第五節(jié)冪級數(shù)講稿2011325

1、注意：對于級數(shù)，當(dāng)收斂時，絕對收斂.例 證絕對收斂：令，則收斂收斂故 原級數(shù)絕對收斂.§7.5 冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).2收斂域(1) 收斂點 常數(shù)項級數(shù) 收斂；(3) 收斂域 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點形成的集合；3和函數(shù),.若函數(shù)項級數(shù)在收斂域內(nèi)每一點都對應(yīng)于的一個函數(shù)值，則稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).4余項, . 注: 只有在收斂域上,才有意義；, .二、冪級數(shù)及其收斂半徑和收斂域1【定義】形如的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù).（也稱為一般冪級數(shù)），其中 為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù).當(dāng)時, 稱為的冪級數(shù)（也稱為標(biāo)準(zhǔn)冪

2、級數(shù)）, 其中常數(shù)（）稱為冪級數(shù)的系數(shù).結(jié)論：對于級數(shù)，作代換可以將一般冪級數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，例如: , 均為冪級數(shù).顯然: 的收斂域.和函數(shù).此結(jié)論可當(dāng)公式使用.2.級數(shù)的收斂域把級數(shù)的各項取絕對值得正項級數(shù)，記 ，則 ；于是由比值判別法知（1）若，即，絕對收斂.(2) 若，即，發(fā)散.(3) 若，即，比值法失效，斂散另行判定.（4）若，即，此時對任意，收斂.上述分析顯示級數(shù)在一個以原點為中心，從到的區(qū)間內(nèi)絕對收斂，區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，為收斂半徑.若級數(shù)僅在點收斂，則規(guī)定，級數(shù)的收斂域為例如級數(shù) 由于 ， 級數(shù)收斂域為 或 ；獨點集.若對任意都收斂，則，級數(shù)的收斂域為.當(dāng)時，要討論級數(shù)在

3、處的斂散性才能確定收斂域.此時收斂域可能是下列區(qū)間之一：3.【定理7.13】若冪級數(shù)系數(shù)滿足條件 或（為常數(shù)或），則 (1) 當(dāng)時, 則； (2) 當(dāng)時, 則. （3）當(dāng)時, 則. 常用公式:，.例如: 冪級數(shù)的收斂半徑,時，級數(shù)發(fā)散，故其斂區(qū)與斂域均為.例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解(1) 級數(shù)的通項為 . (2) 當(dāng)時, 級數(shù)為收斂；當(dāng)時, 級數(shù)為發(fā)散.故收斂區(qū)間（斂區(qū)）是，收斂域為（斂域）.例2（1）求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解: ,故 收斂區(qū)間和收斂域均是 .（2）求冪級數(shù)的收斂半徑.解: .練習(xí)：求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.提示：，又時級數(shù)發(fā)散.收斂域.例3（1）求冪級數(shù)的收斂

4、半徑與收斂域.（缺項級數(shù)）提示：當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時，原級數(shù)是，收斂的交錯級數(shù).所以 收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域.注意：缺項級數(shù)可以直接用比值法求收斂半徑.（2）求冪級數(shù)的收斂域.解：由時級數(shù)收斂，由由時級數(shù)發(fā)散.得 當(dāng)時，收斂，當(dāng)時，收斂，所以 收斂域為 .例4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.（中心不在原點的級數(shù)求收斂域時先作變量替換）解令,冪級數(shù)變形為,，當(dāng)時原級數(shù)為收斂，當(dāng)時，發(fā)散，故 原級數(shù)收斂半徑，收斂域為.注意：一般冪級數(shù)求收斂半徑時作變量代換.提問：（1）(02.3) 設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級數(shù)的收斂半徑為（A）(A) 5；(B) ；(C) ；(D) 答案,

5、（2） (92.3) 級數(shù)的收斂域為.答令對于,由,于是收斂半徑,則,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時,原級數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域為.三、冪級數(shù)以及和函數(shù)的運算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,.其中: 待定, 而由系列表達(dá)式,確定.此處, , 但.2.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù).3.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項積分公式 ,.(積分前后的收斂半徑不變).例: , .逐項積分時在處無意義.4.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微，且在收斂區(qū)間上 , .說明：求導(dǎo)與積分前后兩級數(shù)的收斂半徑不變，但收斂域有可能改變.公式收斂域

6、為例5 求冪級數(shù)的和函數(shù),并求.解：(1).當(dāng)時, 級數(shù)為收斂；當(dāng)時, 級數(shù)為發(fā)散. 故原級數(shù)收斂域是.(2) 當(dāng)時, 有.于是 ,由于且冪級數(shù)在其收斂域上連續(xù), 取 代入和函數(shù)可得 .（2）求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)及級數(shù)的和.解1），所以.當(dāng)時，發(fā)散，當(dāng)時，發(fā)散.所以 級數(shù)斂域為.2）設(shè)，則為所求和函數(shù).3）令，則有 ，所以.4）令，則有 ，所以.例6 (00.6) 設(shè)求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是,令,則,從而.練習(xí):求下列級數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù):（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)：(2) (99.3) .因為,令，則有,所以答案為4.(3)解該級數(shù)為,由,知當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時,冪級數(shù)收斂;當(dāng)時,冪級數(shù)收斂,所以原冪級數(shù)的收斂域為.設(shè),則當(dāng)時有,所以 .(4)解該冪級數(shù)為,由,知當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,冪級數(shù)發(fā)散,所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè),則當(dāng)時,有.小結(jié)：1.注意收斂區(qū)間與收斂域的聯(lián)系與區(qū)別. 2.利用冪級數(shù)的性質(zhì)求冪級數(shù)的和函數(shù)時，求導(dǎo)或求積分時前后的收斂區(qū)間不變. 3.利用冪級數(shù)的和函數(shù)可以求常數(shù)項級數(shù)的和；求出和函數(shù)后， 取的特值代入和函數(shù)即得所求. 4對缺項冪級數(shù)在求收斂半徑時應(yīng)設(shè)輔助變量轉(zhuǎn)化為常規(guī)形冪級數(shù)或直接用正項級數(shù)的比值判別法求收斂區(qū)間.課