第08章04節(jié)平面(1)

1、第4節(jié) 平面（考點(diǎn)）從本節(jié)起討論空間解析幾何. 空間解析幾何就是用代數(shù)方法研究空間幾何對象。這里“幾何對象”包括空間曲面與空間曲線. 平面是特殊的曲面；直線是特殊的曲線。要用代數(shù)方法研究空間幾何對象，首先要建立的方程（也可能是方程組）。與平面解析幾何類似， 與它的方程之間應(yīng)滿足如下關(guān)系:(1) 若點(diǎn)在上,則滿足方程；(2) 若一組數(shù)滿足方程,則點(diǎn)在上則稱為的方程, 為方程的圖形. （1）和（2）合起來意思是，（即，方程不多不少剛好表示完的全部點(diǎn)）在本節(jié)及下一節(jié),我們將以向量為工具,在空間直角坐標(biāo)系中討論平面和直線.平面的方程（題目（考點(diǎn)）：求滿足給定條件的平面的方程。）1平面的點(diǎn)法式方程 假設(shè)

2、同學(xué)們已經(jīng)熟知什么是平面。若一非零向量垂直于一平面，則稱此向量是該平面的法向量,記作.下面我們要寫出給定平面的方程。要寫的方程，首先要有一些已知條件。設(shè)已知上隨便一點(diǎn)和的隨便一個(gè)法向量。平面就確定了，確定了就可以寫它的方程.設(shè)是空間任一點(diǎn)。因此的方程是. (4.1)圖4.1而平面便是方程(4.1)的圖形由于方程(4.1)是由平面上已知點(diǎn)及它的法向量確定的，因此，稱方程(4.1)為平面的點(diǎn)法式方程寫給定平面的點(diǎn)法式方程的方法：首先根據(jù)已知條件求出上隨便一點(diǎn)和隨便一個(gè)法向量，再把和代入(4.1)就得到的方程?！纠?.1】若平面過點(diǎn),且其法向量的三個(gè)方向角相等,求此平面的方程.解設(shè)法向量的三個(gè)方向角

3、為,由條件可得，但注意到，于是有，取,由點(diǎn)法式方程(4.1),所求平面的方程為.即 .思考題:1對此題,能否取法向量來建立平面方程?一般地,平面有多少個(gè)法向量,不同的法向量之間有什么關(guān)系?【例4.2】若平面過三點(diǎn),求此平面的方程.解先求平面的法向量,因,則.于是可取又點(diǎn)是此平面上一定點(diǎn),由平面的點(diǎn)法式方程(4.1)可得或. (4.2)(4.2)式也稱為平面的三點(diǎn)式方程.(測)思考題:2根據(jù)向量的混合積導(dǎo)出平面的三點(diǎn)式方程(4.2).（四點(diǎn)共面的充要條件是。也可得到方程（4.2）。）2平面的一般方程. (4.1)平面方程(4.1)是的三元一次方程。反過來，若隨便給定三元一次方程，(4.3)它是否

4、表示一個(gè)平面？任取滿足該方程的一組數(shù)（若，令得），即， (4.4)兩式相減就得到與(4.1)同解的方程:. (4.3)由此可見,方程(4.3)是過點(diǎn)且以為法向量的平面方程，故三元一次方程(4.3)的圖形是平面稱方程(4.3)為平面的一般方程.是平面的法向量 結(jié)論：平面的方程都是三元一次方程；反過來，三元一次方程都表示一個(gè)平面。利用一般方程寫平面方程的方法：把已知條件代入(4.4)得未知數(shù)是的方程組，解此方程組得到，再代回(4.4)就得到平面的方程。（注意：的解是不唯一的?。楹唵?，可利用三元一次方程和平面特點(diǎn)的以下關(guān)系：(1) 平面通過原點(diǎn)(2) 法向量為垂直于軸平面平行于軸；法向量為垂直于軸

5、平面平行于軸；法向量為垂直于軸平面平行于軸(2) 的三個(gè)特點(diǎn)有時(shí)可能同時(shí)具有其中兩個(gè)，例如，平面平行于面思考題:3在方程(4.3)中,若(1); (2); (3); (4),則方程(4.3)分別表示怎樣的平面?畫出這些平面的圖形.【例4.3】求通過軸和點(diǎn)的平面方程解平面過軸，則該平面平行于軸，且平面過原點(diǎn)，故設(shè)該平面的方程為由平面過點(diǎn)，有，將此式代入所設(shè)方程有 ，消去（解不唯一?。闷矫娣匠趟伎碱}：4試根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程求例4.3的平面方程.解 設(shè)法向量為，則同時(shí)垂直于和。解取。所求平面方程是（在平面上）【例4.4】設(shè)平面與軸，軸，軸分別交于三點(diǎn) ，求此平面的方程(其中：)解設(shè)所求的平面方

6、程為 ，將三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得,從而，代入所設(shè)方程有，兩邊同除以有(4.5)方程(4.5)稱之為平面的截距式方程，而依次稱為平面在軸上的截距思考題:5試根據(jù)平面的三點(diǎn)式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解 。取平面的方程即4.2 點(diǎn)到平面的距離設(shè)是平面：外一點(diǎn)，下面求點(diǎn)到平面的距離圖4.2設(shè)為點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn).由條件，平面的單位法向量，故注意到在平面上,有,故. (4.6)(4.6)為點(diǎn)到平面的距離公式.（與平面幾何點(diǎn)到直線距離公式比較記住）例如點(diǎn)到到平面平面:的距離為.思考題：6試根據(jù)例3.3所給出的Cauchy不等式導(dǎo)出點(diǎn)到平面的距離公式（4.6）式.7如何判別兩點(diǎn)位于同一平面的同側(cè)或異側(cè)?解

7、平面把全空間分割成三部分：平面上；有一側(cè)另一側(cè)。4.3 兩平面的位置關(guān)系1 兩平面的相互位置設(shè)空間兩平面的方程分別為：，法向量分別為，。從幾何上看,其位置關(guān)系可能是平行、重合、相交等情形 （1）。（2）。特別地，易證兩平面重合的充分必要條件是 (4.8)2 兩平面間的夾角兩平面的法向量的夾角等于兩平面的夾角(通常不取鈍角).設(shè)平面:,:，則與的法線向量分別為 ，由于兩平面的夾角等于的夾角且不取鈍角（圖4.3）,故得(4.9)【例4.5】平面過兩點(diǎn)和且垂直于平面，求它的方程解設(shè)所求平面的法線向量為顯然，在所求平面上，故，即又垂直于平面的法線向量，故有故 .（解不唯一?。┯牲c(diǎn)法式方程有，消去得，故

8、所求方程為 .思考題:8試給出建立例4.5中平面方程的其它解法.解 。的法向量。取所求方程為 。習(xí)題84A類1是否存在滿足下列條件的平面？如果存在的話，是否唯一？(1) 過一已知點(diǎn)且與一已知直線平行;*(2) 過一已知點(diǎn)且與一已知直線垂直;(3) 過一已知點(diǎn)且與一已知平面平行;*(4) 過一已知點(diǎn)且與一已知平面垂直;(5) 過兩已知點(diǎn)且與一已知直線平行;*(6) 過兩已知點(diǎn)且與一已知直線垂直;(7) 過兩已知點(diǎn)且與一已知平面平行;*(8) 過兩已知點(diǎn)且與一已知平面垂直.2指出下列平面位置的特點(diǎn)并作圖:*(1) ; (2) ;(3) ;*(4) ;*(5) ; (6) .（2）解 這是一個(gè)三個(gè)截

9、距都是1的截距式方程，圖如下。3求滿足下列條件的平面方程：(1) 過點(diǎn)且與向徑垂直；(2) 過點(diǎn)且與平面平行；(3) 過點(diǎn)且同時(shí)平行于向量和；(4) 過點(diǎn)和點(diǎn)且與平面相垂直;(5) 過點(diǎn)且與平面與相垂直;(6) 過點(diǎn)，和;(7) 過點(diǎn)和軸;(8) 過點(diǎn)，且平行于軸;(9) 與坐標(biāo)軸的截距相同且過點(diǎn);(10) 平面與平面之間的兩面角的平分面解 （3）所給平面的法向量與和都垂直。取所求平面方程：。（5）兩已知平面的法向量分別是和。所給平面的法向量與和都垂直。取所求平面方程：。*4求平面與各坐標(biāo)面的夾角的方向余弦.5判別下列各組平面的相互關(guān)系:(1) 與；(2) 與；(3) 與；(4) 與.6求兩平面與之間的距離.解 所給兩平面互相平行。在上取一點(diǎn)。此點(diǎn)到的距離所給兩平