話次數(shù)的觀測值n=153，代入（1），有：因為對于任何的之間總會包含1，所以=153屬于正常的變化范圍。隨機過程與數(shù)學建模基礎知識部分隨機過程：熱噪聲電壓：電子元件或器件由于

8、內(nèi)部微觀粒子的隨機熱騷動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓。它在任一時刻t的值是一隨機變量，記為V(t),不同時刻對應不同的隨機變量，當時間在某區(qū)間，譬如在上推移時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機變量，記為：V(t),t>=0。由于熱騷動的隨機性，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的電壓時間函數(shù)。這樣，不斷的獨立的測量就可以得到一族不同的電壓時間函數(shù)。tV1(t)V2（t）V3（t）tttjtjtj設T是一無限實數(shù)集，我們把依賴于參數(shù)的一族（無限多個）隨機變量稱為隨機過程。記為X(t), 。這時每一個，X(t)是一隨機變量，T叫做參數(shù)集。把t看作為時間，稱X(t)為時刻t時過程的狀態(tài)，而X(t)=x或

9、是t=t1時過程處于狀態(tài)x。對于一切的，X(t)的所有可能的一切值的全體稱為隨機過程的狀態(tài)空間。 馬爾可夫鏈及其基本方程：將時間離散化為n=0，1，2，對每個n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機變量Xn表示，設Xn可以取k個離散的值Xn=1，2，k，且記即狀態(tài)概率從Xn=iXn+1=j的概率記為即轉(zhuǎn)移概率。如果的取值只取決于Xn的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與X1，X2，Xn-1的取值無關，則稱這種離散狀態(tài)按照離散的時間的隨機轉(zhuǎn)移過程叫做馬爾可夫過程。或者說此過程具有馬爾可性或無后效性。注：還可以這樣表示由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬爾可夫鏈的基本方程為 并且和應滿足： （2）引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣

10、則（1）式可表為：由此可得 ：（2）式表明轉(zhuǎn)移矩陣P是非負矩陣，且P的行和為1，稱為隨機矩陣。說明：對于馬爾可夫鏈模型最基本的問題是構(gòu)造狀態(tài)Xn及寫出轉(zhuǎn)移矩陣P，一旦有了P，那么給定初始狀態(tài)概率a（0）就可以用（3）和（4）或計算任意時段n的狀態(tài)概率a（n）模型一：人壽保險公司對受保人的健康狀況特別關注，他們歡迎年輕力壯的人投保，患病者和高齡人則需付較高的保險金，甚至被拒之門外。人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會發(fā)生轉(zhuǎn)變，且轉(zhuǎn)變是隨機的，保險公司要通過大量數(shù)據(jù)對狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率做出估計，才可能制定出不同年齡、不同健康狀況的人的保險金和理陪金數(shù)額，下面分兩種情況進行討論：（1）健康與疾?。?其中（i，j

11、=1，2）0.20.70.30.8n012310.80.780.7787/900.20.220.2222/9若開始處于疾病狀態(tài)，即，n012300.70.770.7777/910.30.230.2232/9更一般的，當時，的趨向與上面兩表相同。結(jié)論：當時，趨向于穩(wěn)定值，與初始狀態(tài)無關。（2）健康、疾病、死亡0.650，250.180.10.80.021n0125010.80.7570.1293000.180.1890.0326000.20.0540.83811對于例題中的（1）小問，看出從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次的轉(zhuǎn)移都能達到另外的任意狀態(tài)，而（2）小問中則不能。正則鏈定義：一個有k可狀態(tài)的馬爾

12、可夫鏈，如果存在正整數(shù)N，使從任意的狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于0的概率到達狀態(tài)j（i，j=1，2，3，k）則稱為正則鏈。Th1.若馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則鏈的充要條件是存在正整數(shù)N，使>0（指的每一元素大于零）。Th2.正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率=（1，2，k），使得當時，與初始狀態(tài)概率a(0)無關（稱為穩(wěn)定概率或穩(wěn)定狀態(tài)分布），滿足=例如：由上面方程組可求得，注：這能夠滿足我們這樣的一種想法：由于隨機波動，我們不能期望當系統(tǒng)穩(wěn)定時狀態(tài)變量將停留在一個數(shù)值上。我們能達到的最好的希望是狀態(tài)變量的概率分布將趨于一個極限分布。吸收鏈：馬爾可夫鏈存在一種狀態(tài)，系統(tǒng)一旦進入該狀態(tài)不再會

13、轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)，并且系統(tǒng)從其他任何狀態(tài)出發(fā)最終都會轉(zhuǎn)移到該狀態(tài)。吸收鏈的定義：轉(zhuǎn)移概率Pij=1的狀態(tài)i稱為吸收狀態(tài)，如果馬爾可夫鏈至少含一個狀態(tài)，并且從每一個非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移到達某個吸收狀態(tài)，則稱這個馬爾可夫鏈為吸收鏈。模型二：一個寵物商店出售容量為15L的水族箱，每個周末商店老板要盤點存貨，開出訂單。商店的訂貨策略是如果存貨為0，就在這個周末進3個新的15L水族箱。如果，只要商店還保存一個存貨，就不在進新的。這個策略是基于商店平均每周銷售一個水族箱的事實提出的。這個策略是不是能夠保證防止商店缺貨時顧客需要水族箱而無貨銷售的損失？分析：商店在每個銷售周的開始存貨在1個到3個之間，一周銷售的個數(shù)依賴于供給和需求兩方面，需求是每周平均一個，但是是隨機波動的。完全在某些周需求大于供給，即使在一周的開始就有3個水族箱的最大庫存。我們希望計算需要超過供給的概率。要解決此問題需給出關于需求的概率特征的假設，假設潛在的購買者在每周以一定的概率隨機到達。因此，在一周內(nèi)潛在的購買者的數(shù)目均值為1的泊松分布。建模與求解：符號：假設：目標：計算注：與模型的動態(tài)有關，將被用來構(gòu)成轉(zhuǎn)移狀態(tài)矩陣P。已知狀態(tài)空間設=