大學(xué)高等數(shù)學(xué)_06中值定理_洛必塔_泰勒_單調(diào)性

1、第三章中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)引理引理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()(, )(0000 xfxxfxxx則)(0 xf xxf

2、xxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 費(fèi)馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 M m ,

3、 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費(fèi)馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使2) 定理?xiàng)l件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf,

4、 )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄

5、上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()

6、()(abafbff證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxx

7、farccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí),)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 證明不等式證證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

8、回 結(jié)束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaF

9、bfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0() 1 (

10、ff)0() 1 (FF例例4. 設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 結(jié)論可變形為設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos

11、1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 試證至少存在一點(diǎn)), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系

12、羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4412 3412思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值._2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程2. 設(shè),0)(Cxf且

13、在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 思考: 在0,00,si

14、n)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos當(dāng),0 0 x時(shí). 0cos1問問是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因?yàn)?(x是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 . 0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(111nnf作業(yè)作業(yè)P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示提示:xexfx)()(題15. )(nxxf)0(f 0)0(f0題14. 考慮第二節(jié) 目錄 上頁 下頁

15、 返回 結(jié)束 費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛, 博覽群書并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作, 他是對分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他

16、對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 備用題備用題求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 1 , 0)(即0)()(ffn設(shè)輔助

17、函數(shù)使得)()(1ffnnn0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)0(,0)( fxf設(shè) 證明對任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf證證：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨設(shè) )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)法則 第三三章 )()(limxgxf微分中值定理函數(shù)

18、的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化00( 或 型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達(dá)法則) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 在 x , a 之間)證證: 無妨假設(shè), 0)()(aFaf在指出的鄰域內(nèi)任取,ax 則)(, )(xFxf在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯0)(lim)(lim)

19、 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件: 西定理?xiàng)l件,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?),)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且推論推論1. 定理 1 中ax 換為, ax, ax,xx之一,推論推論 2. 若)()(limxFxf滿足定且型仍屬)(, )(,00 xFxf理1條件, 則)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成

20、立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必達(dá)法則定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 為正整數(shù)) ?型機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型未定式型未定式)

21、(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?()(limxFxfax定理定理 2.證證: )()(limxFxfax僅就極限存在的情形加以證明 .)()(limxFxfax(洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且1)0)()(limxFxfax的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFx

22、Fxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax從而型00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)0)()(limxFxfax的情形. 取常數(shù),0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用 1) 中結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)()(limxFxfax時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明說明: 定理中ax 換為之一, 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立., ax,

23、ax,xx,x定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不為正整數(shù)的情形.nx從而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夾逼準(zhǔn)則kx1kx存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

24、回 結(jié)束 . )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx說明說明:1) 例3 , 例4 表明x時(shí),lnx后者比前者趨于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必達(dá)法則2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 若,)()()(lim時(shí)不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx極限不存在)sin1 (limxxx1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

25、結(jié)束 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxel

26、n0lim0e1例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例8. 求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnneln11例例9. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 為用洛必達(dá)法則 , 必須改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必達(dá)法則型0但對本題用此法計(jì)算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121

27、lnlimnnn0u1ue原式例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取對數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè))()(limxgxf是未定式極限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的極限也不存在 ? 舉例說明 .極限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30

28、 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 則2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)洛必達(dá)(1661 1704)

29、法國數(shù)學(xué)家, 他著有無窮小分析(1696), 并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法的擺線難題 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 , 在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”. 他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求下列極限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt備用題備用題

30、ttt21lim11021)1(xt 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令,12xt 則ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必達(dá)法則)(繼續(xù)用洛必達(dá)法則)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三節(jié) 目錄 上

31、頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1

32、. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0a

33、nnxxaxxaxxa)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項(xiàng)估計(jì)余項(xiàng)估計(jì))()()(xpxfxRnn令(稱為余項(xiàng)) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1

34、()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時(shí)的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf n

35、nxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n

36、 = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf

37、2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其

38、中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx機(jī)動(dòng) 目錄 上

39、頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、泰勒公式的

40、應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知例例1. 計(jì)算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1

41、!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 注意舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差為6105 . 076106105這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過.106因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 用近似公式!21cos2xx計(jì)算

42、cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n)

43、1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0

44、(82112xxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cos x)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.

45、(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) , xsin例如例如 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)

46、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 計(jì)算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒泰勒 (1685 1731)英國數(shù)學(xué)家, 他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基

47、人 .麥克勞林麥克勞林 (1698 1746)英國數(shù)學(xué)家, 著作有:流數(shù)論(1742)有機(jī)幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) ., 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一點(diǎn))(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x由題設(shè)對證證:備用題備用題 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內(nèi)至少存在證明) 1,0(且得分別令, 1,0 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

48、頁 返回 結(jié)束 ), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式減上式 , 得)()(48112ff )()(48112ff )(241f ) 10(令)(,)(max)(12fff 24)( f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 e) 10(! ) 1(!1!2111nen兩邊同乘 n !en!= 整數(shù) +) 10(1ne假設(shè) e 為有理數(shù)qp( p , q 為正整數(shù)) ,則當(dāng) 時(shí),qn 等式左邊為整數(shù);矛盾 !2. 證明 e 為無理數(shù) . 證證:2n

49、 時(shí),當(dāng)故 e 為無理數(shù) .等式右邊不可能為整數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三三章 一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 1. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開

50、區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢例例1. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxo說明說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,

51、3xxy23xy 00 xyyox3xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明20 x時(shí), 成立不等式.2sinxx證證: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此且證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 * 證明0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()(x即),0(,0tan2xxxAB定義定義

52、. 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) .圖形是凸凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .)(xf證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x2