概率論與數(shù)學(xué)建模

1、 概率論與數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識部分一、概率論： 1、概率：刻化某一事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)。 注：事件指隨機(jī)事件（可重復(fù)、可預(yù)測、結(jié)果明確） 例如拋骰子，拋一枚硬幣。2、常見的隨機(jī)變量：X （1）離散型： 泊松分布： 實(shí)際應(yīng)用：時(shí)間t內(nèi)到達(dá)的次數(shù)；（小概率事件）一本書中一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)； 某地區(qū)在一天內(nèi)郵件遺失的信件數(shù)； 某一天內(nèi)醫(yī)院的急癥病人數(shù)； 某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； 一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的經(jīng)過計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)等等（2）連續(xù)型：指數(shù)分布：其中為常數(shù) ，記為 特點(diǎn):無記憶性。即是一個(gè)元件已經(jīng)使用了s小時(shí)，在此情形下，它總共能使用至少s+t小時(shí)的概率，與

2、開始使用時(shí)算起它至少能使用t小時(shí)的概率相等，即元件對已使用過s小時(shí)無記憶。實(shí)際應(yīng)用：（可靠性理論、排隊(duì)論）許多“等待時(shí)間”都服從指數(shù)分布；一些沒有明顯“衰老”跡象的機(jī)械元器件（如半導(dǎo)體元件）的壽命也可也用指數(shù)分布來描述正態(tài)分布： 記為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化：若,則，標(biāo)準(zhǔn)化的目的在于能夠方便查閱書后的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表?！霸瓌t：“原則被實(shí)際工作者發(fā)現(xiàn),工業(yè)生產(chǎn)上用的控制圖和一些產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)都是根據(jù)3原則制定。3、隨機(jī)變量的特征數(shù)（數(shù)字特征）：均值（期望）：方差： 中心極限定理：是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且則有： 模型一、軋鋼中的浪費(fèi)模型：問題：將粗大的鋼坯制成合格的鋼材需要兩道工序：粗軋（

3、熱軋），形成剛才的雛形；精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的成品材料。由于受到環(huán)境、技術(shù)等因素的影響，得到鋼材的長度是隨機(jī)的，大體上呈正態(tài)分布，其均值可以通過調(diào)整軋機(jī)設(shè)定，而均方差是由設(shè)備的精度決定，不能隨意改變。如果粗軋后的鋼材長度大于規(guī)定長度，精軋時(shí)要把多余的部分切除，造成浪費(fèi)；而如果粗軋后的鋼材長度小于規(guī)定長度，則造成整根鋼材浪費(fèi)。如何調(diào)整軋機(jī)使得最終的浪費(fèi)最小。（1） 問題概述：成品材料的規(guī)定長度已知為，粗軋后的鋼材長度的標(biāo)準(zhǔn)差為，粗軋后的鋼材長度的均值，使得當(dāng)軋鋼機(jī)調(diào)整到m進(jìn)行粗軋，然后通過精軋以得到成品材時(shí)總的浪費(fèi)最少。（2） 問題分析：精軋后的鋼材長度記為，的均值記為m，的方差為，按照題

4、意，。概率密度函數(shù)記為f（x），當(dāng)成品鋼材的規(guī)定長度給定后，記的概率為，=p（）。在軋鋼過程中產(chǎn)生的浪費(fèi)由兩種情況構(gòu)成：若，則浪費(fèi)量為；若，則浪費(fèi)量為。注意到當(dāng)很大時(shí)，的可能性增加，浪費(fèi)量同時(shí)增加；而當(dāng)很小時(shí)，的可能性增加，浪費(fèi)量也增加，因此需要確定一個(gè)合適的使得總的浪費(fèi)量最小。（3） 模型建立與求解：這是一個(gè)優(yōu)化模型，建模的關(guān)鍵是選擇合適的目標(biāo)函數(shù)，并用，m把目標(biāo)函數(shù)表示出來。根據(jù)前面的分析，粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度為： 利用，和由（1）得：W=m- 以W為目標(biāo)函數(shù)是否合適？由于軋鋼的最終產(chǎn)品是成品材，浪費(fèi)的多少不應(yīng)以每粗軋一根鋼材的平均浪費(fèi)量為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)該用每得到一根成品材浪費(fèi)的平均長度來

5、衡量。因此目標(biāo)函數(shù)為：因?yàn)槭且阎某?shù)，所以目標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)的取為： 其中，易見平均每得到一根成品鋼材所需要的剛才長度，問題就轉(zhuǎn)化為求m使達(dá)到最小。令則(2)式可表為：其中：可用微分法解的極值問題。不難推出最優(yōu)值Z應(yīng)滿足方程： （*）記可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)值和制成表格式給出圖形。Z-3.0-2.5-2.0-1.5 -1.0-0.5227.056.7918.107.2603.4771.680Z00.51.01.52.02.51.2530.8760.6560.5160.4200.355由上表可得方程（*）的根Z*注：當(dāng)給定>F（0）=1.253時(shí)，方程（*）不止一個(gè)根，但是可以證得，只有

6、唯一負(fù)根Z*<0，才使取得極小值。模型二、（美國）一個(gè)地區(qū)911應(yīng)急服務(wù)中心在過去的一年內(nèi)平均每月要收到171個(gè)房屋火災(zāi)電話，基于這個(gè)資料的，火災(zāi)率被估計(jì)為每月171次，下個(gè)月收到火災(zāi)報(bào)警電話只有153個(gè)，這表明房屋火災(zāi)率實(shí)際上實(shí)際上是減少了，或是或是它只是一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)？分析：Xn第n-1次和第n次火災(zāi)之間的時(shí)間（月），X1，Xn，是獨(dú)立的且每一個(gè)Xn服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為報(bào)告的房屋火災(zāi)率（月），即是：，（Xi>0）目標(biāo)：給定=171，確定每月收到153次這樣的少的電話報(bào)警的概率有多大？或者說每月收到153是否屬于正常范圍內(nèi)？建模：，將代入得：（利用3原理）：若要有95%的把握，

7、則：若要有99%的把握，則：選擇95%的把握得到： 將=171，n=153代入（1），有：即：因此我們的觀察值是在正常的變化范圍之內(nèi)結(jié)論：斷言火災(zāi)報(bào)警率降低的證據(jù)不充分，它可能是正態(tài)隨機(jī)變量的正常結(jié)果。當(dāng)然，若每月都連續(xù)這樣低，則需重新評估。靈敏度分析：當(dāng)=171代入（1）得： 因?yàn)閷θ魏蔚?，區(qū)間總會(huì)包含1，即在之間都屬于正常范圍。 對于“每月171次”的假設(shè)的敏感性分析。去掉特殊性，假設(shè)每月的均值是，我們有一個(gè)月的報(bào)警電話次數(shù)的觀測值n=153，代入（1），有：因?yàn)閷τ谌魏蔚闹g總會(huì)包含1，所以=153屬于正常的變化范圍。隨機(jī)過程與數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)知識部分隨機(jī)過程：熱噪聲電壓：電子元件或器件由于

8、內(nèi)部微觀粒子的隨機(jī)熱騷動(dòng)所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓。它在任一時(shí)刻t的值是一隨機(jī)變量，記為V(t),不同時(shí)刻對應(yīng)不同的隨機(jī)變量，當(dāng)時(shí)間在某區(qū)間，譬如在上推移時(shí)，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī)變量，記為：V(t),t>=0。由于熱騷動(dòng)的隨機(jī)性，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同的電壓時(shí)間函數(shù)。這樣，不斷的獨(dú)立的測量就可以得到一族不同的電壓時(shí)間函數(shù)。tV1(t)V2（t）V3（t）tttjtjtj設(shè)T是一無限實(shí)數(shù)集，我們把依賴于參數(shù)的一族（無限多個(gè)）隨機(jī)變量稱為隨機(jī)過程。記為X(t), 。這時(shí)每一個(gè)，X(t)是一隨機(jī)變量，T叫做參數(shù)集。把t看作為時(shí)間，稱X(t)為時(shí)刻t時(shí)過程的狀態(tài)，而X(t)=x或

9、是t=t1時(shí)過程處于狀態(tài)x。對于一切的，X(t)的所有可能的一切值的全體稱為隨機(jī)過程的狀態(tài)空間。 馬爾可夫鏈及其基本方程：將時(shí)間離散化為n=0，1，2，對每個(gè)n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量Xn表示，設(shè)Xn可以取k個(gè)離散的值Xn=1，2，k，且記即狀態(tài)概率從Xn=iXn+1=j的概率記為即轉(zhuǎn)移概率。如果的取值只取決于Xn的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與X1，X2，Xn-1的取值無關(guān)，則稱這種離散狀態(tài)按照離散的時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程叫做馬爾可夫過程?；蛘哒f此過程具有馬爾可性或無后效性。注：還可以這樣表示由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬爾可夫鏈的基本方程為 并且和應(yīng)滿足： （2）引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣

10、則（1）式可表為：由此可得 ：（2）式表明轉(zhuǎn)移矩陣P是非負(fù)矩陣，且P的行和為1，稱為隨機(jī)矩陣。說明：對于馬爾可夫鏈模型最基本的問題是構(gòu)造狀態(tài)Xn及寫出轉(zhuǎn)移矩陣P，一旦有了P，那么給定初始狀態(tài)概率a（0）就可以用（3）和（4）或計(jì)算任意時(shí)段n的狀態(tài)概率a（n）模型一：人壽保險(xiǎn)公司對受保人的健康狀況特別關(guān)注，他們歡迎年輕力壯的人投保，患病者和高齡人則需付較高的保險(xiǎn)金，甚至被拒之門外。人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變，且轉(zhuǎn)變是隨機(jī)的，保險(xiǎn)公司要通過大量數(shù)據(jù)對狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率做出估計(jì)，才可能制定出不同年齡、不同健康狀況的人的保險(xiǎn)金和理陪金數(shù)額，下面分兩種情況進(jìn)行討論：（1）健康與疾?。?其中（i，j

11、=1，2）0.20.70.30.8n012310.80.780.7787/900.20.220.2222/9若開始處于疾病狀態(tài)，即，n012300.70.770.7777/910.30.230.2232/9更一般的，當(dāng)時(shí)，的趨向與上面兩表相同。結(jié)論：當(dāng)時(shí)，趨向于穩(wěn)定值，與初始狀態(tài)無關(guān)。（2）健康、疾病、死亡0.650，250.180.10.80.021n0125010.80.7570.1293000.180.1890.0326000.20.0540.83811對于例題中的（1）小問，看出從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次的轉(zhuǎn)移都能達(dá)到另外的任意狀態(tài)，而（2）小問中則不能。正則鏈定義：一個(gè)有k可狀態(tài)的馬爾

12、可夫鏈，如果存在正整數(shù)N，使從任意的狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于0的概率到達(dá)狀態(tài)j（i，j=1，2，3，k）則稱為正則鏈。Th1.若馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則鏈的充要條件是存在正整數(shù)N，使>0（指的每一元素大于零）。Th2.正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率=（1，2，k），使得當(dāng)時(shí)，與初始狀態(tài)概率a(0)無關(guān)（稱為穩(wěn)定概率或穩(wěn)定狀態(tài)分布），滿足=例如：由上面方程組可求得，注：這能夠滿足我們這樣的一種想法：由于隨機(jī)波動(dòng)，我們不能期望當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)狀態(tài)變量將停留在一個(gè)數(shù)值上。我們能達(dá)到的最好的希望是狀態(tài)變量的概率分布將趨于一個(gè)極限分布。吸收鏈：馬爾可夫鏈存在一種狀態(tài)，系統(tǒng)一旦進(jìn)入該狀態(tài)不再會(huì)

13、轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)，并且系統(tǒng)從其他任何狀態(tài)出發(fā)最終都會(huì)轉(zhuǎn)移到該狀態(tài)。吸收鏈的定義：轉(zhuǎn)移概率Pij=1的狀態(tài)i稱為吸收狀態(tài)，如果馬爾可夫鏈至少含一個(gè)狀態(tài)，并且從每一個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移到達(dá)某個(gè)吸收狀態(tài)，則稱這個(gè)馬爾可夫鏈為吸收鏈。模型二：一個(gè)寵物商店出售容量為15L的水族箱，每個(gè)周末商店老板要盤點(diǎn)存貨，開出訂單。商店的訂貨策略是如果存貨為0，就在這個(gè)周末進(jìn)3個(gè)新的15L水族箱。如果，只要商店還保存一個(gè)存貨，就不在進(jìn)新的。這個(gè)策略是基于商店平均每周銷售一個(gè)水族箱的事實(shí)提出的。這個(gè)策略是不是能夠保證防止商店缺貨時(shí)顧客需要水族箱而無貨銷售的損失？分析：商店在每個(gè)銷售周的開始存貨在1個(gè)到3個(gè)之間，一周銷售的個(gè)數(shù)依賴于供給和需求兩方面，需求是每周平均一個(gè)，但是是隨機(jī)波動(dòng)的。完全在某些周需求大于供給，即使在一周的開始就有3個(gè)水族箱的最大庫存。我們希望計(jì)算需要超過供給的概率。要解決此問題需給出關(guān)于需求的概率特征的假設(shè)，假設(shè)潛在的購買者在每周以一定的概率隨機(jī)到達(dá)。因此，在一周內(nèi)潛在的購買者的數(shù)目均值為1的泊松分布。建模與求解：符號：假設(shè)：目標(biāo)：計(jì)算注：與模型的動(dòng)態(tài)有關(guān)，將被用來構(gòu)成轉(zhuǎn)移狀態(tài)矩陣P。已知狀態(tài)空間設(shè)=