(四)一維射影變換習(xí)題答案

1、（四）一維射影變換習(xí)題答案1求以下重疊一維基本形的射影變換。自對應(yīng)點的參數(shù)（坐標(biāo)） ） ） 解：）是二重根）又可寫作求自對應(yīng)元素令有，即，即2設(shè)XYZ是坐標(biāo)三角形，。YO交X于A，P是YZ上的動點，PO交XY于Q，QA交YZ于，若坐標(biāo)分別為、。求射影對應(yīng)的方程與不變點。解：A點的坐標(biāo)：Q點的坐標(biāo)：點的坐標(biāo)：射影對應(yīng)式為不變點為是二重根，即是不變點。3設(shè)A、B、C是不同的共線點，在射影變換里A、B、C分別對應(yīng)B、C、A。求證：有兩個不同的不變點。解：設(shè)A、C、B的坐標(biāo)為a，c，a+cA、B、C的參數(shù)為0，1，B、C、A的參數(shù)為1，0射影對應(yīng)式為則有或?qū)?yīng)點的參數(shù)代入則有 變換式為，即求不變元素

2、令有為二虛根，即有兩個虛的不變點。4設(shè)射影變換為拋物線性的自對應(yīng)元的參數(shù)為。求證：常數(shù)。證明：k其中有二重根5設(shè)、，、是射影變換的兩對對應(yīng)點，E是自對應(yīng)點，點列底為，、是通過E的直線上的任意二點，交于，交于。求證：與交于另一個自對應(yīng)點。證明：確定一個射影對應(yīng)，又有一公共元素是透視對應(yīng)對應(yīng)直線交點共線是直線設(shè)與交于F則F是射影對應(yīng)中的自對應(yīng)點。如圖：6設(shè)是間底點列，無窮遠(yuǎn)點當(dāng)作或的點時，其對應(yīng)點分別為A、。求證：常數(shù)（其中是對應(yīng)點）。證明：常數(shù)7設(shè)A、B、C是不同的共線點且有求證：X與P重合。（提示用第3題）證明：由第3題，對應(yīng)式為設(shè)P的坐標(biāo)為則Q的參數(shù)為R的參數(shù)為X的參數(shù)為X與P重合8設(shè)E是重

3、疊射影對應(yīng)點，列重合的自對應(yīng)點，且又當(dāng)看作是第一點列的點時求證：證明：由第5題，與交于自對應(yīng)點，而自對應(yīng)點就一個與交于E如圖，由完全四點形的調(diào)和性，得（五）一維基本形的對合習(xí)題1求對合的方程，它被兩對元素2與2與1與4所決定。解：對合方程為將對應(yīng)點代入，解出：對合方程為2求對合方程，它的二重點的參數(shù)為（1）2與3 （2）的根 解：設(shè)對合方程為，二重點參數(shù)為a，b，則有，（1）將對應(yīng)點代入得 即為所求。（2）則有即為所求。3求對合的二重點的參數(shù)，這個對合是由滿足以下方程的對應(yīng)點偶所給定（1）與 （2）與 解：（1）對方程有對方程有令，解得二重點參數(shù)為。（2）方法同上。解得對合方程為二重點參數(shù)為，

4、1/2。4設(shè)A、B、C、D是共線點，且求證：P有兩種可能位置且與A、B調(diào)和共軛。證明：設(shè)A、B、C、D為a，b，a+b，a+b設(shè)P為a+bP有兩種位置參數(shù)，且，即得證。5設(shè)A、B、C是共線點，滿足求證：是一個對合的對應(yīng)點偶。證明：設(shè)A，B，C，分別為a，b，a+b，a+b，a+b，a+b =2 =-1先由AA，CC決定一個對合，當(dāng)時，B的參數(shù)為，B的參數(shù)BB滿足由AA，CC決定的對合對應(yīng)式是一個對合的對應(yīng)點偶。6寫出狄沙格第二定理的對偶定理。答：不在邊上的一個點與完全四線形的三對對頂點的連線屬于同一對合的三對對應(yīng)直線。7求證：一個線束的對合對應(yīng)有一對互相垂直的對應(yīng)直線，問能不能有更多的垂直對應(yīng)

5、直線。證明：可以將一束直線的束心移到原點，則對應(yīng)直線的斜率滿足關(guān)系式設(shè)有一對對應(yīng)直線互相垂直，如果有，此題得證。設(shè)這對互相垂直的對應(yīng)直線斜率為，根號中為正數(shù)，k一定有解對合對應(yīng)線束一定存在一個對互相垂直的對應(yīng)直線。如果有兩對互相垂直的對應(yīng)直線，他們斜率為則方程經(jīng)化簡有即任一對對應(yīng)直線都垂直。8求證：任何射影變換，如果不是對合，則必是兩個對合的乘積。證明：設(shè)不是對合對應(yīng)，也不是I（）有令使，則是對合其中，則也是對合從而得證是兩個對合的乘積。（六）二維射影變換習(xí)題1求一個射影變換使分別變換為。解：將四對對應(yīng)點代入非奇線性變換式中，可解得變換式為2求使三點分別對應(yīng)三點且使對應(yīng)無窮遠(yuǎn)直線的射影對應(yīng)。解

6、：將三對對應(yīng)點代入變換式中，解得在將一對對應(yīng)直線的線坐標(biāo)（1，1，1）（0，0，1）代入中，有變換公式為令變換公式為3（）求射影變換的逆，并分別用齊次坐標(biāo)與非齊次坐標(biāo)表示。（）問（）中每一平面上的影消線是什么？進一步思考一般情況中影消線如何表示？解：（）逆為：非齊次坐標(biāo)式為：，中影消線為：中影消線為：（）一般情況中影消線為：4求射影變換、的不變點。解：即是三重根時，行列式秩為1。是不變點列，即,軸。5設(shè)一射影變換只有三個不共線的不變點，求證：這個變換可以寫為、其中a,b,c是兩兩不同的非零數(shù)。證明：可以適當(dāng)選取坐標(biāo)系，使三個不變點的坐標(biāo)分別為（0，0，1）、（1，0，0）、（0，1，0）。證明：將此三點代入射影變換式中，有，令只使三點不變的射影變換可表示為、的形式。6是奇異的，即其行列式為