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1、第6講 應(yīng)用性問(wèn)題概述:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于應(yīng)用,應(yīng)用性問(wèn)題已成為近年中考的熱點(diǎn),在解決這類問(wèn)題時(shí),要認(rèn)真理解題意,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題,用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答,在解答過(guò)程中要考慮其合理性 典型例題精析 例1(2005,湖州)在正常情況下,一個(gè)人在運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)5分(次/分)是這個(gè)人年齡n(歲)的一次函數(shù) (1)根據(jù)以上信息,求在正常情況下,S關(guān)于n的函數(shù)的關(guān)系式; (2)若一位63歲的人在跑步,醫(yī)生在途中給他測(cè)得10秒心跳為26次,問(wèn):他是否有危險(xiǎn)?為什么? 根據(jù)醫(yī)學(xué)上的科學(xué)研究表明,人在活動(dòng)時(shí),心跳的快慢通常和年齡相關(guān) 在正常情況下,年齡在15歲和45歲的人在運(yùn)動(dòng)時(shí)所

2、能承受的最高心跳次數(shù)分別為164次/分和144次/分 解:(1)設(shè)S與n之間的函數(shù)關(guān)系式為S=kn+b, 由題意得 解得 S與n之間的函數(shù)關(guān)系是S=-n+174 (2)當(dāng)n=63歲時(shí),S=×63+174=132 現(xiàn)在這位老人心跳是26×6=156>132 因此,他這時(shí)有一定的危險(xiǎn) 例2(2005,泰州)教室里放有一臺(tái)飲水機(jī)(如圖),飲水機(jī)上有兩個(gè)放水管,課間同學(xué)們依次到飲水機(jī)前用茶杯接水假設(shè)接水過(guò)程中水不發(fā)生潑灑,每個(gè)同學(xué)所接的水量都是相等的兩個(gè)放水管同時(shí)打開時(shí),他們的流量相同放水時(shí)先打開一個(gè)水管,過(guò)一會(huì)兒,再打開第二水管,放水過(guò)程中閥門一直開著飲水機(jī)的存水量y(升)

3、與放水時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系如圖所示: (1)求出飲水機(jī)的存水量y(升)與放水時(shí)間x(分鐘)(x2)的函數(shù)關(guān)系式; (2)如果打開第一個(gè)水管后,2分鐘時(shí)恰好有4個(gè)同學(xué)接水結(jié)束,則前22個(gè)同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘?(3)按(2)的放法,求出在課間10分鐘內(nèi)班級(jí)中最多有多少個(gè)同學(xué)能及時(shí)接完水? 解:設(shè)存水量y與放水時(shí)間x的解析式為y=kx+by(升)1817x(分鐘)8212O 把(2,17),(12,8)代入y=kx+b得 解得k=-,b=, y=-x+(2x) (2)由圖可得每個(gè)同學(xué)接水量是0.25升, 則前22個(gè)同學(xué)需接水0.25×22=5.5升 存水量y=18-5.5=12.5

4、升, 12.5=-x+, x=7 前22個(gè)同學(xué)接水共需7分鐘 (3)當(dāng)x=10時(shí),存水量y=-×10+=, 用去水18-=8.2升, 8.2÷0.25=32.8 課間10分鐘最多有32人及時(shí)接完水,或設(shè)課間10分鐘最多有z人及時(shí)接完水,由題意可得0.25x8.2, z32.8 例3(2005,長(zhǎng)沙)某通訊器材公司銷售一種市場(chǎng)需求較大的新型通訊產(chǎn)品,已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元,每年銷售該種產(chǎn)品的總開支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì)120萬(wàn)元,在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),年銷售量y(萬(wàn)件)與銷售單價(jià)x(元)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系 (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;806040200654321x

5、(元)y(萬(wàn)件) (2)試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬(wàn)元)關(guān)于銷售單價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式(年獲利=年銷售額-年銷售產(chǎn)品總進(jìn)價(jià)-年總支開),當(dāng)銷售單位x為何值時(shí),年獲利最大?并求這個(gè)最大值; (3)若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬(wàn)元,借助(2)中函數(shù)的圖象,請(qǐng)你幫助該公司確定銷售單價(jià)的范圍在此情況下,要使產(chǎn)品銷售量最大,你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元? 解:(1)設(shè)y=kx+b,它過(guò)點(diǎn)(60,5),(80,4),O406010012080x(元)y(萬(wàn)元) 解得 y=-x+8 (2)z=yx-40y-20=(-x+8)(x-40)-120=-x2+10x-440, 當(dāng)x=100

6、元時(shí),最大年獲利為60萬(wàn)元 (3)令z=40,得4=-x2+10x-440,整理得:x2-200x+9600=0, 解得:x1=80,x2=120 由圖象可知,要使年獲利不低于40萬(wàn)元,銷售單價(jià)應(yīng)在80元到120元之間,又因?yàn)殇N售單價(jià)越低,銷售量越大,所以要使銷量最大,又要使年獲利不低于40萬(wàn)元,銷售單價(jià)應(yīng)定為80元中考樣題訓(xùn)練1(2003,福州)據(jù)人民日?qǐng)?bào)2003年6月11日?qǐng)?bào)道,今年14月福州市完成工業(yè)總產(chǎn)值550億元,比去年同期工業(yè)總產(chǎn)值增長(zhǎng)21.46%,請(qǐng)估計(jì)去年同期工業(yè)總產(chǎn)值在( ) A380400(億元) B400420(億元) C420440(億元) D440460(億元)2(2

7、003,甘肅)在地表以下不太深的地方,溫度y()與所處的深度x(km)之間的關(guān)系可以近似用關(guān)系式y(tǒng)=35x+20表示,這個(gè)關(guān)系式符合的數(shù)學(xué)類型是( ) A正比例函數(shù) B反比例函數(shù) C二次函數(shù) D一次函數(shù)3(2003,甘肅)用一張面積為900cm2的正方形硬紙片圍成一個(gè)圓柱的側(cè)面,則這個(gè)圓柱的底面直徑為_cm4(2003,河南)如圖,某燃料公司的院內(nèi)堆放著10個(gè)外徑為1米的空油桶,為了防雨,需搭建簡(jiǎn)易雨棚,這個(gè)防雨棚的高度最低應(yīng)為_米(取1.73,結(jié)果精確到0.1米) 5(2004,福州)如圖,一把紙折扇完全打開后,外側(cè)兩竹條AB和AC的夾角為120°,AB長(zhǎng)為25cm,貼紙部分的寬B

8、D為17cm,則貼紙部分的面積為_cm2(結(jié)果用表示)6(2005,煙臺(tái))為慶祝六一兒童節(jié),某市中小學(xué)統(tǒng)一組織文藝匯演,甲、乙兩所學(xué)校共92人,(其中甲校人數(shù)多于乙校人數(shù),且甲校人數(shù)不夠90人),準(zhǔn)備統(tǒng)一購(gòu)買服裝參加演出,下面是某服裝廠給出的演出服裝的價(jià)格表:購(gòu)買服裝的套數(shù)145套4690套91套以上每套服裝的價(jià)格 60元 50元 40元 如果兩所學(xué)校分別單獨(dú)購(gòu)買服裝,一共應(yīng)付5000元 (1)如果甲、乙兩校聯(lián)合起來(lái)購(gòu)買服裝,那么比各自購(gòu)買服裝共可以節(jié)省多少錢? (2)甲、乙兩所學(xué)校各有多少學(xué)生準(zhǔn)備參加演出?(3)如果甲校有10名同學(xué)抽調(diào)去參加書法繪畫比賽而不能參加演出,請(qǐng)你為兩所學(xué)校設(shè)計(jì)一種

9、最省錢的購(gòu)買服裝的方案 7(2005,河北)某機(jī)械租賃公司有同一型號(hào)的機(jī)械設(shè)備40套,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)發(fā)現(xiàn):當(dāng)每套機(jī)械設(shè)備的月租金為270元時(shí),恰好全部租出在此基礎(chǔ)上,當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時(shí),這種設(shè)備就少租出一套,且未租出的一套設(shè)備每月需要支出費(fèi)用(維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等)20元,設(shè)每套設(shè)備的月租金為x(元),租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益(收益=租金收入-支出費(fèi)用)為y(元) (1)用含x的代數(shù)式表示未租出的設(shè)備數(shù)(套)以及所有未租出設(shè)備(套)的支出費(fèi)用; (2)求y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式; (3)當(dāng)月租金分別為300元和350元時(shí),租賃公司的月收益分別是多少元?此時(shí)應(yīng)該出租多少套機(jī)

10、械設(shè)備?請(qǐng)你簡(jiǎn)要說(shuō)明理由? (4)請(qǐng)把(2)中所求出的二次函數(shù)配方成y=a(x+)2+的形式,并據(jù)此說(shuō)明:當(dāng)x為何值時(shí),租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益最大?最大月收益是多少?考前熱身訓(xùn)練 1某商品原價(jià)100元,現(xiàn)有4種調(diào)價(jià)方案,其中0<n<m,則調(diào)價(jià)后商品價(jià)格最高的方案是( ) (A)先漲價(jià)m%,再降價(jià)n% (B)先漲價(jià)n%,再降價(jià)m% (C)先漲價(jià)%,再降價(jià)% (D)先漲價(jià)%,再降價(jià)% 2某商品標(biāo)價(jià)1375元,按標(biāo)價(jià)的80%售出仍可獲利10%,則該商品的進(jìn)價(jià)是_元 3某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬(wàn)元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī),已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī),出廠價(jià)分別為:甲種每臺(tái)1500元,

11、乙種每臺(tái)2100元,丙種每臺(tái)2500元 (1)某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái),用去9萬(wàn)元,請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)進(jìn)貨方案;(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲種電視機(jī)可獲利150元,銷售一臺(tái)乙種電視機(jī)可獲利200元,銷售一臺(tái)丙種電視機(jī)可獲利250元,在同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)電視機(jī)的方案中,為使銷售的獲利最多,你選擇哪種進(jìn)貨方案? 4某校組織360名師生去參觀三峽工程建設(shè),如果租用甲種客車若干輛剛好坐滿;如果租用乙種客車可少租1輛且余40個(gè)空位 (1)已知甲種客車比乙種客車少20個(gè)座位,求甲、乙兩種客車各有多少個(gè)座位?(2)已知甲種客車租金是每輛400元,乙種客車租金是每輛480元,這次參觀同時(shí)租用這兩

12、種客車,其中甲種客車比乙種客車少租1輛,所用租金比單獨(dú)租用任何一種客車要節(jié)省,按這種方案需用租金多少元? 5如圖,有長(zhǎng)為24m的籬笆,一面利用墻(墻的最大長(zhǎng)度為10m),圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃,設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm2 (1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)如果要圍成面積為45m2的花圃,AB長(zhǎng)應(yīng)為多少m? (3)能圍面積比45m2更大的花圃嗎?如果能,請(qǐng)求出最大的面積,并說(shuō)明圍法;如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由答案:中考樣題訓(xùn)練1D 2D 3 436 5 6解略7(1)未租出的設(shè)備為套,所有未租出設(shè)備的支出費(fèi)用為(2x-540)元; (2)y=(40-)x-(2x-540)=-x2+6

13、5x+540, y=-x2+65x+540 (說(shuō)明:此處不要求寫出x的取值范圍) (3)當(dāng)月租金為300元時(shí),租賃公司的月收益為11040元,此時(shí)租出設(shè)備37套; 當(dāng)月租金為350元,租賃公司的月收益為11040元,此時(shí)租出設(shè)備32套 因?yàn)槌鲎?7套和32套設(shè)備獲得同樣的收益,如果考慮減少設(shè)備的磨損,應(yīng)該選擇出租32套;如果考慮市場(chǎng)的占有率,應(yīng)該選擇出租37套; (4)y=-x2+65x+540=y-(x2-2×325x+3252)+540+×3252 =-(x-3252)+11102.5 當(dāng)x=325時(shí),y有最大值11102.5,但是,當(dāng)月租金為325元時(shí),租出設(shè)備套數(shù)為

14、34.5,而34.5不是整數(shù),故租出設(shè)備應(yīng)為34(套)或35(套),即當(dāng)月租金為330元(租出34套)或月租金為320元(租出35套)時(shí),租賃公司的月收益最大,最大月收益均為11100元考前熱身訓(xùn)練1(A) 21000元3(1)分情況計(jì)算比較設(shè)購(gòu)甲種電視機(jī)x臺(tái),乙種電視機(jī)y臺(tái),則 解之得x=25,y=25 設(shè)甲種電視機(jī)購(gòu)x臺(tái),丙種電視機(jī)購(gòu)z臺(tái),則 解得x=35,z=15 設(shè)購(gòu)乙種電視機(jī)y臺(tái),丙種電視機(jī)z臺(tái),則 解之得y=87.5,z=-37.5(舍去) 故應(yīng)選、方案 (2)當(dāng)購(gòu)甲種25臺(tái),乙種25臺(tái)時(shí),獲得:150×25+200×25=8750元; 當(dāng)購(gòu)甲種35臺(tái),丙種15

15、臺(tái)時(shí),獲利:150×35+250×15=9000元 故應(yīng)選第種方案4(1)設(shè)甲種客車有x個(gè)座位,則乙種客車有(x+20)個(gè)座位,依題意, +1 解之得x1=60,x2=-120(舍) (2)設(shè)租用甲種客車y輛,則租用乙種客車(y+1)輛,由于單獨(dú)租用甲種客車需6輛,單獨(dú)租用乙種客車需5輛,租金都是2400元,所以得 400y+480(y+1)<2400, y<,y=1或2 當(dāng)y=1時(shí),y+1=2,則60×1+80×2=220<360(舍) 當(dāng)y=1時(shí),y+1=3,則60×2+80×3=360 此時(shí),租金為400×2+480×3=2240(元)5(1)設(shè)寬AB為x米,則BC為

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