建立函數(shù)模型的常用方法

1、建立函數(shù)模型的常用方法函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于函數(shù)模型的應(yīng)用，一方面是利用已知的函數(shù)模型解決問(wèn)題，另一方面是建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得的函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)此發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，下面對(duì)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法舉例說(shuō)明。一、 列表法例1、某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤(rùn)22元；每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤(rùn)80元；已知該廠每月成本支出不超過(guò)23萬(wàn)元，為使贏利盡量大，若每月按30天計(jì)算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天？（天數(shù)為整數(shù)），并求出最大利潤(rùn)。分析：通過(guò)閱讀、審題找出此問(wèn)題的主要關(guān)系（目標(biāo)與條件的關(guān)系），即“生產(chǎn)童

2、裝與西服的天數(shù)”決定了“利潤(rùn)”，所以將生產(chǎn)童裝的參數(shù)變量設(shè)為x天，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為（30x）天，于是每項(xiàng)利潤(rùn)即可表示了。在把“問(wèn)題情景”譯為“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”時(shí)，為便于數(shù)據(jù)處理，運(yùn)用表格或圖形處理數(shù)據(jù)，有利于尋找數(shù)量關(guān)系。生產(chǎn)天數(shù)每月情況生產(chǎn)童裝的天數(shù)x天生產(chǎn)西服的天數(shù)（30x）天每月套數(shù)（套）200x50（30x）每月成本（元）40200x15050（30x）每月利潤(rùn)（元）22200x8050（30x）解：設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x天，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為（30x）天，從而建立總利潤(rùn)模型為：y22200x8050（30x），化簡(jiǎn)得有400x120000，同時(shí)注意到每月成本支出不超過(guò)23萬(wàn)元，據(jù)此可得40

3、200x15050（30x）230000，從中求出x的取值范圍為，且x為正整數(shù)，顯然當(dāng)x10時(shí)贏利最大，最大利潤(rùn)元。點(diǎn)評(píng)：現(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用一次函數(shù)知識(shí)和方法建模解決，對(duì)一次函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，表現(xiàn)為勻速增長(zhǎng)，即為增函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，為減函數(shù)。二、 擬合法 例2、某地西紅柿從2月1日起上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得到西紅柿種植成本（單位：元/kg）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間/50110250種植成本/150108150根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系：（1）；（2）；（3）；（4）利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上

4、市天數(shù)及最低種植成本。 解：（1）由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)； ； 中的任意一個(gè)進(jìn)行描述時(shí)都應(yīng)有，而此時(shí)上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取二次函數(shù)進(jìn)行描述。以表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入，得到解上述方程組得所以，描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系的函數(shù)為。（2）當(dāng)天時(shí)，西紅柿種植成本最低為（元/kg）。點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵是利用表格中的數(shù)據(jù)，選擇正確的函數(shù)模型進(jìn)行擬合。三、 圖象法 例3、甲商店某種商品4月份(30天,4月1日為第一天)的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間(天)函數(shù)關(guān)系如圖(一)所示,該商品日銷售量(件)與時(shí)間(天)函數(shù)關(guān)系如圖(二)所示。寫(xiě)出圖(一)表示的銷售價(jià)格與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出圖(二)表示的日銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,及日銷售金額(元)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.乙商店銷售同一種商品,在4月份采用另一種銷售策略,日銷售金額(元)與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系為,比較4月份每天兩商店銷售金額的大小.解：(1)設(shè)價(jià)格函數(shù)是,過(guò)點(diǎn)（0，15）（30，30）則 銷售量函數(shù)，過(guò)點(diǎn)則 則 (2) 即前11天甲商店銷