用傳輸矩陣法計(jì)算一維光子晶體的帶隙特性研究

1、創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)結(jié)題報(bào)告題 目：一維光子晶體帶隙特性研究學(xué) 院：自動(dòng)化工程學(xué)院專(zhuān) 業(yè)： 自動(dòng)化 姓 名： 闞樞 指導(dǎo)教師： 李長(zhǎng)紅 2010年10月15日關(guān)鍵詞： 光子帶隙 特征矩陣規(guī)律1 引言光子晶體是一種折射率周期變化的人工微結(jié)構(gòu)材料 ,其典型結(jié)構(gòu)為一個(gè)折射率周期變化的三維物體 ,周期為光波長(zhǎng)量級(jí). 光子在光子晶體中傳播存在光子帶隙.，頻率落在光子帶隙內(nèi)的電磁波不能在光子晶體中傳播,光子晶體的這種特性具有極大的理論價(jià)值和潛在的應(yīng)用前景。在光子晶體中摻雜后 ,會(huì)在光子能隙中引入局域模式 ,這將給激光技術(shù)和非線性光學(xué)等帶來(lái)全新的應(yīng)用 ,如制作零閾值激光器、光濾波器、慢光緩存器、慢光傳感器等。理論研究發(fā)

2、現(xiàn)，對(duì)于含有缺陷的一維光子晶體，在光子禁帶（PBG：Photonic Band Gap）的帶邊和缺陷模對(duì)應(yīng)的頻率位置，光的傳輸具有極低的群速度，Scalorta等人發(fā)現(xiàn)在帶邊處，光脈沖傳輸速度可以降低到c/17（c為真空中光速），大約為1.76×107m/s。光子晶體的理論計(jì)算已相對(duì)成熟 ,本文旨在應(yīng)用現(xiàn)有的計(jì)算方法，建立一維光子晶體模型并討論一維光子晶體在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)和參數(shù)下的光學(xué)傳輸特性。與平面波算法相比，傳輸矩陣法的計(jì)算量大為降低。傳輸矩陣方法可以計(jì)算一個(gè)有限尺寸光子晶體的反射系數(shù)及透射系數(shù)；根據(jù)光的群速度定義，基于此可以計(jì)算光在光子晶體中的傳輸速度；另外，在光子晶體透射特性分

3、析基礎(chǔ)上，還可以推導(dǎo)計(jì)算一維光子晶體中光傳輸時(shí)電場(chǎng)在各層中的分布情況，因此本文采用傳輸矩陣法進(jìn)行光子晶體規(guī)律的探討。2一維光子晶體2.1模型的建立一維光子晶體由兩種不同相對(duì)介電常量 (a ,b ) 、厚度( a , b) 的薄介質(zhì)層交替排列構(gòu)成的一維周期性結(jié)構(gòu)材料. 如圖 1 所示 ,空間周期為 d = a + b ,一束頻率為的光從左向右正入射到圖中所示的一維周期性結(jié)構(gòu)材料中.將光波在介質(zhì)層中的行進(jìn)看作是正向行進(jìn)電磁波 (下行波) 和反向行進(jìn)電磁波 (上行波) 的疊加. 介質(zhì)交界面處的電磁場(chǎng)滿足邊界條件. 每一介質(zhì)層與光波的相互作用可由其矩陣完全決定. 介質(zhì)層兩邊的場(chǎng)矢量 E , H , E

4、 H 的?？捎锰卣骶仃嚶?lián)系起來(lái) :2.2數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)為行進(jìn)一步的計(jì)算，下面給出光子晶體的特殊矩陣表達(dá)式。如圖 2 所示 , E0, H0表示界面的na一側(cè)矢量 , E, H表示界面的 nb 一側(cè)的場(chǎng)矢量 , EII，HII表示界面一側(cè)的場(chǎng)矢量,在界面上有入射光波 Ei1、反射光波Er1、透射光波Et1以及由介質(zhì) nb入射到界面上的光波Er2圖3-2 1D PC結(jié)構(gòu)中任意層的電磁場(chǎng)傳播情況以TE模為例展開(kāi)討論，對(duì)于TE模，電場(chǎng)分量E垂直入射面，根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件，界面處電場(chǎng)偏振E和磁場(chǎng)分量H的切向分量連續(xù)。以En、Hn表示界面n處的電場(chǎng)偏振E和磁場(chǎng)偏振H的切向分量，因?yàn)樵谕唤缑鎯蓚?cè)，有En-1

5、=En，Hn-1=Hn。對(duì)于界面I： （3-2）界面II上EII，HII有類(lèi)似公式?？疾旖缑鍵上的透射場(chǎng)Et1與界面II上入射場(chǎng)Ei2： （3-3）式中，表示，波矢為k的平面波在介質(zhì)層中垂直橫跨兩個(gè)界面時(shí)的相位差，同樣，根據(jù)，由以上各式得： （3-4）式中，將式（3-4）寫(xiě)成矩陣形式為： （3-5）則對(duì)第j層單層介質(zhì)的傳輸矩陣為（TE模）： （3-6）式中， （3-7）以上計(jì)算關(guān)系是對(duì)于TE模式的，對(duì)TM模式可以得到類(lèi)似于上式的結(jié)果，只是在TM模式情況下，若考慮正入射情況（=0），則TE模與TM模傳輸矩陣相同。對(duì)于一維周期性結(jié)構(gòu)（圖3-1），可逐層應(yīng)用式（3-6）的傳輸矩陣方程，對(duì)具有N層介質(zhì)

6、的一維結(jié)構(gòu)： （3-8）式中就是一維光子晶體的傳輸矩陣。分別在第I個(gè)界面及第N+1個(gè)界面上列電磁場(chǎng)分量方程，并將求得的EI，HI，EN+1，HN+1代入式（3-8），展開(kāi)可求得透射系數(shù)和反射系數(shù)：反射系數(shù)： （3-9-1）反射率： （3-9-2）透射系數(shù)： （3-9-3）透射率： （3-9-4）若1D PC結(jié)構(gòu)置于空氣中，則有N+1=0，利用式（3-8）和式（3-9）編程計(jì)算可以得到一維光子晶體的反射譜或者透射譜，從而得到其帶隙結(jié)構(gòu)。在計(jì)算所得反射系數(shù)基礎(chǔ)上，1D PC結(jié)構(gòu)內(nèi)部各層電場(chǎng)分布可由式（3-10）計(jì)算： （3-10）式中，是從第一層到第k層的傳輸矩陣元素，根據(jù)式（3-10）就可以計(jì)算

7、出電場(chǎng)在光子晶體內(nèi)部各層的電場(chǎng)強(qiáng)度。對(duì)于一維光子晶體（1D PC）結(jié)構(gòu)，采用含有缺陷層的兩種高低折射率材料A和B交替排列的周期結(jié)構(gòu)，基本周期層（AB）的光學(xué)厚度取四分之一波長(zhǎng)，缺陷層光學(xué)厚度為二分之一波長(zhǎng)。在有限一維光子晶體結(jié)構(gòu)中，群折射率定義為：ng=c/vg，可以采用有效折射率方法進(jìn)行計(jì)算：復(fù)折射率： （3-11）其中的實(shí)部和虛部由透射系數(shù)定義：透射系數(shù)： （3-12）有效折射率實(shí)部可寫(xiě)為： （3-13）虛部為： （3-14）其中，為透射率的復(fù)角，L為有限一維光子晶體結(jié)構(gòu)的總體厚度；這樣，群折射率可以寫(xiě)為： （3-15）從而，群速度可以通過(guò)下式計(jì)算： （3-16）利用獲得的群速度，對(duì)于有限

8、長(zhǎng)度的一維光子晶體慢光結(jié)構(gòu)，就可以計(jì)算光脈沖在其中傳輸產(chǎn)生的時(shí)延。4數(shù)據(jù)計(jì)算與規(guī)律研究 4.1一維光子晶體周期性情況通過(guò)MATLAB編程，采用傳輸矩陣法可以方便的求出一位光子晶體的的特征矩陣 M 中的 A , B , C , D 4 個(gè)陣元 , ,即可求出一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).通過(guò)改變各個(gè)參數(shù)來(lái)談?wù)摴庾泳w各參數(shù)變對(duì)光子晶體禁帶寬度和群速度的影響規(guī)律。按照上文所述建立一維光子晶體模型，折射率為a，b的兩種介質(zhì)交替構(gòu)成光子晶體。折射率Na=2.22，Nb=1.41；根據(jù)四分之一系統(tǒng)，介質(zhì)層厚度a=abs(lamd0/4/Na)，b=abs(lamd0/4/Nb)，其中l(wèi)amd0=1550e-9

9、，空間周期d=a+b；一維光子晶體的空間周期數(shù)為10，加上插入缺陷層共21層介質(zhì)。則通過(guò)編程得到一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，如圖圖1 光子晶體帶隙附近折射率的變化情況圖2 光子晶體帶隙附近群速度的變化情況利用本文討論光子晶體結(jié)構(gòu)和參數(shù)對(duì)光子近體帶隙特性的研究。4.2層數(shù)NN對(duì)光子晶體性能的影響光子晶體插入缺陷層產(chǎn)生光子禁帶，如果改變光子晶體的層數(shù)，如圖3、圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)隨引入缺陷的層數(shù)增加，光子晶體禁帶的帶寬變窄，可以得到的更小的群速度。圖3 一維光子晶體群速度隨層數(shù)NN的變化圖4 一維光子晶體禁帶寬度隨NN的變化曲線4.3各介質(zhì)層折射率對(duì)光子晶體性能的影響由4.2的結(jié)論知光子晶體的帶隙特性與

10、總層數(shù)NN有關(guān)，但它們的關(guān)系不是線性的，于是我們對(duì)光子晶體各介質(zhì)層對(duì)其特性的影響進(jìn)行了研究。下圖是研究引入缺陷層折射率對(duì)Vg和禁帶帶寬的影響得出的結(jié)果：圖5 一維光子晶體群速度Vg隨缺陷層折射率Nd的變化曲線圖6 一維光子晶體禁帶寬度隨Nd的變化曲線由圖可知隨引入缺陷折射率的增大，光子晶體可以得到更大的群速度，更大的禁帶寬度。同樣的方法我們可以得到光子晶體介質(zhì)a,b對(duì)光子晶體參數(shù)的影響情況圖7 一維光子晶體禁帶寬度隨Na的變化曲線圖8 一維光子晶體禁帶寬度隨折射率Na的變化曲線圖9 一維光子晶體群速度隨折射率Nb的變化曲線圖10 一維光子晶體禁帶寬度隨折射率Nb的變化曲線為進(jìn)一步尋找引起光子晶

11、體帶隙特性參數(shù)變化的因素，我們進(jìn)行了|Na|-|Nb|和|Na|/|Nb|的規(guī)律探尋：圖11 一維光子晶體群速度隨|Na|-|Nb|的變化曲線|圖12 一維光子晶體禁帶寬度隨|Na|-|Nb|的變化曲線|圖13 一維光子晶體禁帶寬度隨|Na|/|Nb|的變化曲線|圖14 一維光子晶體群速度隨|Na|/|Nb|的變化曲線|4.3介質(zhì)厚度對(duì)光子晶體性能的影響（1）介質(zhì)a的厚度對(duì)群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41; NN=4 圖14 一維光子晶體群速度隨介質(zhì)a的厚度的變化曲線圖14 一維光子晶體帶寬隨介質(zhì)a的厚度的變化曲線由圖13、圖14可得出，隨著介質(zhì)a的厚度的增加，群速度和帶寬都減

12、小，都近似成線性。由此可知，得到寬的帶寬和得到小的群速度是相互矛盾的，所以，要選擇合適的a的厚度，從而兼顧帶寬和群速度的要求。（2）介質(zhì)b的厚度對(duì)群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41 NN=4;圖15 一維光子晶體群速度隨介質(zhì)b的厚度的變化曲線圖16 一維光子晶體帶寬隨介質(zhì)b的厚度的變化曲線由圖15、圖16可得出，隨著介質(zhì)b的厚度的增加，群速度呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，而帶寬則近似成線性減小。要得到寬的帶寬和小的群速度，就需要減小b的厚度。（2）介質(zhì)d的厚度對(duì)群速度和帶寬的影響Na=1.81;Nb=1.41;NN=4圖16 一維光子晶體群速度隨介質(zhì)d的厚度的變化曲線圖17 一維光子晶體帶寬隨介質(zhì)d的厚度的變化曲線由圖16、圖17可得出，隨著介質(zhì)d的厚度的增加，群速度和帶寬都減小。由此可以得到與a厚度變化相同的規(guī)律：寬的帶寬和小的群速度是相互矛盾的，所以，要選擇合適的d的厚度，從而兼顧帶寬和群速度的要求。5結(jié)論本文介紹了特殊矩陣法，并利用特殊矩陣法對(duì)一維光子晶體的帶隙特性的影響因素進(jìn)行了探究，得出了一系列因素對(duì)光子晶體特性影響的變化曲線，為今后光子晶體帶隙方面的實(shí)際應(yīng)用提供一定的數(shù)據(jù)和基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)：1.王輝、李永平.<用特殊矩