三角恒等變換基礎(chǔ)

1、三角恒等變換【考綱要求】1、會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4、能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】簡(jiǎn)單的三角恒等變換三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)公式倍角公式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、兩角和、差的正、余弦公式要點(diǎn)詮釋：1公式的適用條件(定義域) ：前兩個(gè)公式,對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，這表明該公式是R上的恒等式；公式中2正向用公式,，能把和差角的弦函數(shù)表

2、示成單角，的弦函數(shù)；反向用，能把右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開式化簡(jiǎn)為和差角 的弦函數(shù)。公式正向用是用單角的正切值表示和差角的正切值化簡(jiǎn)?？键c(diǎn)二、二倍角公式1. 在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式：；。要點(diǎn)詮釋：1在公式中，角沒有限制，但公式中，只有當(dāng)時(shí)才成立；2. 余弦的二倍角公式有三種：；解題對(duì)應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用。3. 二倍角公式不僅限于2和的二倍的形式，其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個(gè)角相對(duì)二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵。考點(diǎn)三、二倍角公式的推論降冪公式：；.萬

3、能公式：；.半角公式：；.其中根號(hào)的符號(hào)由所在的象限決定.要點(diǎn)詮釋：(1)半角公式中正負(fù)號(hào)的選取由所在的象限確定；(2)半角都是相對(duì)于某個(gè)角來說的，如可以看作是3的半角，2可以看作是4的半角等等。(3)正切半角公式成立的條件是2k+(kZ)正切還有另外兩個(gè)半角公式：，這兩個(gè)公式不用考慮正負(fù)號(hào)的選取問題，但是需要知道兩個(gè)三角函數(shù)值。常常用于把正切化為正余弦的表達(dá)式?？键c(diǎn)四、三角形內(nèi)角定理的變形由，知可得出：，.而，有：，.【典型例題】類型一：正用公式例1.已知:，求的值.【思路點(diǎn)撥】直接利用兩角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.當(dāng)在第一象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第一象限而在第三象限時(shí)，.當(dāng)在第

4、二象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第二象限而在第三象限時(shí)，.【點(diǎn)評(píng)】例1是對(duì)公式的正用當(dāng)三角函數(shù)值的符號(hào)無法確定時(shí)，注意分類討論.舉一反三：【變式1】已知，則.【答案】.【變式2】已知，則.【答案】【變式3】已知和是方程的兩個(gè)根，求的值.【答案】【解析】由韋達(dá)定理，得， ， .【變式4】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5) 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù) 根據(jù)()的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.【解析】.選擇(2)式計(jì)算如下.證明:例2已知，,，求的值.【思路點(diǎn)撥】注意到，將，看做一個(gè)整體來運(yùn)用公式.【解析

5、】,，【點(diǎn)評(píng)】1、給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，例2中應(yīng)用了的變換 ，體現(xiàn)了靈活解決問題的能力，應(yīng)著重體會(huì)，常見的變換技巧還有, 等.2、已知某一個(gè)（或兩個(gè)）角的三角函數(shù)值，求另一個(gè)相關(guān)角的三角函數(shù)值，基本的解題策略是從“角的關(guān)系式”入手切入或突破.角的關(guān)系主要有互余（或互補(bǔ)）關(guān)系，和差（為特殊角）關(guān)系，倍半關(guān)系等.對(duì)于比較復(fù)雜的問題，則需要兩種關(guān)系的混合運(yùn)用.舉一反三：【變式1】已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角，得， ，.【變式2】函數(shù)的最大值為（ ）A B C D【答案】C； 【解析】，.所以其最大值為2，故選C

6、.【變式3】已知【答案】【解析】角的關(guān)系式：（和差與倍半的綜合關(guān)系），【變式4】已知，求的值?！敬鸢浮俊窘馕觥?， ， 。類型二：逆用公式例3.求值：（1）；（2）；（3）； （4）.【思路點(diǎn)撥】逆用兩角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【點(diǎn)評(píng)】把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所謂“逆用公式”。輔助角公式：，其中角在公式變形過程中自然確定. 舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn).【答案】【變式2】已知，那么的值為（ ）A B C D【答案】A； 【解析】，.例4. 求值：（1）；（2）【思路點(diǎn)撥】要使能

7、利用公式化簡(jiǎn)，分子分母同乘以第一個(gè)角的正弦值.【解析】（1）原式=；（2）原式=【點(diǎn)評(píng)】此種類型題比較特殊，特殊在：余弦相乘；后一個(gè)角是前一個(gè)角的2倍；最大角的2倍與最小角的和與差是p。三個(gè)條件缺一不可。另外需要注意2的個(gè)數(shù)。應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類問題，若通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個(gè)方法。舉一反三：【變式】求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式=（2）類型三：變用公式例5求值：（1）；（2）【思路點(diǎn)撥】通過正切公式，注意到與之間的聯(lián)系.【解析】（1），原式.（2），.【點(diǎn)評(píng)】本題是利用了兩角和正切公式的變形，找出與三者間的關(guān)系，進(jìn)

8、行轉(zhuǎn)化，即所謂“變用公式”解決問題；變用公式在一些解三角問題中起著重要作用，需靈活掌握.但它是以公式原型為基礎(chǔ)，根據(jù)題目需要而采取的辦法，如：，.舉一反三：【變式1】求值：=【答案】1【變式2】在中，,，試判斷的形狀.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,即，又,故,故是頂角為的等腰三角形.類型四：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值例6. 化簡(jiǎn)：（1）；(2）【思路點(diǎn)撥】（1）中函數(shù)有正弦有正切，一般將切化弦處理；（2）中有平方，而且角度之間也有關(guān)系，所以要用二倍角公式降次.【解析】（1）原式=（2）原式=【點(diǎn)評(píng)】三角變換所涉及的公式實(shí)際上正是研究了各種組合的角（如和差角，倍半角等）的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系。因而具體運(yùn)用時(shí)，注意對(duì)問題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀察。三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降冪公式：，.舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）【答案】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.【變式2】若，且，則_.【答案】由，得，.例7已知，且，求的值.【思路點(diǎn)撥】題設(shè)中給出是角的正切值，故考慮正切值的計(jì)算，同時(shí)通過估算的區(qū)間求出正確的值.【解析】，而，故，又，故，從而，而，而，又，【點(diǎn)評(píng)】對(duì)給值求角問題，一般是通過求三角函數(shù)值實(shí)現(xiàn)的，先求出某一種三角函數(shù)值，再考慮角的范圍，然后