11不等式的綜合問(wèn)題

1、江蘇省江蘇省 2014 屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編 18：不等式的綜合問(wèn)題：不等式的綜合問(wèn)題填空題1. 設(shè)實(shí)數(shù) x,y 滿足 38,49,則的最大值是_2xyyx243yx【答案】27 2. 已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足,則的取值范圍是_., x y54276xy2741loglog6yx2741yxxy【答案】 56 3. 設(shè)62,22baRba,則3ab的最大值是_.【答案】1 4. 定義在 R 上的函數(shù)是增函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱,設(shè), 滿)(xfy )2( xfy)0 , 2(st足不等式,若時(shí),則的范圍是_.)4()4(22ttfssf22sst 3【答案】 8,165

2、. 設(shè)變量滿足,則的最大值為_.yx,1| yxyx2【答案】 26. 已知函數(shù),對(duì)任意的,恒成立,則x的取值范圍是 3123f xxx3,3t 20f txf x_.【答案】 11,27. 設(shè)若不等式對(duì)于任意的恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范，xxfRx)21()(kxfxf)2()(Rxk圍是_.【答案】2k . 8. 若對(duì)任意xR,不等式23324xaxx恒成立,則實(shí)數(shù)a的范圍_. 【答案】11a 9. 已知為正的常數(shù),若不等式對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)恒成立,則的最大值為_.a2112xxxa xa【答案】8 10.已知 f(x)= ,.若,則的取值范圍是222mxm0,mmR xR121xx12()()

3、f xf x【答案】 22 ,22111.若實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值為_.abcd143ln22dcbaa22)()(dbca【答案】 221 ln2512.定義運(yùn)算,則關(guān)于非零實(shí)數(shù)的不等式的解集為_.x【答案】 1,00,2,213.設(shè)P(x,y)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),記,則當(dāng)m最小時(shí),點(diǎn) P21yx(3)x 353712xyxymxy的坐標(biāo)為_.【答案】 答案:(2,3). 法一 . 2223631013xxxxmxx2231613xxxx當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)m取得最小,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 223113xxxx2x P(2,3)法二 . 33213612xyxymxy 21612yxxy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得

4、最小值.下略. 2112yxxym14.已知,若,且,則的最大值為_.01alog (21)log (32)aaxyyxxy【答案】 答案:-2. 本題主要考查對(duì)數(shù)與線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識(shí)及簡(jiǎn)單運(yùn)算.講評(píng)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于 0.強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)a之間的關(guān)系. 15.設(shè)實(shí)數(shù)x1,x2,x3,x4,x5均不小于 1,且x1x2x3x4x5=729,則 maxx1x2,x2x3,x3x4,x4x5的最小值是_.【答案】9 解答題16.已知實(shí)數(shù)a,b0,求證:3322()abab ab【答案】（方法一）證明：332222()()()abab abaaabbbba 55()()() abab

5、 2432234() ()() ()() ()()()() abaabababb 因?yàn)閷?shí)數(shù) a、b0，2432234()0,()() ()() ()()()() 0abaabababb 所以上式0。即有3322()abab ab。 （方法二）證明：由 a、b 是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得 332222()()()abab abaaabbbba55()()() abab 當(dāng)ab時(shí)，ab，從而55()()ab，得55()()() 0abab； 當(dāng)ab時(shí)，ab，從而55()()ab，得55()()() 0abab； 所以3322()abab ab。 17.某啤酒廠為適應(yīng)市場(chǎng)需要,2011 年起引進(jìn)葡萄酒生產(chǎn)線

6、,同時(shí)生產(chǎn)啤酒和葡萄酒,2011 年啤酒生產(chǎn)量為 16000 噸,葡萄酒生產(chǎn)量 1000 噸.該廠計(jì)劃從 2012 年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少 50%,葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加 100%,試問(wèn):(1)哪一年啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和最低?(2)從 2011 年起(包括 2011 年),經(jīng)過(guò)多少年葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的23?(生產(chǎn)總量是指各年年產(chǎn)量之和)【答案】解:設(shè)從 2011 年起,該車第n年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量分別為na噸和nb噸,經(jīng)過(guò)n年后啤酒和葡萄酒各年生產(chǎn)量的總量分別為nA噸和nB噸. (1)設(shè)第n年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量為nD噸,依題意,11

7、6000(150%)nna=320002n, 11000(1 100%)nnb=500 2n,(*nN), 則nnnDab=320002n+500 2n=64500(2 )2nn64500 2280002nn, 當(dāng)且僅當(dāng)6422nn,即3n 時(shí)取等號(hào), 故2013年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量最低,為8000噸 (2)依題意,23nnnBAB,得2nnBA, 1160001( ) 212320001212nnnnA,100012 1000(21)12nnnB, 1000(21)n213200022nn, 210n ,62642n,6n , 從第 6 年起,葡萄酒各年生產(chǎn)的總量不低于啤酒各年生產(chǎn)總

8、量與葡萄酒各年生產(chǎn)總量之和的23 18.小張于年初支出 50 萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出 6 萬(wàn)元,從第二年起,每年都比上一年增加支出 2 萬(wàn)元,假定該車每年的運(yùn)輸收入均為 25 萬(wàn)元,小張?jiān)谠撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第年年底出售,其銷售收入為萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定x25x大貨車的報(bào)廢年限為 10 年)(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小張獲得的年平均利潤(rùn)最大?(利潤(rùn)=累計(jì)收入銷售收入總支出)【答案】(1)設(shè)大貨車到第年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為萬(wàn)元, xy則, 256(1)5

9、0, (010)yxxx xxx，N即, 22050, (010)yxxxx ，N由,解得, 220500 xx25102510 x而,故從第 3 年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出 325102(2)因?yàn)槔麧?rùn)=累計(jì)收入+銷售收入-總支出,所以銷售二手車后,小張的年平均利潤(rùn)為 , 211(25)=(1925)yyxxxxx)25(19xx 而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 252519()1929xxxx5x 答:小張應(yīng)當(dāng)在第 5 年將大貨車出售,才能使年平均利潤(rùn)最大, 19.某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了去年各個(gè)季度冰箱的進(jìn)貨資金情況,得到如下數(shù)據(jù):季 度第一季度第二季度第三季度第四季度進(jìn)貨資金(單位:萬(wàn)元)42.638.

10、337.741.4試求該商場(chǎng)去年冰箱的“季擬合進(jìn)貨資金m”的值(m是這樣的一個(gè)量: 它與各個(gè)季度進(jìn)貨資金差的平方和最小);該商場(chǎng)今年第一個(gè)季度對(duì)冰箱進(jìn)貨時(shí),計(jì)劃進(jìn)貨資金比去年季擬合進(jìn)貨資金增長(zhǎng)25%.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),銷售“節(jié)能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤(rùn)P(萬(wàn)元)和Q(萬(wàn)元)與進(jìn)貨資金t(萬(wàn)元)分別近似地滿足公式14Pt和2020tQt,那么該商場(chǎng)今年第一個(gè)季度應(yīng)如何分配進(jìn)貨資金,才能使銷售冰箱獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?【答案】解: (1) 設(shè)四個(gè)季度的進(jìn)貨資金分別為1234,a a a a, 則22221234()()()()Mmamamama =222221234123442()(

11、)maaaa maaaa 所以當(dāng)12344aaaam時(shí),M最小 故所求的季擬合進(jìn)貨資金42.638.337.741.4404m萬(wàn)元 (2) 因?yàn)榻衲甑谝患径鹊倪M(jìn)貨資金為40 (125%)50萬(wàn)元,設(shè)用于普通冰箱的進(jìn)貨資金為x萬(wàn)元,則用于節(jié)能冰箱的進(jìn)貨資金為(50)x萬(wàn)元, 從而銷售冰箱獲得的利潤(rùn)為120(50)420 xyPQxx(050 x) 令2020,70sx,則754007540035()224242ssyss 當(dāng)且僅當(dāng)40s ,即20 x 時(shí), y取得最大值為 17.5, 所以當(dāng)用于節(jié)能冰箱的進(jìn)貨資金為 30 萬(wàn)元,用于普通冰箱的進(jìn)貨資金為 20 萬(wàn)元時(shí),可使銷售冰箱的利潤(rùn)最大,最大

12、為 17.5 萬(wàn)元 (說(shuō)明:第(2)小題用導(dǎo)數(shù)方法求解的,類似給分) 20.按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則am他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩mmannna種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.1h2h1 2hh現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品的單件成本分別為 12 元和 5 元，乙生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品的單件成本分別為 3 元和 20 元，設(shè)產(chǎn)品 A、B 的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn) A 與賣出 B 的綜合滿意度為，AmBmh乙乙賣出 A 與買進(jìn) B 的綜合滿意度為，h乙（

13、1）求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；h乙h乙AmBm35ABmmh乙h乙（2）設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿35ABmmAmBm意度為多少？（3）記(2)中最大的綜合滿意度為，試問(wèn)能否適當(dāng)選取、的值，使得和0hAmBm0hh乙同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由。0hh乙【答案】【解析】(1)=,=,125320ABABABABmmmmhhmmmm乙甲(3,12,5,20)ABmm當(dāng)時(shí)，35ABmm235=,35(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲235=,320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙顯然 =hh乙甲(2)當(dāng)時(shí)

14、，35ABmm2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲由，故當(dāng)即時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大1115,20, 20 5BBmm得1120Bm20,12BAmm的綜合滿意度為 105（3） （方法一）由（2）知：=0h105由得：，010=1255ABABmmhhmm甲12552ABABmmmm令則，即：。35,ABxymm1 ,14xy、5(14 )(1)2xy同理，由得：0105hh乙5(1)(14 )2xy另一方面，1 ,14xy、141xx5、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 ,2當(dāng)且僅當(dāng)，即Am=Bm時(shí)，取等號(hào)。55(1 4 )(1),(1)(1 4 ),22xyxy14xy所以不能否適當(dāng)選取Am、Bm的值，使得0hh乙和0hh乙同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。21.如圖,重量是 2000N 的重物掛在杠