極坐標(biāo)參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)

1、Word資料第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)程【考綱知識梳理】1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換0的作用下，點(diǎn)P x,y對應(yīng)到點(diǎn)x?x,設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：y?y,Px,y，稱 為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念極坐標(biāo)系A(chǔ)如圖(1)所示，在平面取一個定點(diǎn) 。，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)。引一條射線Ox,叫做極軸 再選定一個長度單位，一個 角度單位(通常取弧度)及其正向(通常取逆時針向)這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾背景；平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐

2、標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面一點(diǎn)，極點(diǎn)0與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑記為；以極軸0勸始邊，射線OM為終邊的 角 xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為 有序數(shù)對 ，叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M ,.一般地，不作特殊說明R。和直角坐標(biāo)不同時，我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)為 0,平面一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定 0,02 ，那么除極點(diǎn)外，平面的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時,極坐標(biāo)，表示的點(diǎn)也是唯一確定的3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度

3、單位，如圖(2)所示：點(diǎn)M直角坐標(biāo)x, y極坐標(biāo) ，互化公式xcosysin222x ytan x 0 x極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：在一般，f#況下，由tan確定角時，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是x, y，極坐標(biāo)是，0，于是4.常見曲線的極坐標(biāo)程曲線圖形極坐標(biāo)程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓(r 02圓心為r,0，半徑為r的圓0X2r 22圓心為 r,，半徑為r的圓 2(OJ2r sin 0過極點(diǎn)傾斜角為的直線(1) R 或R(2) 0 或0過點(diǎn)a,0，與極軸垂直的直線r(n,0) -rcos a 22過點(diǎn) a,一，與極軸平行的直2線()L

4、_ K、 ksin a 0注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即，2,都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)程即可.例如對于極坐標(biāo)程點(diǎn)M一,一 可以表示為4 4M 一，一 2 或 M , 2 或 M4 44 4一 ,5 等多種形式，其中，只有M -4 44 4的極坐標(biāo)滿足程二、參數(shù)程1 .參數(shù)程的概念x f t一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個變數(shù)t的函數(shù),并且對y g t于t的每一個允值，由程組所確定的點(diǎn)Mx, y都在這條曲線上，那么程就叫做這條曲線的參數(shù)程，聯(lián)系變數(shù)

5、x, y的變數(shù)t叫做參變數(shù)簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的程叫做普通程.2 .參數(shù)程和普通程的互化(1)曲線的參數(shù)程和普通程是曲線程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)程得到普通程(2)如果知道變數(shù) x, y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x f t ,把它代入普通程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的x f t關(guān)系y g t，那么就是曲線的參數(shù)程，在參數(shù)程與普通程的互化中，必須使x, y的取值圍保持一y g t致.注：普通程化為參數(shù)程，參數(shù)程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示

6、，設(shè)圓。的半徑為r,點(diǎn)M從初始位置 Mo出發(fā)，按逆時針向在圓 。上作勻速圓運(yùn)動，設(shè)M x, y ,x r cos則為參數(shù)。這就是圓心在原點(diǎn) O,半徑為r的圓的參數(shù)程，其中的幾意義是OMo轉(zhuǎn)過y r sin一一 一. 2.22的角度。圓心為 a,b ,半徑為r的圓的普通程是 x a y b r ,x a rcos、，它的參數(shù)程為：為參數(shù)。y b r sin4.橢圓的參數(shù)程22x y以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程為一72萬1 a b 0其參數(shù)程為 a bx acos y bsin為參數(shù)，其中參數(shù)稱為離心角；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)程是2y2ax2丁 1 a b 0其參數(shù)程為b2x

7、bcos y asin為參數(shù)其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的圍為 0,2注：橢圓的參數(shù)程中，參數(shù)的幾意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來, 除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在 0到2的圍)，在其他任一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0 一時，相應(yīng)地也有 0,在其他象限類似。225.雙曲線的參數(shù)程22以坐標(biāo)原點(diǎn) O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為三 4 1a 0,b 0其參數(shù)程為a bx asec為參數(shù)，其中 0,2且 一，y btan22x bcoty acsc為參數(shù)，其中焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)程是22烏勺 1 a 0,b 0其參數(shù)程為 a b

8、0.2 且以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6 .拋物線的參數(shù)程2x 2 pt2以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y2 2px p 0的參數(shù)程為pt t為參數(shù)y 2pt經(jīng)過點(diǎn)M x, y ,傾斜角為7 .直線的參數(shù)程一 的直線l的普通程是y y0 tan x x0而過M0 x0,y0 , 2x x0 tcos、,公業(yè)心傾斜角為 的直線l的參數(shù)程為t為參數(shù)y V。 t sin注：直線參數(shù)程中參數(shù)的幾意義：過定點(diǎn)M0x0,y0 ,傾斜角為 的直線l的參數(shù)程為x x0 t cos0t為參數(shù)，其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn) M x ,y 為終點(diǎn)的有向線段y V。 tsinM0M的數(shù)量，

9、當(dāng)點(diǎn) M在M0上時，t0;當(dāng)點(diǎn)M在M0下時，t0;當(dāng)點(diǎn)M與M0重合時，t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以Mo為原點(diǎn)，直線l向上的向?yàn)檎虻臄?shù)軸上的點(diǎn) M的坐標(biāo)，其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同?！疽c(diǎn)名師透析】一、坐標(biāo)系(一)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換x/ 3xR例1在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換 ：/2y y,1(1)求點(diǎn)A ，2經(jīng)過 變換所得的點(diǎn) A的坐標(biāo);31,B ( 3,2)”自一(2)點(diǎn)B經(jīng)過 變換得到點(diǎn)2 ,求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)求直線1：y 6x經(jīng)過 變換后所得到直線的l程；2C : X2 y 1（4）求雙曲線64 經(jīng)過 變換后所得到曲線 C的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（二）極坐標(biāo)與

10、直角坐標(biāo)的互化5A（2, JB（2, JR例23在極坐標(biāo)系中，如果44 為等邊三角形 ABC的兩個頂點(diǎn)，求頂點(diǎn) C的極坐標(biāo)（0,02 ）（三）求曲線的極坐標(biāo)程R例已知 P, Q分別在/ AOB的兩邊OA, OB上，/ AOB=一,POQ的面積為8,求PQ中點(diǎn)M的極 坐標(biāo)程。（四）極坐標(biāo)的應(yīng)用R例1如圖，點(diǎn) A在直線x=4上移動，/OPA為等腰直角三角形，/ OPA的頂角為/ OPA （O, P, A依 次按順時針向排列），求點(diǎn)P的軌跡程，并判斷軌跡形狀。（一）把參數(shù)程化為普通程已知曲線C1 ：（t為參數(shù)），C2（i）化cL c=的程為普通程，并說明它們分別表示什么曲線;x =8cos ay =

11、 3 sin & a（c為參數(shù)）。（2）若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t , Q為C上的動點(diǎn)，求 C中點(diǎn)次到直線2x 3 2ty 2 t（t為參數(shù)）距離的最小值。（二）橢圓參數(shù)程的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F8是橢圓3上的一個動點(diǎn)，求S =的最大值解答：（三）直線參數(shù)程的應(yīng)用例過點(diǎn)/萼作傾斜角為厘的直線與曲線4二1交于點(diǎn)亂，求“|同的值及相應(yīng)的a的值。解析：（四）圓的參數(shù)程的應(yīng)用R例1已知曲線C的參數(shù)程是 （1）求曲線C的普通程；r也L卜=沉物為參數(shù)），且曲線C與直線j刃=0相交于兩點(diǎn)A、B（2）求弦AB的垂直平分線的程（3）【感悟高考真題】求弦AB的長1 .在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2, 3）到圓2co

12、s 的圓心的距離為（）(A) 2(B) -4(C)2(D) 32 .在極坐標(biāo)系中，圓2sin的圓心的極坐標(biāo)是（）（1，2）(1,(B)(C)(1,0)(D)(1,cos3 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)程為 y1 sin（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸）中，曲線C2的程為（cos sin ） 10,則C1與C2的交點(diǎn)個數(shù)為x 2 cosxOy取的程為4,直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)程為y *3sin （為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 相同的長度單位，且以原點(diǎn) O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2（cos sin

13、） 10,則C1與02的交點(diǎn)個數(shù)為5. （1）（坐標(biāo)系與參數(shù)程選做題）若曲線的極坐標(biāo)程為= 2sin4cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)程為6. （2011 高考理科T15C）直角坐標(biāo)系x0y中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)3 cosA, B分別在曲線C1 : y4 sin為參數(shù)）和曲線C2:1上，則1ABi的最小值為7.（坐標(biāo)系與參數(shù)程選做題）直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,x 3 cos設(shè)點(diǎn)A, B分別在曲線C1 :y sin（為參數(shù)）和曲線1上，則1ABi的最小值為8. （2011.天津高考

14、理科.T11）.已知拋物線C的參數(shù)程為8t28t（t為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過拋物2 .22,線C的焦點(diǎn)，且與圓（4）y =r （r 0）相切，則9.（坐標(biāo)系與參數(shù)程選做題）已知兩曲線參數(shù)程分別為點(diǎn)坐標(biāo)為x 疾cos (00 ,底00)可寫為, c 兀一4.過點(diǎn)2, 4平行于極軸的直線的極坐標(biāo)程是 （A.pcos 0= 4B. psin 0= 4C. psin 0= y2答案：C5.1 x= 1 曲線的參數(shù)程是ty=1-t2（t是參數(shù),t%）,它的普通程是（）A.x(x- 1)2(y- 1) = 1 B, y=-x- 21 - x 2C. y = -+ 1 D. y= 1 1 -x211 -

15、x6.直線建。=2關(guān)于直線e=稱的直線程為（）A.pcos 0= 2 B. psin0= 2 C. psin 0= - 2D. p= 2sin 0x=-1邛7.已知直線l的參數(shù)程為（t為參數(shù)），則直線l的斜率為 （A.8. 12 C.yDY8.直線3x4y9=0與圓:x= 2cosy=2sin 0,（。為參數(shù)）的位置關(guān)系是A.9.相切設(shè)直線過極坐標(biāo)系中的點(diǎn)B.相離C.直線過圓心M（2,0）,且垂直于極軸，則它的極坐標(biāo)程為D.相交但不過圓心10.在極坐標(biāo)系中，直線八，兀.由in 9+ 4=2被圓p= 4截得的弦長為二、填空題兀.c /11 .在極坐標(biāo)系中，直線0= 6截圓 尸2cos 9-6(p

16、C R)所得的弦長是12 .直線2x+3y1 = 0經(jīng)過變換可以化為 6x+6y-1=0,則坐標(biāo)變換公式是13 .（皖南八校2011屆高三第二次聯(lián)考）已知平面直角坐標(biāo)系xOy,直線l的參數(shù)程式為y t 2 （t為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系(取相同的長度單位)，圓C的極坐標(biāo)程為44),則直線l的圓C的位置關(guān)系是 。x x0 tcos14 .已知曲線的參數(shù)程為y y0 tsin，分別以t和 為參數(shù)得到兩條不同的曲線，這兩條曲線公共點(diǎn)個數(shù)為.15 .已知 2x2+3y2-6x=0(x,yCR),貝U x2+y2 的最大值為 .16 .從極點(diǎn)O作直線與另一直線 l : cos =4相交于點(diǎn) M ,在OM上取一點(diǎn)P,使OM OP=12 ,則點(diǎn)P 的軌跡程為 L三、解答題, 一，.，一. 一一一一、一 兀 . .一17 .在極坐標(biāo)系中，已知圓 C的圓心C 3, 6 ,半徑r=3, 求圓C的極坐標(biāo)程；(2