角平分線模型的構(gòu)造

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 角平分線模型的構(gòu)造技巧提煉：與角平分線有關(guān)的常用輔助線作業(yè)，即角平分線的四大基本模型。已知P是MON平分線上一點(diǎn)，（1） 若PAOM于點(diǎn)A，如圖a，可以過P點(diǎn)作PBON于點(diǎn)B，則PB=PA。可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”。（2） 若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，如圖b，可以在ON上截取OB=OA，連接PB，構(gòu)造OPBOPA?？捎洖椤皥D中有角平分線，可以將圖形對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)”。（3） 若APOP于點(diǎn)P，如圖c，可延長AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn)，可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”。（4） 若過P點(diǎn)作PQON交O

2、M于點(diǎn)Q，如圖d，可以構(gòu)造POQ是等腰三角形，可記為“角平分線+平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”。例題精講例1 （1）如圖a，在ABC中，C=90°,AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到直線AB的距離是 cm。 （2）如圖b，已知：1=2，3=4，求證：AP平分BAC。例2 如圖a在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D，AF平分CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F， （1）求證：CE=CF。 （2）將圖a中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其他條件不變，如圖b，試猜想:BE與CF有怎樣的數(shù)量有關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。例3 閱讀下列

3、學(xué)習(xí)材料：如圖a，OP平分MON，A為OM上一點(diǎn)，C為OP上一點(diǎn)，連接AC，在射線ON上截取OB=OA，連接BC，易證AOCOBC。請(qǐng)根據(jù)上面的學(xué)習(xí)材料，解答下列各題：（1） 如圖c，在ABC中，AD中BAC的外角平分線，P是AD上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由。（2） 如圖d，AD中BAC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由。例4 如圖，已知等腰直角ABC中，A=90°,AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD=2CE。例5 （1）如圖a，BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作ADB

4、D、AECE，垂足分別為D、E，連接DE，求證DEBC，DE=；（2） 如圖b，BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變；（3） 如圖c，BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線，其他條件不變，則在圖b，圖c兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜測(cè)，并對(duì)其中的一種情況進(jìn)行證明。變式練習(xí)：如圖，在ABC中，AB=3AC，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BEAD，垂足為E，求證：AD=DE。例6 如圖a，AB=AC，BD、CD分別平分ABC、ACB，問：（1） 圖a中有幾個(gè)等腰三角形？（2） 過點(diǎn)D點(diǎn)作EFBC，如圖b，交AB于點(diǎn)E，交

5、AC于點(diǎn)F，圖中又增加了幾個(gè)等腰三角形？（3） 如圖c，若將題中的ABC改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三角形？直接寫出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？（4） 如圖d,BD平分ABC，CD平分外角ACG，DEBC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？并說明理由。（5） 如圖e，BD、CD為外角CBM、BCN的平分線，DEBC交AB延長線于點(diǎn)E，交AC延長線于點(diǎn)F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？例7 如圖，已知在ABC中，AC=BC，C=90°,AD平分CAB，求證：AB=AC+CD。變式練習(xí)：1、已知ABC中，AC=AC，A=108

6、76;,BD平分ABC，求證：BC=AB+CD。2、已知ABC中，AC=AC，A=100°,BD平分ABC，求證：BC=BD+AD。例8 如圖a，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考上圖構(gòu)造全等三角形的方法，解答下列問題：（1） 如圖b，在ABC中，ACB是直角，B=60°,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2） 如圖c，在ABC中，ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得出結(jié)論是否依然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由。牛刀小

7、試1、 （1）如圖a，在ABC中，ABC與ACB的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE之長為 。（2） 如圖b，在ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB，DEAB，F(xiàn)DAC，如果BC=6，求DEF的周長。2、已知：BAD=CAD，AB>AC，CDAD于點(diǎn)D，H是BC的中點(diǎn)。求證：。3、已知：四邊形ABCD中，B+D=180°,BC=CD。求證：AC平分BAD。4、 ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，連接AP、CP，若BPC=40°,求CAP的度數(shù)。5、在四邊形中，BC>A

8、B，AD=CD，BD平分ABC，求證：A+C=180°。6、 如圖a，BP平分MBN，點(diǎn)D在射線BP上，ADC的兩邊分別交射線BM、BN于A、C兩點(diǎn)，且ADC+MBN=180°。（1） 猜想AD與DC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論。（2） 圖b是ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由。 a b 7、 （1）如圖a，在RtABC中，C=90°,B=45°，AD是ABC的角平分線，則AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為 。（2） 如圖b，若將（1）中條件“在RtABC中，C=90°,B=45

9、°”改為“在ABC中，C=2B”請(qǐng)問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的猜想。8、在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F。（1）在圖a中證明CE=CF；（2）若ABC=90°,G是EF的中點(diǎn)(如圖b)，直接寫出BDG的度數(shù)；（3）若ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖c）,求BDG的度數(shù)。 9、 已知，在ODC中，D=90°，EC是DCO的角平分線，且OECE，過點(diǎn)E作EFOC交OC于點(diǎn)F，猜想：線段EF與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。10、在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)。（1）如圖a，若AC平分BAE，ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為 ；（直接寫出答案）（