高等數(shù)學(xué)A-第1章-8-3(函數(shù)的極限)

1、中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開(kāi)放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A1.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念 1.3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)1.3 1.3 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)1.3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念 函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性 收斂函數(shù)的局部有界性收斂函數(shù)的局部有界性函數(shù)極限的局部保號(hào)性函數(shù)極限的局部保號(hào)性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限及習(xí)例自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限及習(xí)例1-3 自變量趨于有限值時(shí)函

2、數(shù)的極限自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何解釋函數(shù)極限的幾何解釋用定義驗(yàn)證函數(shù)極限用定義驗(yàn)證函數(shù)極限 Axfxx)(lim0步驟步驟習(xí)例習(xí)例4-8函數(shù)單側(cè)極限的定義函數(shù)單側(cè)極限的定義 證明極限不存在的方法證明極限不存在的方法函數(shù)極限函數(shù)極限 :有有三三種種情情況況 x ,0)1( xxx記記為為且且 ,0)2( xxx記為記為且且 ,)3( xxx記記為為可可正正可可負(fù)負(fù)且且1. 自變量趨于自變量趨于無(wú)窮大無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 一、函數(shù)極限的概念一、函數(shù)極限的概念 1 : nxxnn從數(shù)列 ), 0( 1 xxy與函數(shù)的圖形可以看出的圖形可以看出: . 01lim , 01

3、limxnxnOxy123n nxn1xy1 1 : 極限的定義：回憶數(shù)列nxxnn有時(shí)使當(dāng)若 , , 0 , 0NnN | |axn記為為極限以時(shí)當(dāng)則稱數(shù)列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn數(shù)列是一種特殊的函數(shù)故可以從形式進(jìn)行相當(dāng)與而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替換為替換為替換為將推廣有時(shí)使當(dāng)若 , , 0 , 0XxX | )( |axf記為為極限以時(shí)當(dāng)則稱函數(shù)成立 , , )( ,axxf . )(limaxfx定義定義1 ,),)(是是一一個(gè)個(gè)確確定定的的數(shù)數(shù)上上定定義義在在設(shè)設(shè)Aaxf .)(, 0

4、, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)若若記記為為時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)是是則則稱稱.)( xxfAAxfx )(lim)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)或或 xAxf注意：注意：(1)與數(shù)列極限情形相比較，與數(shù)列極限情形相比較，X的作用與數(shù)列極限中的的作用與數(shù)列極限中的N一樣，說(shuō)明一樣，說(shuō)明x充分大的程度，依賴于充分大的程度，依賴于 ；所不同的是這；所不同的是這里必須考慮比里必須考慮比X大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是自然數(shù)大的所有實(shí)數(shù)，而不僅僅是自然數(shù)n.(2)幾何解釋?zhuān)簬缀谓忉專(zhuān)?)(,之之間間與與的的圖圖形形全全部部位位于于兩兩直直線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AyAyxfXxxoyA A AX(3).xx 類(lèi)似地可得出與時(shí)

5、的極限定義Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函數(shù)的極限時(shí)我們將得到x ,()(是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)上上定義在定義在設(shè)設(shè)Abxf.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)若若記記為為時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)是是則則稱稱.)( xxfAAxfx )(lim)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)或或 xAxf結(jié)論：結(jié)論：AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim:時(shí)的極限定義xOxyay ay ayXX)(xfy 現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或你能否由此得出 一個(gè)極限的定義 和一個(gè)重要的定理. ,),(

6、)(是是一一個(gè)個(gè)確確定定的的數(shù)數(shù)上上定定義義在在設(shè)設(shè)Axf .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)若若記記為為時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)是是則則稱稱.)( xxfAAxfx )(lim)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)或或 xAxfxoyA A A1X2X:時(shí)的極限定義x由于由于 | x | X 0 x X 或或 x 0 的情形加以證明的情形加以證明.,)(lim0Axfxx , A 則則取取 .)( ,),( 0 AxfxUx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)( AxfA即即. 0)( xf. ,0AA 此此時(shí)時(shí)取取的的情情形形類(lèi)類(lèi)似似地地可可證證, 0 必必3. 函數(shù)極限的局部保號(hào)性函數(shù)極限的局部保號(hào)性 推論推論1

7、（局部保號(hào)性）（局部保號(hào)性） ,)(lim ),0)( (0)( ),(00AxfxfxfxUxx 且且或或內(nèi)內(nèi)若若在在 ).0 (0 AA或或則則推論推論2（局部保序性）（局部保序性）. ),()( ),( 0, ,)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則當(dāng)當(dāng)若若設(shè)設(shè) 證明：證明： , BA 假假設(shè)設(shè).2 AB 取取,)(lim0Axfxx ,2)( ,),( 0,101ABAxfxUx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .2)(23 BAxfBA 即即,)(lim0Bxgxx ,2)( ,),( 0,202ABBxgxUx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .23)(2 ABxgBA 即即 ,mi

8、n 21 取取),g(2BA)( ,),( 0 xxfxUx 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 與已知條件矛盾與已知條件矛盾.BA 4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理 4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系） 證明證明: 如果極限如果極限 存在存在, 為為 函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于 的的 0limxxfx nx f x0 x數(shù)列數(shù)列, 且滿足且滿足 , 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 必收斂必收斂, 0nxx nNnf x且且 . 0limlimnnxxfxfx設(shè)設(shè) ，則，則 ， ， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0limxxf xA0000 xx

9、有有 . fxA又因又因 ,故對(duì)故對(duì) , ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 .0limnnxx0NNnN0nxx由假設(shè)由假設(shè) , 故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí), 從而從而 , 0nxxnNnN nf xA即即 .limnnf xA.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利利用用解解:)(lim)01 ( 1xffx )(lim)01( 1xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,1 , 121 , 21 , 13)( .101xfxxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)例例, 3)12(lim1 xx, 2)13(lim1 xx證明極限不存在的方法證明極限不存在的方法(2)(2)利用極限存在的唯一

10、性或函數(shù)極限存在的充要條件是它的任利用極限存在的唯一性或函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在且相等何子列的極限都存在且相等. .例例11. sinlim 不不存存在在證證明明xx 證明證明:,2 nxn 取取., nxn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),22 nyn取取., nyn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0)2sin()( nxfn但但. sinlim不不存存在在xx . 1)22sin()( nyfn說(shuō)明: 極限不存在有幾種情況: 1)左極限右極限 2)(如21lim2xx) 3)擺動(dòng)(如: xx1sinlim0, nn) 1(lim ) xy1sin 練習(xí)：討論練習(xí)：討論 時(shí)，下列函數(shù)的極限的是否存在時(shí)，下列函數(shù)的極限的是否存在.0 xxexf1)(000,12012)(xxxxxxg四、小結(jié)四、小結(jié)1. 函數(shù)極限的函數(shù)極限的或或X定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的