橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法

1、. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法一、利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系（但要注意可以取到等號成立）利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系（但要注意可以取到等號成立）例例 1 1：雙曲線：雙曲線的兩個焦點為的兩個焦點為，若，若為其上一點，且為其上一點，且，則雙曲線離心，則雙曲線離心2222yx1 a0,b0ab12F ,FP12PF2 PF率的取值范圍為（率的取值范圍為（ ）A.(1,3)A.(1,3)B.B.C.(3,+C.(3,+) )D.D.1,33,【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線等號成立）12PF2 PF12PFPF

2、2a121 2PFPFFF12PFF，,選 Bc6a2ce3,e1a又e1,3 例例 2 2、如果橢圓、如果橢圓上存在一點上存在一點 P P，使得點，使得點 P P 到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢2222yx1 ab0ab圓的離心率的取值范圍為圓的離心率的取值范圍為（ ）A AB BC CD D(0,21 21,1)(0, 31 31,1)解析解析設(shè)，由題意及橢圓第二定義可知2PFm1PFme122aPFPFm(e1)2ame1（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線等號成立），把代入化簡可得2112PFPFFF12PFF，mme2c2ame1又, ,選 B

3、2a1e2ce12e2e10e21 e1e21,1 二、二、利用三角函數(shù)有界性利用三角函數(shù)有界性結(jié)合余弦定理建立不等關(guān)系結(jié)合余弦定理建立不等關(guān)系例例 1 1：雙曲線的兩個焦點為，若為其上一點，且，則雙曲線離22221(0,0)xyabab12,F FP122PFPF心率的取值范圍是（ ） (1,3)(1,3(3,)3,)【解析】設(shè)，當(dāng)點在右頂點處，2PFm12(0)FPFP222(2 )4cos254cos2mmmceam11,(1,3e 三、利用三、利用曲線的幾何性質(zhì)曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系例例 1 1：雙曲線的兩個焦點為，若為其上一點，且，則雙曲線離心率222

4、2yx1 a0,b0ab12F ,FP12PF2 PF的取值范圍為（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33,解：,即在雙曲線右支上恒存在點使得可知12PFPF2a2PF2aP2PF2a，又,選 B222AFPF ,OFOAca2acc3ae3a e1e1,3 例例 2 2已知雙曲線的左、右焦點分別是 F1、F2，P 是雙曲線右支上一點，P 到右準(zhǔn)線的距離22221(0,0)xyabab為 d，若 d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：由題意得因為，所以，從而 ，. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 。又因為 P 在右支上，所以。 。 例例 3

5、3橢圓22221()xyabab 的右焦點F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） （A）20,2 （B）10,2 （C） 2 1,1 （D）1,12解析解析：由題意，橢圓上存在點 P，使得線段 AP 的垂直平分線過點，即 F 點到 P 點與 A 點的距離相等，而|FA|F w |PF|ac,ac 于是ac,ac即 acc2b2acc222abccc2bc222222accacacacc m 又 e(0,1)故 e 答案：D1112caccaa 或1,12例例 4 4、已知雙曲線的左、右焦點分別為若雙曲線上存在點使22221(

6、0,0)xyabab12(,0),( ,0)FcF cP，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 1221sinsinPFFaPF Fc【解析】（由正弦定理得） ，212211sinsinPFPFFPF FPF211PFaPFce21e PFPF又，由雙曲線性質(zhì)知，122 (1)PFPFa e2(1)2ePFa221aPFe2PFca，即，得，又，得21acae211ee2210ee 1e (1,21)e 例例 5 5、設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如果橢圓上存在點 P，使=900，求離心22221(0)xyabab12FF、12FPF率 e 的取值范圍。解析：P 點滿足F1PF2=90，點 P 在以 F1

7、F2為直徑的圓上又P 是橢圓上一點，以 F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點以 F1F2為直徑的圓的半徑 r 滿足：r=cb，兩邊平方，得 c2b2 即22221(0)xyababc2a2-c2 由此可得， ）e 221. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 四、利用圓錐曲線中四、利用圓錐曲線中的的范圍建立不等關(guān)系范圍建立不等關(guān)系、xy例 1、雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值22221(0,0)xyabab范圍是（）(1,2 2,)(1,21 21,)【解析】 22000(1)aaexaxexacc0,xa2(1) ,aaeac而

8、雙曲線的離心率，211 112101212,aeeeece 1e (1,21,e 例 2、設(shè)點 P 在雙曲線的左支上，雙曲線兩焦點為，已知是點 P 到左準(zhǔn)線)0b, 0a ( 1byax222221FF、|PF|1的距離和的比例中項，求雙曲線離心率的取值范圍。ld|PF|2解析：解析：由題設(shè)得：。由雙曲線第二定義得：，由焦半|PF|d|PF|221|PF|PF|d|PF|121ed|PF|1e|PF|PF|12徑公式得：，則，即，解得。eexaexaaeea ) e1 (x201e2e221e1歸納：歸納：求雙曲線離心率取值范圍時可先求出雙曲線上一點的坐標(biāo)，再利用性質(zhì)：若點在雙曲線的左支上P1

9、byax2222則；若點在雙曲線的右支上則。axp1byax2222ax 例 2 設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如果橢圓上存在點 P，使=900，求離心率22221(0)xyabab12FF、12FPFe 的取值范圍。解析 1：設(shè) P（x，y） ，又知，則FcFc1200（， ），（ ， ） 將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 y，可解得F PxcyF PxcyF PFF PF PF P F Pxc xcyxyc1212121222229000()()()()，由，知，則，即得 xa ca babF PFxaa ca baba2222222122222222229000但由橢圓范圍及知即. WORD 格

10、式.資料 . 專業(yè).整理 可得，即，且從而得，且所以， ）cbcaccaecaecae2222222221221 解析 2：由焦半徑公式得 |PFaexPFaexPFPFF Facxe xacxe xcae xcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220 ，又由，所以有即，又點 （ ， ）在橢圓上，且，則知，即 022212222caeae得， ）例 3 已知橢圓=1（ab0）的左、右頂點分別為A、B，如果橢圓上存在點P，使得APB=1200，求橢圓的離心2222xyab率e的取值范圍解解：設(shè)P（x0，y0） ，由橢圓的對稱性，不妨令 0 x0a,

11、0y0bA（a，0） ，B（a，0） ，=，=PAkaxy00PBkaxy00APB=1200，tanAPB=-，又 tanAPB=，=， 31PBPAPBPAkkkk2202002ayxay2202002ayxay3而點P在橢圓上，b2x02+a2y02=a2b2由、得y0=0y0b，0b)(32222baab)(32222baabab0，2ab（a2-b2） ，即 4 a2b23 c4，整理得，3e4+4e2-40考慮 0e1，可解得e1336四、利用判別式建立不等關(guān)系四、利用判別式建立不等關(guān)系例 1、設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如果橢圓上存在點 P，使=900，求離心率22221(0)xya

12、bab12FF、12FPFe 的取值范圍。解：由橢圓定義知| |PFPFaPFPFPFPFa121222122224. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 又由，知則可得這樣，與是方程的兩個實根，因此F PFPFPFF FcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220|()|() 4801222222222aacecae() 因此，e )221例 2、已知雙曲線與直線 ：交于 P、Q 兩個不同的點，求雙曲線離心率的取值范圍。)0a ( 1yax222l1yx解析：解析：把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去得：時，直線與雙曲線有兩個x0a1 , 0a1y2y)a

13、1 (2222不同的交點則，即且，所以00)a2(a4)a1 (4422222a21a ，即且。23a11ace222226e 2e 五、利用五、利用均值不等式均值不等式建立不等關(guān)系建立不等關(guān)系例例 1 1、已知橢圓(ab0)的兩個焦點為 F1，F(xiàn)2，P 為橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=60則橢圓離心率 e 的22221xyab取值范圍 ；解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n 則根據(jù)橢圓的定義，得 m+n=2a， 又F1PF2中，F(xiàn)1PF2=60由余弦定理，得 m2+n2-mn=4c2 聯(lián)解，得mn224()3ac又mna2， a2，化簡整理，得 a24c2，解之得e12()2mn224()3ac1

14、2 例例 2 2、已知點在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點為，最小值是，P22221(0,0)xyabab21FF、|PF|PF|221a8則雙曲線離心率的取值范圍 。解析：解析：，由均值定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時取得a8a4|PF|a4|PF|PF|)a2|PF(|PF|PF|222222221a2|PF|2最小值，又所以，則。a8ac|PF|2aca23e1. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 例例 3 3、設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如果橢圓上存在點 P，使=900，則離心22221(0)xyabab12FF、12FPF率 e 的取值范圍 。解析：由橢圓定義，有 平方后得212aPFPF| |422

15、28212221212221222aPFPFPFPFPFPFF Fc|(| )| 得ca2212所以有， ）e 221六、六、利用二次函數(shù)的性質(zhì)利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系建立不等關(guān)系設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）1a 22221(1)xyaae ( 2,2)( 2, 5)(2,5)(2, 5)【解析】，根據(jù)二次函數(shù)值域可得222(1)11(1)1aeaa11,01aa 25e七、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)七、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)例例 已知過雙曲線左焦點的直線 交雙曲線于 P、Q 兩點，且（為原)0b, 0a ( 1byax22221FlOQOP O點） ，則雙曲線離心率的取值范圍 。解析：解析：設(shè)，

16、過左焦點的直線 方程：，代入雙曲線)y,x(Q)y,x(P2211、1Flctyx方程得：，由韋達(dá)定理得：，0btcyb2y)atb(422222222221atbtcb2yy，由 OPOQ 得，2212122121222421c)yy(ctyyt) cty)(cty(xx,atbbyy0yyxx2121即：，解得：，因為，所以，則0catbctb2atb) 1t (b222222222224222242bacabt0t20cab224，所以。253e, 01e3e, 0cca3a2244224215e練習(xí)1、設(shè) F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點 P 滿足F1PF2=120，則橢圓的

17、離心率的取值范圍是（A）A，1) B.（，1) C.(0，) D.(0，32323232解：設(shè)，P（x1，y1） ，F(xiàn)1（-c，0） ，F(xiàn)2（c，0） ，c0，則|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 在PF1F2中，由余弦定理得 cos120，解得 x12 x12（0，a2，2221111()()42()()aexaexcaexaex22243cae4c2-3a20且 e21 e，1)322、設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在點，使線段的中垂線過12、FF22221(0)xyababP1PF點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）2F2(0

18、,23(0,32,1)23,1)3【解析】設(shè)若為右準(zhǔn)線與軸的交點，可知，即，又在右準(zhǔn)線上可知，所以離Px22accc213e P22accc心率的取值范圍為3,1)33、橢圓的焦點為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為若 ，則該橢圓離心率22221xyab12,F Fx,M N122MNFF的取值范圍是（ ） 1(0, 22(0,21 ,1)22,1)2【解析】因為兩準(zhǔn)線距離為，又因為，所以有，即，所以22ac122FFc224acc222ac212e4、已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有22221(0,0)xyababFF60一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

19、 (1,2(1,2)2,)(2,)【解析】如圖與分別為與雙曲線的漸近線平行的兩條直線，直線 為過且傾斜1l2l22221xyablF角為的直線，要使 與雙曲線的右支有且只有一個交點，則應(yīng)使60ltan603ba21 ( )2bea 5、設(shè)點 P 在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點，求雙曲線離心)0b, 0a ( 1byax222221FF、|PF|4|PF|21率的取值范圍。解析解析 1 1：由雙曲線第一定義得：，與已知聯(lián)立解得：a2|PF|PF|21|PF|4|PF|21，由三角形性質(zhì)得：解得：。a32|PF| , a38|PF|21|FF|PF|PF|2121c2a32a3835e1解析解析

20、2 2： ，點 P 在雙曲線右支上由圖 1 可知：，即a32|PF| , a38|PF|21ac|PF|1acPF |2，兩式相加得：，解得：。aca32, aca38ca 3535e1Fxyl1l2l. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 6、已知雙曲線的左、右焦點分別為若雙曲線上存在點使22221(0,0)xyabab12(,0),( ,0)FcF cP，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 1221sinsinPFFaPF Fc【解析】因為在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPF F則由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF，且知點 P 在雙曲線的右支

21、上，設(shè)點00(,)xy由焦點半徑公式，得1020,PFaex PFexa則00()()a aexc exa解得0()(1)()(1)a caa exe cae e由雙曲線的幾何性質(zhì)知0(1)(1)a exaae e則，整理得2210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故橢圓的離心率(1,21)e7、若點 O 和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點 P 為雙曲線右支上的任意一點,則( 2,0)F 2221(a0)axy的取值范圍為 ( )OP FP A. B. C. D. 3-2 3,)32 3,)7-,)47 ,)4解析解析: 因為是已知雙曲線的左焦點，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點 P(

22、2,0)F 214a 23a 2213xy，則有，解得，因為，00(,)xy220001(3)3xyx220001(3)3xyx00(2,)FPxy ，所以=，此二次函數(shù)對應(yīng)的00(,)OPxy 2000(2)OP FPx xy 00(2)x x 2013x 2004213xx拋物線的對稱軸為，因為，所以當(dāng)時，取得最小值034x 03x 03x OP FP 432 313 ，故的取值范圍是，選 B。32 3OP FP 32 3,)7、已知分別是雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線交雙曲線于 A、B 兩12F、F222210,0 xyabab1Fx點，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是（ A ）2ABFABC.D1,1212,12,122,218、已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離FCBBFCDFDBF2C心率為 。. WORD 格式.資料 . 專業(yè).整理 【解析解析】如圖，,作軸于點 D1,則由，得22|BFbca1DDyFDBF2,所以,1|2|3OFBFDDBD