用傳輸矩陣法計算一維光子晶體的帶隙特性研究

1、創(chuàng)新實驗結題報告題 目：一維光子晶體帶隙特性研究學 院：自動化工程學院專 業(yè)： 自動化 姓 名： 闞樞 指導教師： 李長紅 2010年10月15日關鍵詞： 光子帶隙 特征矩陣規(guī)律1 引言光子晶體是一種折射率周期變化的人工微結構材料 ,其典型結構為一個折射率周期變化的三維物體 ,周期為光波長量級. 光子在光子晶體中傳播存在光子帶隙.，頻率落在光子帶隙內的電磁波不能在光子晶體中傳播,光子晶體的這種特性具有極大的理論價值和潛在的應用前景。在光子晶體中摻雜后 ,會在光子能隙中引入局域模式 ,這將給激光技術和非線性光學等帶來全新的應用 ,如制作零閾值激光器、光濾波器、慢光緩存器、慢光傳感器等。理論研究發(fā)

2、現，對于含有缺陷的一維光子晶體，在光子禁帶（PBG：Photonic Band Gap）的帶邊和缺陷模對應的頻率位置，光的傳輸具有極低的群速度，Scalorta等人發(fā)現在帶邊處，光脈沖傳輸速度可以降低到c/17（c為真空中光速），大約為1.76×107m/s。光子晶體的理論計算已相對成熟 ,本文旨在應用現有的計算方法，建立一維光子晶體模型并討論一維光子晶體在不同結構參數和參數下的光學傳輸特性。與平面波算法相比，傳輸矩陣法的計算量大為降低。傳輸矩陣方法可以計算一個有限尺寸光子晶體的反射系數及透射系數；根據光的群速度定義，基于此可以計算光在光子晶體中的傳輸速度；另外，在光子晶體透射特性分

3、析基礎上，還可以推導計算一維光子晶體中光傳輸時電場在各層中的分布情況，因此本文采用傳輸矩陣法進行光子晶體規(guī)律的探討。2一維光子晶體2.1模型的建立一維光子晶體由兩種不同相對介電常量 (a ,b ) 、厚度( a , b) 的薄介質層交替排列構成的一維周期性結構材料. 如圖 1 所示 ,空間周期為 d = a + b ,一束頻率為的光從左向右正入射到圖中所示的一維周期性結構材料中.將光波在介質層中的行進看作是正向行進電磁波 (下行波) 和反向行進電磁波 (上行波) 的疊加. 介質交界面處的電磁場滿足邊界條件. 每一介質層與光波的相互作用可由其矩陣完全決定. 介質層兩邊的場矢量 E , H , E

4、 H 的模可用特征矩陣聯系起來 :2.2數學理論推導為行進一步的計算，下面給出光子晶體的特殊矩陣表達式。如圖 2 所示 , E0, H0表示界面的na一側矢量 , E, H表示界面的 nb 一側的場矢量 , EII，HII表示界面一側的場矢量,在界面上有入射光波 Ei1、反射光波Er1、透射光波Et1以及由介質 nb入射到界面上的光波Er2圖3-2 1D PC結構中任意層的電磁場傳播情況以TE模為例展開討論，對于TE模，電場分量E垂直入射面，根據電磁場邊界條件，界面處電場偏振E和磁場分量H的切向分量連續(xù)。以En、Hn表示界面n處的電場偏振E和磁場偏振H的切向分量，因為在同一界面兩側，有En-1

5、=En，Hn-1=Hn。對于界面I： （3-2）界面II上EII，HII有類似公式。考察界面I上的透射場Et1與界面II上入射場Ei2： （3-3）式中，表示，波矢為k的平面波在介質層中垂直橫跨兩個界面時的相位差，同樣，根據，由以上各式得： （3-4）式中，將式（3-4）寫成矩陣形式為： （3-5）則對第j層單層介質的傳輸矩陣為（TE模）： （3-6）式中， （3-7）以上計算關系是對于TE模式的，對TM模式可以得到類似于上式的結果，只是在TM模式情況下，若考慮正入射情況（=0），則TE模與TM模傳輸矩陣相同。對于一維周期性結構（圖3-1），可逐層應用式（3-6）的傳輸矩陣方程，對具有N層介質

6、的一維結構： （3-8）式中就是一維光子晶體的傳輸矩陣。分別在第I個界面及第N+1個界面上列電磁場分量方程，并將求得的EI，HI，EN+1，HN+1代入式（3-8），展開可求得透射系數和反射系數：反射系數： （3-9-1）反射率： （3-9-2）透射系數： （3-9-3）透射率： （3-9-4）若1D PC結構置于空氣中，則有N+1=0，利用式（3-8）和式（3-9）編程計算可以得到一維光子晶體的反射譜或者透射譜，從而得到其帶隙結構。在計算所得反射系數基礎上，1D PC結構內部各層電場分布可由式（3-10）計算： （3-10）式中，是從第一層到第k層的傳輸矩陣元素，根據式（3-10）就可以計算

7、出電場在光子晶體內部各層的電場強度。對于一維光子晶體（1D PC）結構，采用含有缺陷層的兩種高低折射率材料A和B交替排列的周期結構，基本周期層（AB）的光學厚度取四分之一波長，缺陷層光學厚度為二分之一波長。在有限一維光子晶體結構中，群折射率定義為：ng=c/vg，可以采用有效折射率方法進行計算：復折射率： （3-11）其中的實部和虛部由透射系數定義：透射系數： （3-12）有效折射率實部可寫為： （3-13）虛部為： （3-14）其中，為透射率的復角，L為有限一維光子晶體結構的總體厚度；這樣，群折射率可以寫為： （3-15）從而，群速度可以通過下式計算： （3-16）利用獲得的群速度，對于有限

8、長度的一維光子晶體慢光結構，就可以計算光脈沖在其中傳輸產生的時延。4數據計算與規(guī)律研究 4.1一維光子晶體周期性情況通過MATLAB編程，采用傳輸矩陣法可以方便的求出一位光子晶體的的特征矩陣 M 中的 A , B , C , D 4 個陣元 , ,即可求出一維光子晶體的帶隙結構.通過改變各個參數來談論光子晶體各參數變對光子晶體禁帶寬度和群速度的影響規(guī)律。按照上文所述建立一維光子晶體模型，折射率為a，b的兩種介質交替構成光子晶體。折射率Na=2.22，Nb=1.41；根據四分之一系統，介質層厚度a=abs(lamd0/4/Na)，b=abs(lamd0/4/Nb)，其中l(wèi)amd0=1550e-9

9、，空間周期d=a+b；一維光子晶體的空間周期數為10，加上插入缺陷層共21層介質。則通過編程得到一維光子晶體的帶隙結構，如圖圖1 光子晶體帶隙附近折射率的變化情況圖2 光子晶體帶隙附近群速度的變化情況利用本文討論光子晶體結構和參數對光子近體帶隙特性的研究。4.2層數NN對光子晶體性能的影響光子晶體插入缺陷層產生光子禁帶，如果改變光子晶體的層數，如圖3、圖4所示，可以發(fā)現隨引入缺陷的層數增加，光子晶體禁帶的帶寬變窄，可以得到的更小的群速度。圖3 一維光子晶體群速度隨層數NN的變化圖4 一維光子晶體禁帶寬度隨NN的變化曲線4.3各介質層折射率對光子晶體性能的影響由4.2的結論知光子晶體的帶隙特性與

10、總層數NN有關，但它們的關系不是線性的，于是我們對光子晶體各介質層對其特性的影響進行了研究。下圖是研究引入缺陷層折射率對Vg和禁帶帶寬的影響得出的結果：圖5 一維光子晶體群速度Vg隨缺陷層折射率Nd的變化曲線圖6 一維光子晶體禁帶寬度隨Nd的變化曲線由圖可知隨引入缺陷折射率的增大，光子晶體可以得到更大的群速度，更大的禁帶寬度。同樣的方法我們可以得到光子晶體介質a,b對光子晶體參數的影響情況圖7 一維光子晶體禁帶寬度隨Na的變化曲線圖8 一維光子晶體禁帶寬度隨折射率Na的變化曲線圖9 一維光子晶體群速度隨折射率Nb的變化曲線圖10 一維光子晶體禁帶寬度隨折射率Nb的變化曲線為進一步尋找引起光子晶

11、體帶隙特性參數變化的因素，我們進行了|Na|-|Nb|和|Na|/|Nb|的規(guī)律探尋：圖11 一維光子晶體群速度隨|Na|-|Nb|的變化曲線|圖12 一維光子晶體禁帶寬度隨|Na|-|Nb|的變化曲線|圖13 一維光子晶體禁帶寬度隨|Na|/|Nb|的變化曲線|圖14 一維光子晶體群速度隨|Na|/|Nb|的變化曲線|4.3介質厚度對光子晶體性能的影響（1）介質a的厚度對群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41; NN=4 圖14 一維光子晶體群速度隨介質a的厚度的變化曲線圖14 一維光子晶體帶寬隨介質a的厚度的變化曲線由圖13、圖14可得出，隨著介質a的厚度的增加，群速度和帶寬都減

12、小，都近似成線性。由此可知，得到寬的帶寬和得到小的群速度是相互矛盾的，所以，要選擇合適的a的厚度，從而兼顧帶寬和群速度的要求。（2）介質b的厚度對群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41 NN=4;圖15 一維光子晶體群速度隨介質b的厚度的變化曲線圖16 一維光子晶體帶寬隨介質b的厚度的變化曲線由圖15、圖16可得出，隨著介質b的厚度的增加，群速度呈對數增長，而帶寬則近似成線性減小。要得到寬的帶寬和小的群速度，就需要減小b的厚度。（2）介質d的厚度對群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41;NN=4圖16 一維光子晶體群速度隨介質d的厚度的變化曲線圖17 一維光子晶體帶寬隨介質d的厚度的變化曲線由圖16、圖17可得出，隨著介質d的厚度的增加，群速度和帶寬都減小。由此可以得到與a厚度變化相同的規(guī)律：寬的帶寬和小的群速度是相互矛盾的，所以，要選擇合適的d的厚度，從而兼顧帶寬和群速度的要求。5結論本文介紹了特殊矩陣法，并利用特殊矩陣法對一維光子晶體的帶隙特性的影響因素進行了探究，得出了一系列因素對光子晶體特性影響的變化曲線，為今后光子晶體帶隙方面的實際應用提供一定的數據和基礎。參考文獻：1.王輝、李永平.<用特殊矩