極值點偏移的判定方法

1、極值點偏移的判定方法和運用束帕一、判定方法1、極值點偏移的定義對于函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點x0,方程f(x)0的解分別為,且a為X2b,(1)若寸”,則稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間(心)上極值點xo偏移；(2)若號X。，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(為上極值點x。左偏，簡稱極值點x。左偏；(3)若yx。，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xi，x2)上極值點x。右偏，簡稱極值點x。右偏。2、極值點偏移的判定定理判定定理1對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x。，方程f(x)。的解分別為為、x2,且ax,x2b,(1)若f,(1L)。，則12()%,即函數(shù)yf(x)在

2、區(qū)間(XL)上極大(小)值點x。右(左)偏；(2)。若口2)。，貝()X0,即函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，X2）上極大（?。┲迭cX0左（右）偏。證明：（1）因為可導(dǎo)函數(shù)yf（x）,在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭cx0,則函數(shù)yf（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為（a,x0）,單調(diào)遞減（增）區(qū)間為（x0，b）,又a%X2b,有十（a,b）由于f,（寧）0,故12（a*）,所以三（）x0,即函數(shù)極大（?。┲迭cxo右（左）偏。結(jié)論（2）證明略。判定定理2對于可導(dǎo)函數(shù)yf（x）,在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（小）值點x0,方程f（x）0的解分別為為、xz,且a%x?b,（1）若f（%）f（2%x?）,

3、則12（）x0即函數(shù)yf（x）在區(qū)間（xi,xz）上極大（?。┲迭cxo右（左）偏;（2）若f（xi）f（2xoxz），則合2（）x0即函數(shù)yf（x）在區(qū)間（X,x2）上極大（?。┲迭cxo左（右）偏。證明：（1）因為對于可導(dǎo)函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭cx。,則函數(shù)yf（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為（a，%）,單調(diào)遞減（增）區(qū)間為（x0，b）,又aXiX2b,有xix0,且2X0X2Xo,3f（Xi）f（2xoX2）,Xi（）2X0X2，所以寶（）X0,即函數(shù)極大（?。┲迭cXo右（左）偏.結(jié)論（2）證明略。應(yīng)用舉例例1:函數(shù)f（X）X4；X3,與直線ya（a交于33A（Xi

4、,a）、B（X2,a）,證明：xx22。解法1：（運用定義證明）：設(shè)XiX2,由題意得Xi44X13a, x4 4x333a，兩式相減整理得XiX24,22、(XiXi x2x2 )322XiX2t *(t i)XiXiX23(t2 t Dt2 i4 4 t23 3 t2 i2, IP XiX22 O由于僅用a難表示XiX2,故兩式相減）構(gòu)造用t至表示XiX2的函數(shù)求解。Xi解法2：（運用判定定理i證明）：設(shè)XiX2f(x)4x34x2,函數(shù)f(x)X44X3的單調(diào)遞減區(qū)間為34(.22)(1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,),又xix2xix2有f,(y)與ao貝(J121)即xix22。23(x1

5、x2),2判斷(二!)與0的關(guān)系，此解法用的是不等式放縮法。當(dāng)然，也可構(gòu)造函數(shù)求解。解法3:(運用判定定理2證明)：設(shè)為x2,函數(shù)f(x)x49的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1),3單調(diào)遞增區(qū)間為(1,)，有x21,設(shè)F(x)f(1x)f(1x),F'(x)8(3x22x1)0,故F(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，又F(0)0,所以當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)F(0)0,即x時，f(1x)f(1x).f(x)f(x2)f(1(x21)f(2x2)，又x11,2x21,又函數(shù)f(x)x44x3單調(diào)遞減區(qū)間為(，1),所以、2x2,得證。3運用判定定理2解決極決極值點偏移的是構(gòu)構(gòu)函數(shù)，構(gòu)構(gòu)函數(shù)F(x)f(1x)f

6、(1x)為此題的難點。例2:(2013天津文)已知函數(shù)f(x)L|ex.1x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)問；(2)證明：當(dāng)f(x1)f(x2)(x1x2),x1x20.分析：構(gòu)造對稱函數(shù)(2010天津理)已知函數(shù)f(x)xex(xR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)yg(x)的圖像與函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱,證明：當(dāng)x1時，f(x)g(x);(3)如果xix2,且f(x1)f(x2),證明：x1x22.分析：(3)構(gòu)造比較函數(shù)。對數(shù)平均不等式：定義：兩個正數(shù)a、b的對數(shù)平均L(a,b)b),有如下關(guān)系:ab/(alnalnba(ab)ab.abL(a,b)2指數(shù)不等式：在對數(shù)平均的定義中，設(shè)a_m.e,b則E(a,b)n(mmnem(mn)n),根據(jù)對數(shù)平均mn不等式有如下關(guān)系：e=E(a,b)例4:設(shè)函數(shù)f(x)ex且x1x2.(1)求x的取值范圍；證明：f'(.x1x2)ax0.a(aR),其圖像與x軸交于A(為,0)、B(x2,0),例5：(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a)x