離散數(shù)學(xué)集合論部分測(cè)試題

1、離散數(shù)學(xué)集合論部分綜合練習(xí)本課程綜合練習(xí)共分3次，分別是集合論部分、圖論部分、數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)，這3次綜合練習(xí)基本上是按照考試的題型安排練習(xí)題目，目的是通過綜合練習(xí)，使同學(xué)自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握。本次是集合論部分的綜合練習(xí)。一、單項(xiàng)選擇題1若集合A=a，b，B= a，b， a，b ，則（ ） AAÌB，且AÎB BAÎB，但AËB CAÌB，但AÏB DAËB，且AÏB2若集合A2，a， a ，4，則下列表述正確的是( )Aa， a ÎA B a Í

2、A C2ÎA DÎA3若集合A a，a，1，2，則下列表述正確的是( ) Aa，aÎA B2ÍACaÍA DÆÎA4若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，則（ ） AB Ì A，且BÎA BBÎ A，但BËA CB Ì A，但BÏA DBË A，且BÏA 5設(shè)集合A = 1, a ，則P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 6若集合A的元素個(gè)數(shù)為10，則其冪集的元素個(gè)數(shù)為（ ） A1

3、024 B10 C100 D17集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的關(guān)系R=<x，y>|x+y=10且x, yA，則R的性質(zhì)為（ ） A自反的 B對(duì)稱的 C傳遞且對(duì)稱的 D反自反且傳遞的 8設(shè)集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元關(guān)系R =a , bêa , bA , 且a +b = 8，則R具有的性質(zhì)為（ ）A自反的 B對(duì)稱的C對(duì)稱和傳遞的 D反自反和傳遞的9如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，則R1R2，R1R2，R1-R2中自反關(guān)系有（ ）個(gè) A0 B2 C1 D3 10設(shè)集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元關(guān)系R = 1 , 1，2 ,

4、 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，則S是R的（ ）閉包 A自反 B傳遞 C對(duì)稱 D以上都不對(duì) 24135圖一 11設(shè)集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序關(guān)系的哈斯圖如圖一所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，則元素3為B的（ ） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不對(duì)12設(shè)A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除關(guān)系，B=2, 4, 6，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為 ( ) A8、2、8、2 B無、2、無、2 C6、2、6、2 D8、1、6、113設(shè)A=a,

5、b，B=1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元關(guān)系，且R1=<a，2>, <b，2>，R2=<a，1>, <a，2>, <b，1>，R3=<a，1>, <b，2>，則（ ）不是從A到B的函數(shù) AR1和R2 BR2 CR3 DR1和R3二、填空題1設(shè)集合A有n個(gè)元素，那么A的冪集合P(A)的元素個(gè)數(shù)為 2設(shè)集合Aa，b，那么集合A的冪集是 應(yīng)該填寫：Æ,a,b,a,b 3設(shè)集合A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R是A到B的二元關(guān)系，則R的有序?qū)蠟?4設(shè)集合A=0, 1, 2，B=

6、0, 2, 4,R是A到B的二元關(guān)系，則R的關(guān)系矩陣MR 5設(shè)集合A=a,b,c，A上的二元關(guān)系R=<a, b>,<c. a>，S=<a, a>,<a, b>,<c, c>則(R·S)1=6設(shè)集合A=a,b,c，A上的二元關(guān)系R=<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>，則二元關(guān)系R具有的性質(zhì)是7若A=1,2，R=<x, y>|xÎA, yÎA, x+y=10，則R的自反閉包為 8設(shè)集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到

7、B的雙射函數(shù)是 9設(shè)A=a，b，c，B=1，2，作f：AB，則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為 三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由） 圖一1設(shè)A、B、C為任意的三個(gè)集合，如果AB=AC，判斷結(jié)論B=C 是否成立？并說明理由2如果R1和R2是A上的自反關(guān)系，判斷結(jié)論：“R-11、R1R2、R1ÇR2是自反的” 是否成立？并說明理由 3 若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖一所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在 4若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖二所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在圖二 5設(shè)N、R分別為自然數(shù)集與實(shí)數(shù)集，f：NR，f (x)=x+6，則f是單射四、計(jì)算題1

8、設(shè)集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BÇA； （2）AÈB； （3）AB； （4）BÅA2設(shè)A=a, b, 1, 2，B= a, b, 1, 1，試計(jì)算（1）（A-B） （2）（AB） （3）（AB）-（AB）3設(shè)集合A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，試計(jì)算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）A×B 4設(shè)A=0，1，2，3，4，R=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y<0，S=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£3，試求R，S，R·S，R

9、-1，S-1，r(R)5設(shè)A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除關(guān)系，B=2, 4, 6（1）寫出關(guān)系R的表示式； （2）畫出關(guān)系R的哈斯圖；adbc圖三（3）求出集合B的最大元、最小元 6設(shè)集合Aa, b, c, d上的二元關(guān)系R的關(guān)系圖如圖三所示（1）寫出R的表達(dá)式； （2）寫出R的關(guān)系矩陣； （3）求出R2 7設(shè)集合A=1，2，3，4，R=<x, y>|x, yÎA；|x-y|=1或x-y=0，試（1）寫出R的有序?qū)Ρ硎荆?（2）畫出R的關(guān)系圖；（3）說明R滿足自反性，不滿足傳遞性五、證明題 1試證明集合等式：

10、AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)2試證明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC) 3設(shè)R是集合A上的對(duì)稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明：若對(duì)任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，則R是等價(jià)關(guān)系 4若非空集合A上的二元關(guān)系R和S是偏序關(guān)系，試證明：也是A上的偏序關(guān)系參考解答一、單項(xiàng)選擇題1A 2B 3C 4B 5C 6A 7B 8B9B 10C 11C 12B 13B二、填空題12n2Æ,a,b,a,b 3<2, 2

11、>，<2, 3>，<3, 2>，<3, 3>4 5<a. c>, <b, c> 6反自反的7<1, 1>, <2, 2>8<1, a >, <2, b >，<1, b >, <2, a >98三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由）1解：錯(cuò) 設(shè)A=1, 2，B=1，C=2，則AB=AC，但B¹C 2解：成立 因?yàn)镽1和R2是A上的自反關(guān)系，即IAÍR1，IAÍR2。 由逆關(guān)系定義和IAÍR1，得IAÍ R1

12、-1； 由IAÍR1，IAÍR2，得IAÍ R1R2，IAÍ R1ÇR2。所以，R1-1、R1R2、R1ÇR2是自反的。3解：正確 對(duì)于集合A的任意元素x，均有<x, a>ÎR（或xRa），所以a是集合A中的最大元按照最小元的定義，在集合A中不存在最小元4解：錯(cuò)誤集合A的最大元不存在，a是極大元5解：正確 設(shè)x1，x2為自然數(shù)且x1¹x2，則有f(x1)= x1+6¹ x2+6= f(x2)，故f為單射 四、計(jì)算題1解：（1）BÇA=a, b, cÇb, d, e= b （

13、2）AÈB=a, b, cÈb, d, e=a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e=a, c（4）BÅA= AÈBBÇA=a, b, c, d, e b =a, c, d, e 2解：（1）（A-B）=a, b, 2 （2）（AB）=a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB）-（AB）=a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A-B =1,2 （2）AB =1,2 （3）A×B=<1,1>，<1,2>，<1,1,2>，<2,1>，<2

14、,2>，<2,1,2>，<1,1>，<1,2>，<1, 1,2>，<2,1>，<2,2>,<2, 1,2> 4解：R=Æ, S=<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0> R·S=Æ， 123469578101112圖四：關(guān)系R的哈斯圖R-1=Æ， S-1= S， r(R)

15、=IA 5解：（1）R=IÈ<1,2>, <1,3>, , <1,12> ,<2,4>, <2,6>, <2,8>, <2,10>, <2,12>, <3,6>, <3,9> ,<3,12>, <4,8>, <4,12>, <5,10>, <6,12> （2）關(guān)系R的哈斯圖如圖四 （3）集合B沒有最大元，最小元是：2 6解：R<a, a>, <a, c>, <b, c>,

16、 <d,d> R2 = <a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>·<a, a>, <a, c>, <b, c>, <d, d>°°°°1234圖五 =<a, a>, <a, c>, <d,d>7解：（1）R=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3

17、,2>,<3,4>,<4,3> （2）關(guān)系圖如圖五（3）因?yàn)?lt;1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均屬于R，即A的每個(gè)元素構(gòu)成的有序?qū)赗中，故R在A上是自反的。 因有<2,3>與<3,4>屬于R，但<2,4>不屬于R，所以R在A上不是傳遞的。五、證明題 1證明：設(shè)，若xAÈ (BÇC)，則xA或xBÇC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAÈB 且 xAÈC ，即 xT=(AÈB) Ç (AÈ

18、;C)，所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC) 反之，若x(AÈB) Ç (AÈC)，則xAÈB 且 xAÈC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBÇC，即xAÈ (BÇC)，所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC) 因此AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)2證明：設(shè)S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若xS，則xA且xBC，即 xA且xB 或 xA且xC， 也即xAB 或 xAC ，即 xT，所以SÍT 反之，若xT，則xAB 或 xAC， 即xA且xB 或 xA且xC 也即xA且xBC，即xS，所以TÍS 因此T=S 3設(shè)R是集合A上的對(duì)稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明：若對(duì)任意aÎA，存在bÎA，使得<a, b>ÎR，則R是等價(jià)關(guān)系 證明：已知R是對(duì)稱關(guān)系和傳遞關(guān)系