平面向量基本定理專題(無答案)

1、平面向量基本定理專題平面向量的基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a ，有且只有一對實數(shù)1，2，使a 1 e12 e2注意： 其中不共線向量e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 同一平面內(nèi)可以做基底的向量有無數(shù)組，只要兩個向量不共線，都可以作為平面的一組基底。不同基底對應(yīng)向量 a的表示式不相同。 特別地，若a =0 ，則有且只有1 = 2題型一、平面向量基本概念的判斷例1、判斷(正確的打“，”，錯誤的打“x”)(1)一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底 ()(2)若ei, 62是同一平面內(nèi)兩個不共線向

2、量，則為8+加2(入，入2為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量()(3)若 aei + be2 = cei + de2(a, b, c, dCR),則 a = c, b = d.()例2、如圖所示，ei, e2是兩個不共線的向量，試用ei, e2表示向量AB, CD, EF, GH, HG, a.例3、如果ei, &是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是Qi+e2（人 代R）可以表小平面a內(nèi)的所有向量；對于平面a內(nèi)任一向量a,使a= Qi+畢的實數(shù)對（A曲有無窮多個；若向量 為ei+世e2與22ei+區(qū)e2共線，則有且只有一個實數(shù) A,使得大ei+以e2=l2e1-區(qū)e2）；

3、若存在實數(shù) A仙使得 冷+因2 = 0,則 壯產(chǎn)0.例4、設(shè)ei、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：ei與ei + e2；ei2e2與e22e1；ei 2金與4e22e1；e1 + e2與ei一金.其中能作為平面內(nèi) 所有向量的一組基底的序號是 .（寫出所有滿足條件的序號）例5、設(shè)ei, e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中, 不能作為基底的是（）A . ei + e2 和 ei e2B. 3e 4金和 6ei 82C. ei + 2e2和 2e1 + e2D. ei 和 ei + e題型二 用基底表示向量將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量， 基本方法有兩種：一種 是運用

4、向量的線性運算法則對待求向量不斷轉(zhuǎn)化， 直到用基底表示為 止，另一種是通過列向量方程或方程組的形式， 利用基底表示向量的 唯一性求解例1如圖所示，已知？ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中 點，若AB=a, Ah = b,試以a、b為基底表示DE、bF.例2 (1)如圖，已知 ABC中，D為BC的中點，E, F為BC的三等分點,若AB= a, AC=b,用 a、b 表示AD、AE、Af.(2)如圖2 33,設(shè)點P, Q是線段AB的三等分點，若OA=a, OB=b,則 OP=, OQ =.用 a, b 表木）. .一 ., uuu r uur r 一 r例3.如圖，平行四邊形ABCD的對角

5、線交于點M ,若AB a, AD b,用a、r-皿加/ b表小MD為(C.ia ibD.b 2例4.uuuruuur iuur1 uuu 2 uurA.3 AB 3 AC1 uuu 2 uur CAB -AC332 uuu 1 uuur B. AB AC3 32 uuu 1 uuur D.-AB AC3 3例5.如圖所示，平行四邊形ABCD中，點E、F分別為BC、DC邊上的中點,uuuDE與BF交于點G ,若ABr uuur r a, AD b ,r r 上一目 uuuruuur試用a、b表小向重DE、BF .設(shè) ABC中BC邊上的中線為 AD，點。滿足ao 2OD，則OC1 _、,例6.如圖

6、，已知 ABC中，D為BC的中點，AE 2 EC , AD, BE交于點F ,h uuur r uuur r設(shè) AC a, AD b .（i）用a,b分別表示向量ab,uuuEB ；(2)umr 若AFULUTtAD ,求實數(shù)t的值.一 ,v v ,例7.已知苫，f為兩個不共線的向量，若四邊形 ABCD滿足uuuv v v uuuv v uuu v vAB e 2f,BC4e f , CD5e 3fuuu v v 上一（1）將AD用e, f表??；（2）證明四邊形ABCD為梯形.例8.在等腰梯形ABCD中，已知ABDC , AB 4 , BC 2,ABC 60o,動點E和F分別在線段BC和DC上

7、（含端點），且BEuuir uuuruuu 廠mBC , DF nDC 且(m、旺,物、幾 uuur r uur rn為常數(shù)），設(shè)AB a , BC b.uur uuur ,(H )右m n 1,求AE AF的取小值.題型三、向量的夾角(確定兩個向量夾角時要注意先使向量的始點相同)1.夾角：已知兩個非零向量 a和b,作OA=a, OB=b,則/ AOB= 8叫做向量a 與 b 的夾角(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0° < 80180°當(dāng)8= 0°時，a與b同向；當(dāng) 仁180°時，a與b反向.2垂直：如果a 與 b 的夾角是90 度，我們說a與

8、b垂直，記a±b.例1、如圖23 2,在4ABC中，AC, AB的夾角與CA, AB的夾角的關(guān)系為例2、已知OA=2a, OB=2b, OC=-a+3b,求向量BA與吃的夾角.例3 已知同=|b|= 2,且a與b的夾角為60°,設(shè)a+ b與a的夾角為a, a-b與a的夾角是就求a+ 6方法總結(jié)：求兩個向量夾角的方法求兩個向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角題型四、平面向量基本定理的唯一性以及應(yīng)用1. 平面向量基本定理唯一性應(yīng)用設(shè) a， b 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若x1ay1bx2ay2b

9、 ， 則x1x2,y1y22. 重要結(jié)論 設(shè) e1 ,e2 是平面內(nèi)的一組基底當(dāng) 1 el2 e2=0時，恒有若a i ei 2 e2 , 當(dāng)2 0時,a與ei共線當(dāng)10時，2與32共線i 20時，a 0例1、如圖所示，在 OAB中，OA= a, OB=b，點M是AB的靠近B的一個三等分點，點N是OA的靠近A的一個四等分點.若OM與BN相交于點P,求OP.1例2.如圖所示，在ABC,點M是AB的中點，且AN= 2NC BN與CM1目交于E, 設(shè)A五a, A最b,試用基底a, b表示向量AE例3、如圖2 3 6所示，在 OAB中，OA=a, OB=b，點M是AB的靠近B 的一個三等分點，點N是O

10、A的靠近A的一個四等分點.若OM與BN相交于點 P,求 OP例4.已知A, B, D三點共線，且對任一點C,有CD=4CA+心B,則入=()3B.A.D.練習(xí)題一、選擇題1.下列關(guān)于基底的說法正確的是 （）平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的.A.B.C.D.2.如圖所示，矩形一 、C.2(3e2 5ei)a, AD = b,用a、b表示AG等于（11A.4a+4bC.3a-b44B."a+"b3333D/+4b4.設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底,若 3

11、xe1 + (10-y)e2= (4y 7)e1+ 2xe2,則實數(shù)y的值為（）A. 3B. 41C-4D.ABCD 中，BC=5ei, DC = 82,則 OC等于(1A.£(5ei + 3e2)_1,一 一D.2(5e2 3ei)3.如圖，已知 E、F分別是矩形 ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G,若AB =5.若D點在三角形ABC 的邊 BC 上，且 CD=4DB = rAB + sAC,則 3r+s 的值為()16A.石12B.58C.54D.5二、填空題6.已知ei、e2不共線,a=ei+2e2, b=2ei+怕2,要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)入的

12、取值范圍為7.如圖，在四邊形 ABCD中，AC和BD相交于點O,設(shè)A=a, AB = b,若AB=2dC,則AO =（用a和b表本）.8.若 |a|=|b|= |ab|=r(r>0),則 a 與 b 的夾角為 .一 . . 一 一 -9.如圖，在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC= AE + MAF ,其中入 衣R ,貝U 計（1=10.設(shè)D, E分別是 ABC的邊AB, BC上的點,若是=眾B+ MC （比 加為實數(shù)），則為十力的值為三、解答題11.判斷下列命題的正誤，并說明理由：（1）若 ae1 + be2= ce1+ de2（a、b、c、dCR）,貝Ua=c, b=d；（2）若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用 e1 e2表不出來.e1十必12 .如圖，平面內(nèi)有三個向量 oA、ob> oc,其中6A與6B的夾角為120°, 6A與6C的夾角 為30