浙江地區(qū)高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何章末復習課精品學案新人教B版

1、名校名師推薦第三章空間向量與立體幾何【學習目標】1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運算法則及運算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運算及其應用，會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題3理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標表示.4.會用基向量法、坐標法表示空間向量.5.會用向量法解決立體幾何問題.Q知識梳理知識點一空間中點、線、面位置關系的向量表示設直線l,m的方向向量分別為a,b,平面“，3的法向量分別為科，v,則線線平行l(wèi)/m?a/b?a=kb,keR線囿平行l(wèi)/a?囿囿平行a/3?w/V?線線垂直i±m?線面垂直l±a?a/?a=k,kCR卸回垂直a_L3?w_Lv?線線夾

2、角.，一J、,兀l,m的夾角為0(0<0<),cos0=線面夾角，一J、,兀l,a的夾角為0(0<0<),sin0=向向夾角一rj，兀a,3的夾角為9(0<9<y),COS0=知識點二用坐標法解決立體幾何問題步驟如下：(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)寫出相關點的坐標及向量的坐標；(3)進行相關坐標的運算；(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.關鍵點如下：(1)選擇恰當?shù)淖鴺讼?坐標系的選取很重要，恰當?shù)淖鴺讼悼梢允沟命c的坐標、向量的坐標易求且簡單，簡化運算過程.(2)點的坐標、向量的坐標的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點的坐標、直線的方向向量、平面的

3、法向量，這是最核心的問題.(3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關鍵.題型探究類型一空間向量及其運算例1如圖，在四棱錐S-ABCDK底面ABCO邊長為1的正方形，S到ARCD的距離都等于2.給出以下結(jié)論：5 SASfe+SC>SD=0； 起Sb-SC-SD=0； SA-SB+SC-SD=0； SA2Sb=Sc2Sh SA2SC=0.其中正確結(jié)論的序號是.反思與感悟向量的表示與運算的關鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義.跟蹤訓練1如圖，在平行六面體ABCDA

4、BC麗，M分ACiO勺比為J，N分AD成的比為2,設AB=a,AD=b,AA=c,試用a、b、c表示Mnti類型二利用空間向量解決位置關系問題例2四棱錐P-ABC珅，PDL平面ABCDABCD1正方形，E是PA的中點，求證:(1)PC/平面EBD(2)平面PBCL平面PCD反思與感悟(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線.利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.證明這兩個平

5、面的法向量是共線向量.(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個平面的法向量互相垂直.跟蹤訓練2正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是BB、CD的中點，求證：平面AED_平面A1FD.類型三利用空間向量求角例3如圖所示，長方體ABCD-ABCD中，A*16,BC=10,AA=8,點E,F分別在AB,DC上，AE=DF=4.過點E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.m匚A(1)在圖中畫出這個

6、正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.反思與感悟用向量法求空間角的注意點0° < 0 <90° ,需找到兩異面直線的方向向(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為量，借助方向向量所成角求解.(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面a所成的角0,先求這個平面a的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn,a，再利用公式sin0=|cosn,a|,求(3)二面角：如圖，有兩個平面”與3,分別作這兩個平面的法向量ni與n2,則平面a3所成的角跟法向量m與2所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.跟蹤訓練3如

7、圖，在幾何體ABCD小，四邊形ABCO矩形，AB，平面BECBELECAB=BE=EG=2,G,F分別是線段BEDC的中點.(1)求證：GF/平面ADE(2)求平面AEF與平面BEO成銳二面角的余弦值.當堂訓練11.已知空間四邊形ABCDG是CD勺中點，則AB+2(BNBQ等于()a.AGb.CGc.Bcd.2BC2 .若a=(0,1,1),b=(1,1,0),且(a+入b)，a,則實數(shù)入的值是()A.-1B.0C.1D.23 .已知向量a=(4-2mim-1,m-1)與b=(4,22m,22m)平行，則m=.4 .已知平面&經(jīng)過點O0,0,0),且e=(1,1,1)是“的一個法向量，

8、Mx,V,z)是平面a內(nèi)任意一點，則X,V，z滿足的關系式是.5 .已知空間三點A(2,0,2),B(-1,1,2),Q3,0,4),設2=雄b=AC若|c|=3,且c/BC求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.L規(guī)律與方法1解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標法利用數(shù)及其運算來解決問題.坐標方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用.提醒：完成作業(yè)第三章章末復習課4名校名師推薦石小二合奈相析知識梳理知識點一a±(1a2(i=0w=kv,kCRa±b|a2b|a2*a2b=

9、0li2v=0-!-|a|b|a|口I科2v|U|v|題型探究例1解析容易推出SSfe+S>Sb=B。降0,所以正確；又因為底面abc比邊長為1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以S2SB=2222cosZASBS(2SD=2222cosZCSD而/ASB=/CSD于是SA?SB=S(2SD因此正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是.跟蹤訓練1解連接AN則Mn=*AK|由已知ABCO平行四邊形，故AC=AB+AD=a+b,又M分AC成的比為最17( a+ b).3由已知，N分人似的比為2,故->>->->->1->ANhAADNhAD-ND=

10、AD-0D31="(c+2b).3于是Mn=MmAN11=-3(a+b)+3(c+2b)1=-(-a+b+c).例2證明如圖，以D為坐標原點，分別以DQDADP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設 DG= a, PD= b,則 D(0, 0, 0) , Qa, 0, 0) , Ra, a, 0),a bR0, 0, b), E(0, 2, 2)-士_a b> , DE= (0, 2, 2八 DB- (a, a, 0).DE -2 n=0, 設平面EBD勺一個法向量為n=(x, v, z),則SDB -2 n=0,，1a令 x=1,得 n = (1 , 1, b),

11、因為Pb n=(a, 0, b)2(1 , 1, 3 = 0,所以電n,故PC/平面EBD(2)由題意得平面 PDC勺一個法向量為DA= (0, a, 0),， 、 > ， 、又P5(a, a, b), PC= (a, 0, b),設平面PBC勺一個法向量為 f (X1, y1, Z1),PB2 m= 0,晟+ay1 bz1= 0,則即,、電 f0,aX1bZ1=0,一 *a. a得 y1 = 0,令 X1=1,則 Z1 = r,ba所以 m (1 , 0, 3),因為血 m (0 , a, 0)2(1 , 0, j =0,所以DAl e即平面 PBCL平面PCD跟蹤訓練2證明如圖，建立

12、空間直角坐標系Dxyz0,、ax+ ay= 0.設正方體棱長為1,則Ef, 1, 2)D(0, 0, 1),A(1 , 0, 0),FO, 1 0.- da=(1 , 0, 0)= dA, DE= H, 1, 2 ；, 5>= jo,Z2)分別是平面 AEDF口 AFD的一個法向量，12， 1!.設m (X1 , y1 , Z1), n=(X2, y2,n2 DA= 0, 由S 一n2 DE= 0,Xi = 0,得1X1 + y1 + Z1= 0.令 y1=1,得 n (0 , 1, - 2).n2 DA= 0,又由 一 n2 DF= 0,X2= 0,得15y2Z2=0.令 Z2=1,得

13、 n=(0 , 2, 1) .n2 n=(0, 1, -2)2(0 ,2, 1) = 0,m±n,故平面 AEDL平面 AFD.例3解(1)交線圍成的正方形 EHGF：口圖所示,(2)作EMLAB,垂足為M則A陣AE=4,EM=AA=8.因為EHG的正方形，所以EH=EF=BG=10.于是MH=4eHEM=6,所以AH=10.7名校名師推薦以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),RO,4,8),Ffe=(10,0,0),bfe=(0,-6,8).n2 FE=O,flOx=O,設n=(x,

14、y,z)是平面EHG用勺法向量，則i即1In2Ffe=0,-6y+8z=0,所以可取 n= (0 , 4, 3).又 AF=(10, 4, 8),故 |cos <n,| n2 麗 4J5I n| 同所以AF與平面EHG所成角的正弦值為室.跟蹤訓練3方法一證明如圖，取AE的中點H,連接HQHQ又G是BE的中點，1所以GH/AB且GH=-AB又F是CD的中點，1所以D已CD由四邊形ABC匿矩形，得AB/CDAB-CD所以GH/DF,且GhkDE從而四邊形HGF比平行四邊形，所以GF/DH又DHP平面ADEGF?平面ADR所以GF/平面ADE解如圖，在平面BECft,過B點作BQIEC因為BH

15、CE所以BQLBE又因為ABL平面BEC所以AB±BEABLBQ以B為原點，分別以BE,BQBA勺方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因為ABL平面BEC所以瀛=(0,0,2)為平面BEC的法向量.設n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.一又AE=(2,0,2),AF=(2,2,1),2x-2z=0,得，2x+ 2y- z = 0.n2Ae=0,I：、n2AF=0,取z=2,得n=(2| n2 BA 42 | = J±=后-=可，所以平面 AEF與平面BEO成銳二面角的余弦._.2333| n|2| BA從而|cosn,§A>2值為.如圖，取AB中點M連接MG MF3方法二(1)證明又G是BE的中點，可知GM/AE又AE?平面ADEGM平面ADE所以GM平面ADE在矩形ABCW,由MF分別是ABCD的中點得MF/AD又AD?平面ADEMF?平面ADE所以MF/平面ADE又因為GMPMF=MGM平面GMFMF?平面GMF所以平面GMH平面ADE因為GF?平面GMIF所以GF/平面ADE(2)同方法一.當堂訓練1