統(tǒng)計(jì)精算模型第七講

1、集體風(fēng)險(xiǎn)模型的應(yīng)用主要內(nèi)容1.2.3.停止損失再保險(xiǎn)的純保費(fèi)團(tuán)體紅利模型復(fù)合泊松分布在風(fēng)險(xiǎn)模型的應(yīng)用一、停止損失再保險(xiǎn)（限額損失再保險(xiǎn)）1、再保險(xiǎn)（reinsureance），也稱分保，是保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)合同的基礎(chǔ)上通過(guò)簽訂分保合同，轉(zhuǎn)嫁所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任的方式，通俗的說(shuō)，就是對(duì)保險(xiǎn)人的保險(xiǎn)。常見(jiàn)的再保險(xiǎn)形式：l比例再保險(xiǎn)（1）成數(shù)再保險(xiǎn)：原保險(xiǎn)人按約定的比例，將每一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)金額向再保險(xiǎn)人分保。（2）溢額再保險(xiǎn)：原保險(xiǎn)人規(guī)定一個(gè)最大保險(xiǎn)金額作為自留額，當(dāng)任何一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)金額小于這一金額時(shí)，原保險(xiǎn)人自留全部責(zé)任。當(dāng)保險(xiǎn)金額超過(guò)這一金額時(shí)，原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人按照自留額和分出保額的比例來(lái)分?jǐn)傎r款

2、。2：非比例再保險(xiǎn)（1）超額賠償再保險(xiǎn)：（Excess of loss treaties）原保險(xiǎn)人因同一原因發(fā)生的任何一次損失或因同一所導(dǎo)致的各次賠償額的總和超過(guò)約定的自負(fù)額，其超出部分由再保險(xiǎn)公司負(fù)責(zé)至一定額度。（2）停止損失再保險(xiǎn)：（Stop loss treaties）以原保險(xiǎn)人一段時(shí)間內(nèi)（一般為一年）的總損失為基礎(chǔ)，且合約中規(guī)定了自留額和賠償限額。再保險(xiǎn)公司的賠付額的期望稱為停止損失凈保費(fèi)。下面我們來(lái)計(jì)算停止損失凈保費(fèi)。停止損失再保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型如下：記S 表示損失額，SR 和SN = S - SR 分別表示再保險(xiǎn)人和原保險(xiǎn)人承擔(dān)的總損失額，設(shè)d 為自留額，對(duì)于停止損失再保險(xiǎn)可表示如下（

3、省略了再保險(xiǎn)的賠償限額）S dS d= SSdNS d= 0S = S - S S - dS dRN= (S - d )+凈停止損失再保費(fèi)為 E(S - d )+ 由第二章的公式，E(S - d )+ ) = E(S - d ) 0)= d (x - d ) fS (x)dxor = (x - d ) fS (x)xd 或者E(S - d )+ ) = E(S ) - E(S d )d= E(S ) -(1- FS (x)dx0= d(1- FS (x)dx當(dāng)理賠S 僅取非負(fù)整數(shù)值并且d 也是整數(shù)時(shí)，有：EId =(x - d ) fS (x)x=d +1= fS (d +1) + 2 fS

4、(d + 2) +d -1= ES - d + (d - x) fS (x)x=0= 1- FS (x)x=d 下面介紹幾個(gè)特殊情況下的 E(S - d )+ ) 的公式：1、定理 設(shè) P(a S b) = 0 ，則對(duì)任意 ad0，設(shè) P(S = kh) = fk 0 ， k = 0,1, 2,且對(duì)于其它x，P(S = x) = 0 ，則對(duì)d = jhE(S - d )+ = h1- FS (m + j)hm=0證明：E(S - d )+ = (x - d ) fS (x)dxxd = (kh - jh) fk k = jk - j -1= h fk k = j m=0= hfkm=0 k =

5、m+ j +1= h1- FS (m + j)hm=0推論： 假設(shè)上述定理?xiàng)l件滿足，則對(duì)d = jh 可以按下面的算法遞推計(jì)算ES - ( j +1)h+ = E(S - jh)+ - h1- FS ( jh)E (S - 0)+ = E(S )證明：由定理知E(S - ( j +1)h)+ = h1- FS (m + j +1)hm=0= h1- FS (m + j)hm=1= h1- FS (m + j)h- h1- FS ( jh)m=0例 1：設(shè)理賠次數(shù) N 服從幾何分布，均值為 4，個(gè)別理賠額 X 恒等于 40。S 表示聚合理賠額，求 E (S -100)+ ?！窘狻繉?duì)于均值為 4

6、的幾何分布，可得 p = 0.2FS (0) = P ( N = 0) = 0.2FS (40) = P ( N 1) = 0.36 FS (80) = P ( N 2) = 0.488 E (S ) = 4 40 = 160由遞推公式得E (S - 40)+ = E (S ) - 40 1- FS (0) = 128E (S - 80)+ = E (S - 40)+ - 40 1- FS (40) = 102.4E (S -120)+ = E (S - 80)+ - 40 1- FS (80) = 81.92于是= 120 -100 E(S - 80) + 100 - 80 E(S -120

7、) E (S -100)+120 - 80120 - 80= 81.92 +102.4 = 92.162例 2：（SOA，050119）For a stop-loss insurance on a three(i) Loss amounts are independent.group:(ii) The distribution of loss amount for eachis:(iii) The stop-loss insurance has a deductible of 1 for the group.Calculate the net stop-loss premium.xp00.41

8、0.320.230.1解：首先計(jì)算每個(gè)人的期望損失額E( X ) = 1 0.3 + 2 0.2 + 3* 0.1 = 1設(shè) S 為總損失額，則S1 + X 2 + X3 ， E(S ) = 3E( X ) = 3 。當(dāng)自留額為 1 時(shí)，E (S -1)+ = E(S - 0)+ -1(1- FS (0)= ES -1(1- fS (0)= 3 -1(1- 0.43 )= 3 - 0.936= 2.064練習(xí)：計(jì)算 E(S - 2)+ 。例 3：考慮某公司的一項(xiàng)牙醫(yī)保險(xiǎn)計(jì)劃，公司為員工及其家庭成員投保牙醫(yī)保險(xiǎn)，每個(gè)已婚員工，不論其家庭人數(shù)為多少，他們的保費(fèi)都一樣，保險(xiǎn)公司將每個(gè)人在該保險(xiǎn)年度花

9、費(fèi)統(tǒng)計(jì)如下（貨幣），為 25xf(x)10.1520.2030.2540.12550.07560.05此外，每個(gè)員工一年內(nèi)的看牙醫(yī)次數(shù)的分布如下npn00.0510.1020.1530.2070.0580.0590.025100.025（1） ：保險(xiǎn)公司現(xiàn)在計(jì)算每個(gè)已婚的員工的一年總花費(fèi)的分布。（2） ：考慮如果對(duì)每個(gè)已婚員工的一年總花費(fèi)進(jìn)行再保險(xiǎn)，自留額對(duì)凈停止損失保費(fèi)的影響，分別計(jì)算d = 25, 30, 50 的凈停止損失保費(fèi)。解： 使用40.2550.1560.0670.0380.01f (x) = p f *n (x)Sn Xn=0得到 S 的分布如下S012345678fS (s)

10、0.050.0150.0230.0350.0330.0360.400.0440.048FS (0) = 0.05, FS (25) = 0.065, FS (50) = 0.08838, FS (75) = 0.12306E(S ) = E(N ) E( X ) = 2512.58 = 314.5E(S - 25)+ ) = E(S) - 25(1- FS (0) = 314.5 - 25(1- 0.05) = 290.75E(S - 50)+ ) = E(S - 25)+ ) - 25(1- FS (25)= 290.75 - 25(1- 0.065) = 267.375?E(S - 30)

11、 ) =E(S - 25) ) +E(S - 50) )+50 - 2550 - 25?5=290.75 +267.37525= 286.0725團(tuán)體保險(xiǎn)的紅利模型保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，尤其是團(tuán)體保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，常常會(huì)設(shè)置某種對(duì)投保人的紅利政策，以使投保人能夠公司的部分經(jīng)營(yíng)成果，同時(shí)鼓勵(lì)投保人自我防范風(fēng)險(xiǎn)、減少可以避免的損失。下面考慮對(duì)實(shí)際賠付 S 低于定價(jià)假設(shè)的部分進(jìn)行分紅的方法，基本的做法是以所收取的保費(fèi) G 為基礎(chǔ)，按照一定的份額設(shè)定一個(gè)額度，如果最后所發(fā)生的理賠低于這個(gè)額度，則把這部分差額作為紅利返還給投保人，記此返還額為 D，故紅利分配模型為：D(S) = kG - S,S kGS kG0 k 1

12、(*)0,設(shè) S 的分布函數(shù)為 FS (x) ，密度函數(shù)為 fS (x) ，有kGE(D) = 0 D(x) f另外， d = kG ，容易驗(yàn)證：(x)dx =(kG - x) fS (x)dxS0S kG0,S + D - kG = S - kG,S kG = IkG (S ) ， 0 k 1兩邊取期望，得E(S) + E(D) - kG = kG (s - kG) f (s)ds = E(IkG )故E(D) = kG - E(S) + E(IkG )例 4 續(xù)的理賠分布 S，設(shè)保險(xiǎn)人所收取的保費(fèi)為 G=375，如果理賠總量低于 200，保險(xiǎn)人將差額的一部分按照（*）的方式作為紅利分配給投

13、保人。試計(jì)算 ED 。解：設(shè) 25 為基本貨幣，有kG = 8 ，由于E(D) = kG - E(S) + E(IkG )，經(jīng)計(jì)算得 E(I8 ) = 143.988 ，故E(D) = 200 - 314.5 +143.988 = 29.4880例 5：某保單組的保費(fèi) G 等于 2，理賠總額的分布函數(shù)為 F (x) = 1- e-2x 。S保險(xiǎn)人的紅利支付函數(shù)為D = kG - SS kG0已知 E(D) = 1 e-4k ，則 k 等于（ ）。2A.1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5E.1/6【解】根據(jù) D 的表，kGE(D) =(kG - s) f (s)ds02k=(2k - s

14、)2eds-2 s0= 2k - 1 + 1 e-4k22E(D) = kG - E(S) + E(I) = 2k - 1 - 1 e-22kkG22由因?yàn)?E(D) = 1 e-4k ，所以 1 e-4k= 2k - 1 + 1 e-4k2222k - 1 = 0 ， k = 1 。224風(fēng)險(xiǎn)模型的復(fù)合泊松分布近似假設(shè)有 n 張保單組成的保單組合，每張保單至多發(fā)生一次理賠，第nnj 張保單發(fā)生概率為qj ，理賠額為 bj。設(shè)S = X jj =1= I jbj ，由j =1風(fēng)險(xiǎn)模型知道，S 的均值、方差和數(shù)分別為nnE(S ) = E( Xi ) =biqi ，（4.3.5）i=1i=1nn

15、i=1Var(S ) =b q (1- q )2Va（4.3.6）iiii=1nP (z) = 1+ q (zbj -1)(4.3.7)Sjj =1將 PS (z) 兩邊取對(duì)數(shù)，并進(jìn)行展開(kāi)，得到n (-1)k+1ln P (z) = bq (z-1)k（4.3.8）jSjkj =1 k =1當(dāng)qj 的值都非常小時(shí)，上式可以近似寫(xiě)為nln P (z) = q (zbj -1)Sjj =1= llj (zb -1)njlj =1其中l(wèi) = q 和l = Sl 。于是nj =1 jjjPS (z) explPX (z) -1，(4.3.9)nP (z) = 1 lzbj(4.3.10)Xljj =1

16、若設(shè)S = X1 + XN ，其中 N 服從參數(shù)為l 的泊松分布，X 的概率分布為P( X = x) = 1 j:bj =xl(4.3.11)lj根據(jù)數(shù)的唯一性，S 的分布可用S 的分布來(lái)近似，即 S 可近似的看成參數(shù)為l 的泊松分布和 X 分布的復(fù)合。近似分布的均值和方差分別為nE(S ) = lE( X ) = biqii=1nVar(S ) = lE( X ) =q b22i ii=1與（4.3.5）的精確值比較，均值相同，當(dāng)方差的估計(jì)偏高，差距為Sb2q2 。i i例 4.3.5 某公司為 14 名員工了團(tuán)體人身保險(xiǎn)。保險(xiǎn)公司的精算率。每個(gè)員工按他的工資水平師選擇了如下表來(lái)代表該團(tuán)體的

17、（近似到 1000）進(jìn)行投保。具體資料如下：?jiǎn)T工12345678910賠付15000160002000028000310001800026000240006000014000率0.001490.001420.001280.001220.001230.003530.003940.004840.021820.000520232730314647496417男男男男男男男男男女1112131422263755170001900030000550000.00050.000540.001030.00479女女女女請(qǐng)用復(fù)合泊松模型計(jì)算總賠付額的近似分布。解： l = qj = 0.04813 ，X 的分為

18、Xx15162028311826P(X=x)0.030960.029500.0265950.0253480.025560.073340.08186Xx24601417193055P(X=x)0.100560.453360.0103890.0103890.011220.02140.0995使用遞歸公式f (x) = l yf ( y) f (x - y)xrSXSxy=1(0) = el ( f X (0)-1)f (0) = P ( fSNX計(jì)算得 S 的分如表 4.3.2。表 4.3.2 S 的近似分布xFS (x)xFS (x)xFS (x)xFS (x)00.9530099200.961

19、8348400.9735771600.999097410.9530099210.9618348410.9735850610.999098620.9530099220.9618348420.9736072620.999099430.9530099230.9618348430.9736133630.999099540.9530099240.9664473440.9736346640.999099550.9530099250.9664473450.9736393650.999099660.9530099260.9702022460.9736513660.999099770.9530099270.97

20、02022470.9736541670.999099780.9530099280.9713650480.9736708680.999099890.9530099290.9713657490.9736755690.9991022100.9530099300.9723490500.9736956700.9991091110.9530099310.9735235510.9736971710.9991156120.9530099320.9735268520.9737101720.9991179130.9530099330.9735328530.9737102730.9991341量 Bj 時(shí)，這時(shí) X j = I j Bj ， X j 的當(dāng)每張保單的理賠額是隨數(shù)為PX (z) = 1-jj