2019-2020學(xué)年必修二空間幾何體復(fù)習(xí)學(xué)案

1、空間幾何體復(fù)習(xí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí)；2能熟練畫出幾何體的直觀圖或三視圖，能熟練地計(jì)算空間幾何體的表面積和體積，體會(huì)通過展開圖、截面化空間為平面的方法.要點(diǎn)歸納主干梳理點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其側(cè)面積和體積名稱定義圖形側(cè)面積體積有兩個(gè)面互相平行，其余fi11S側(cè)=Ch,棱柱各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共C 為底面的周長，hV= ShJ 8為高邊都互相平行多有一個(gè)面是多邊形，其余1S側(cè)=?Ch,面棱錐各面都是有一個(gè)公共頂1 V=；ShC 為底面的周長，h3體/ XvL_ A廣點(diǎn)的三角形/ /為高AB用一個(gè)平行于棱錐底面1 ,S側(cè)=

2、2（C+ C ）h,1v二（S上棱臺(tái)的平面去截棱錐，底面與.如J iAiC, C 為底面的周+ S下+J- VT.ffi截面之間的部分s長，h 為高VS上S下）h以矩形的一邊所在直線*il 底面r為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)S側(cè)=2nh,V= Sh=圓柱一制制形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)-林r 為底面半徑，h 為咼n2h體AE面以直角三角形的一條直旋角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，AS側(cè)=nl,V= sSh=轉(zhuǎn)圓錐其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面r 為底面半徑，h 為咼_12體e* *3nh所圍成的旋轉(zhuǎn)體庇1ST二軸V=（S上+ S下+用平行于圓錐底面的平S側(cè)=n1+r2)i,1,匕為底面半徑，h圓臺(tái)面去截圓錐，底面和截面wJ母

3、純J1之間的部分為高USS下）h莊面r12=31+2r2+12)h球以半圓的直徑所在直線 為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一 周形成的旋轉(zhuǎn)體12S球面=4dR,R 為球的半徑43v=護(hù)2 .空間幾何體的三視圖與直觀圖(1) 三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形；它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖三種.畫圖時(shí)要遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.注意三種視圖的擺放順序，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見輪廓線用虛線畫出熟記常見幾何體的三視圖畫組合體的三視圖時(shí)可先拆，后畫，再檢驗(yàn).(2) 斜二測畫法：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法它的主要步驟：1畫軸；畫平行于

4、x、y、z 軸的線段分別為平行于 x、y、z軸的線段；截線段：平 行于 x、z 軸的線段的長度不變，平行于y 軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?三視圖和直觀圖都是空間幾何體的不同表示形式，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化(3) 轉(zhuǎn)化思想在本章應(yīng)用較多，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面1曲面化平面，如幾何體的側(cè)面展開，把曲線(折線)化為線段.2等積變換，如三棱錐轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)等.3復(fù)雜化簡單，把不規(guī)則幾何體通過分割，補(bǔ)體化為規(guī)則的幾何體等題型探究類型一 三視圖與直觀圖例 1 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為/ 耳2 *41 2 圖人. B.3nD.6n答案 B解析將三視圖還原為實(shí)物圖求體積.由三視圖可知，此幾何

5、體(如圖所示)是底面半徑為 1,高為 4 的圓柱被從母線1的中點(diǎn)處截去了圓柱的 4，3所以 V=X nX12X4= 3n.4反思與感悟由三視圖確定幾何體分三步.第一步： 通過正視圖和側(cè)視圖確定是柱體、 錐體還是臺(tái)體若正視圖和側(cè)視圖為矩形， 則原 幾何體為柱體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰三角形，則原幾何體為錐體；若正視圖和側(cè)視圖為 等腰梯形，則原幾何體為臺(tái)體.第二步：通過俯視圖確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體若俯視圖為多邊形，則原幾何體為多面體;若俯視圖為圓，則原幾何體為旋轉(zhuǎn)體.第三步：由“長對正、高平齊、寬相等”的原則確定幾何體的尺寸. 跟蹤訓(xùn)練 1 一幾何體的三視圖如圖所示.(1) 說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征

6、并畫出直觀圖；(2) 計(jì)算該幾何體的體積與表面積.KctrIE視圖側(cè)飆凰俯視團(tuán)解(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)等底圓錐拼接而成的組合體，其 直觀圖如圖所示.由三視圖中尺寸知，組合體下部是底面直徑為8 cm,高為 20 cm 的圓柱，上部為底面直徑為 8 cm，母線長為 5 cm 的圓錐.易求得圓錐高 h=- 52 42= 3(cm),體積 V= n 0+3n =336ncm3),表面積 S=n + 2n 4+2J0-4=196Xcm ).該幾何體的體積為 336ncm3，表面積為 196ncm2.類型二柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積例 2 圓柱有一個(gè)內(nèi)接長方體ACi，長方體對角線長

7、是 10.2cm，圓柱的側(cè)面展開平面圖為矩形，此矩形的面積是 100ncm2，求圓柱的體積.解 設(shè)圓柱底面半徑為 r cm，高為 h cm.如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長， 則2r2+h2=10 .22,2nh=100nr=5，h=10.V圓柱=Sh= nh= nX5x10=2507t(cm ).圓柱體積為 250ncm3.反思與感悟幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，在計(jì)算中應(yīng) 注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)體，要注意其中 矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練 2 正四棱柱的對角

8、線長為 3 cm，它的表面積為 16 cm2,求它的體積.解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為 a cm，高為 b cm,B2a2+ b2= 32則|4ab + 2a = 16,_2324271123所以該正四棱柱的體積V= a b= 4X1 = 4(cm )或 V = a b= (3)x=27(cm ).類型三幾何體的有關(guān)最值問題例 3 如圖，在底面半徑為 1,高為 2 的圓柱上 A 點(diǎn)處有一只螞蟻，它要圍繞圓沖|匚二柱由 A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？解 把圓柱的側(cè)面沿 AB 剪開，然后展開成為平面圖形 一一矩形，如圖所示，連/接 AB ，日12 則AB 即為螞蟻爬行的最短距離.A

9、B = A B = 2,AA為底面圓的周長,且 AA =2nX1=2n AB =A B 2+ AA2=P4+（2n2=2 寸 1+ n，即螞蟻爬行的最短距離為2 1+n.反思與感悟有關(guān)旋轉(zhuǎn)體中某兩點(diǎn)表面上的長度最小問題，一般是利用展開圖中兩點(diǎn)的直線 距離最小來求解；有關(guān)面積和體積的最值問題，往往把面積或體積表示為某一變量的二次函 數(shù)的形式，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值.跟蹤訓(xùn)練 3 有一根長為 3ncm，底面半徑為 1 cm 的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度.解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD（如

10、圖所示），解得/=2,b = 1,4a=3，3 .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是( )由題意知 BC= 3ncm , AB = 4ncm，點(diǎn) A 與點(diǎn) C 分別是鐵絲的起、止位置，故線段 AC 的長度即為鐵絲的最短長度.AC=AB2+BC2=5ncm,故鐵絲的最短長度為 5ncm.達(dá)標(biāo)檢測1 .湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)冰面直徑為24 cm，深為 8 cm的空穴，則這個(gè)球的半徑為（）A . 8 cm B . 10 cm C. 12 cm D. 13 cm答案 D解析 冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為0,冰面圓的: 圓心為 01,球半徑為 R,

11、-c1由圖知 0B= R, 01B= 2AB= 12 ,001= 0C 0Q= R 8,在 Rt 001B 中，由勾股定理 R2= （R 8）2+ 122，解得 R= 13（cm）.2.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？ ”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？ ”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為 3，估算出堆放的米約有（）A . 14 斛 B . 22 斛 C. 36 斛 D . 66

12、斛答案 B解析由題意知：米堆的底面半徑為慣尺），體積V=3x1斟=帑 （立方尺）所以堆放的320米大約為我猛 22（斛）.當(dāng)堂檢測鞏固反愷如下圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，求這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積.四棱臺(tái)=3X5X(152+15X11+112)=2；55(cm3),112A. B. C. D. 1633答案 C112解析4.如圖所示，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面邊長為 1,高為 8，一質(zhì)點(diǎn)從 A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路徑的長為 _.答案 10解析 如下圖所示，將兩個(gè)三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為 1=62+ 82= 10.由三視圖可以得到獎(jiǎng)杯的結(jié)構(gòu)，底座是一個(gè)四棱臺(tái), 杯身是一個(gè)長方體，頂部是球體.正視團(tuán) 側(cè)鍥團(tuán)餚覘圖廨視圖3V長方體=18 X 8X8=1 152(cm ),433V球=znX3=36ncm ),o所以，這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積為6 0113