高數(shù)積分總結(jié)

1、高數(shù)積分總結(jié)一、不定積分1、不定積分的概念也性質(zhì)定義 1：如果在區(qū)間I 上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為 f(x) ，即對(duì)任一 xI , 都有F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù) F(x) 就稱為 f(x)(或 f(x)dx)在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。定義 2：在區(qū)間 I 上，函數(shù) f （x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f （x）（或者 f(x)dx ）在區(qū)間 I 上的不定積分，記作f ( x) dx 。性質(zhì) 1：設(shè)函數(shù) f(x) 及 g(x) 的原函數(shù)存在，則 f ( x)g( x) dxf ( x)dxg( x)dx 。性質(zhì) 2：設(shè)函數(shù) f(x) 的原函數(shù)存在， k 為非

2、零常數(shù)，則kf (x)dxkf (x)dx 。2、換元積分法(1) 第一類換元法：定理 1：設(shè) f(u) 具有原函數(shù)，(x) 可導(dǎo)，則有換元公式f (x) ' (x)dxf ()d ( x) 。例：求2 cos2xdx解2 cos2 xdxcos2x2dxcos 2x(2x)' dxcosd將2x 代入，既得2 cos2xdxsin 2xC(2) 第二類換元法：定理 2：設(shè) x(t) 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且' (t ) 0. 又設(shè)f (t) '(t) 具有原函數(shù)，則有換元公式f (x)dxf (t) '(t )dtt1 ( x) ,其中1 ( x)

3、是 x(t ) 的反函數(shù)。例：求dx(a 0)x2a2解 1tan2 tsec2 t ，設(shè) xtan t2t，那么2x2a2a2a2 tan2 ta1 tan2 ta sect, dx asec2 tdt ，于是dxa sec2 t dtsectdtx2a2a sectdxln secttan tCx2a 2 sectx2a2tan t0a，且 sectdxa2ln xx2a2C ln( xx2a2 )C1 ，C1 C ln ax2aa3、分部積分法定義：設(shè)函數(shù)( x) 及( x) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為'''移項(xiàng)得'()''

4、;對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得' dx' dx此公式為分部積分公式。例：求x cos xdx解x cos xdxx sin xsin xdx x cos xdxx sin xcos xC分部積分的順序：反對(duì)冪三指。4、有理函數(shù)的積分x1dx例：求x25x6解 x25x6( x3)( x2) ，故設(shè)x1ABx25x6x3 x2其中 A,B 為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得即x1A(x2)B( x3)x1( AB) x2A3B比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有AB12A3B1從而解得A4,B 3于是x143x2dxx 3dx 4 ln x 3 3ln x 2 C5x 6x 2其他有些函

5、數(shù)可以化做有理函數(shù)。5、積分表的查詢二、定積分1、定積分的定義和性質(zhì)（ 1）定義：設(shè)函數(shù) f (x) 在 a,b 上有界，在 a, b 中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a x0x1x2xn 1xnb把區(qū)間 a, b 分成 n 個(gè)小區(qū)間x0 , x1 , x1, x2 , , xn 1 , xn各個(gè)小區(qū)間的長度依次為x1x1x0 , x2x2x1 , , xnxnxn 1在每個(gè)小區(qū)間 xi 1, xi上任取一點(diǎn)ixi 1ixi，作函數(shù)值 f ( i )與小區(qū)間長度x 的乘積 f (i ) xii1,2, n ，并作出和inSf (i ) xii 1記max x1 , x2 , , xn ，如果不論對(duì) a,

6、b 怎么劃分，也不論在小區(qū)間 xi 1, xi 上點(diǎn)i 怎么選取，只要當(dāng)0 時(shí)，和 S 總趨于確定的極限 I ，那么稱這個(gè)極限 I為函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上的定積分b( 簡稱積分 ) ，記作f (x)dx ，即abnf ( x)dx Ilimf ( i ) xia0i 1其中 f (x) 叫做被積函數(shù)， f ( x)dx 叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a,b 叫做積分區(qū)間。定理 1：設(shè) f (x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 在 a, b 上可積。定理 2：設(shè) f ( x) 在區(qū)間 a, b 上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，

7、 則 f ( x) 在 a, b 上可積。bbb（2）性質(zhì) 1： af (x)g( x) dxaf ( x)dxa g( x)dxbkf ( x)dx kb性質(zhì) 2：af ( x)dx(k是常數(shù) )a性質(zhì) 3：設(shè) a cb ，則bcbf ( x)dxf ( x)dxf ( x) dxaac性質(zhì) 4：如果在區(qū)間 a, b 上 f ( x)1 ，則bbdxba1dxaa性質(zhì) 5：如果在區(qū)間 a, b 上， f (x)0 ，則b0 abf ( x)dxa推論 1：如果在區(qū)間 a, b 上， f (x)g( x) ，則bf (x)dxbg( x)dx a baabbf (x) dx(ab)推論 2：f

8、 ( x)dxaa性質(zhì) 6：設(shè) M及 m分別是函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b 上的最大值和最小值，則m(ba)bM (b a)(ab)f ( x) dxa性質(zhì) 7( 定積分中值定理 ) ：如果函數(shù) f (x) 在積分區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在 a,b 上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立bf ( )(b a)(ab)f ( x)dxa2、微積分基本公式(1) 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理 1：如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)xf (t)dtxa在 a, b 上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)dxf (x)(a xb)'( x)f (t )dtdx a定理 2：如果函數(shù) f (x

9、) 在區(qū)間 a, b上連續(xù)，則函數(shù)xf (t )dt( x)a就是 f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的一個(gè)原函數(shù)。(2) 牛頓 - 萊布尼茨公式定理 3：如果函數(shù) F ( x) 是連續(xù)函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的一個(gè)原函數(shù)，則bf ( x)dxF (b)F (a)a3、定積分的換元法和分部積分法(1) 定積分的換元法定理： 假設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，函數(shù) x=(t) 滿足條件 :( )=a, ( )=b;(t) 在 , 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域R =a,b,則有bf (t)'f (x)dx(t )dta(1)公式 (1) 叫做定積分的換元公式(2)

10、定積分的分部積分法依據(jù)不定積分的分部積分法，可得b'aba u vdxuvba vdu三、反常積分（一）無窮限的反常積分定義 1 設(shè)函數(shù)法 f(x) 在區(qū)間 a,) 上連續(xù)，取 t>a, 如果極限limtf ( x)dxat存在，則稱此極限為函數(shù) f(x)在無窮區(qū)間 a,) 上的反常積分，即taf (x)dxlim af ( x)dxt（二）無界函數(shù)的反常積分定義 2 設(shè)函數(shù) f(x) 在(a,b 上連續(xù)，點(diǎn) a 為 f(x) 的丅點(diǎn)。取 t>a, 如果極限blim t f (x)dxt a存在，則稱此極限為函數(shù)f(x) 在(a,b 上的反常積分，仍然記作ba f (x)d

11、x ，即blimbf ( x)dxf (x)dxta=ta例題1dx討論反常積分2的收斂性。1 x12解：被積函數(shù) f （x）= x 在積分區(qū)間 -1,1上除 x=0 外連續(xù)，且limx012x由于0dx112lim ()1xx 0x0dx1dx1212即反常積分x 發(fā)散，所以反常積分x 發(fā)散bf xdx 的積分區(qū)間 a，b 是有限區(qū)間，又 fx 在 a，b 上定積分 a是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間或fx 推廣到無界函數(shù)， 就是兩種不同類型的反常積分：1. 無窮區(qū)間上的反常積分（ 1）概念fxdxlimb定義：f x dxaba若極限存在，則稱反常積分afx dx是收斂的，它的值就是極

12、限值；若極限不存在，則稱反常積分af x dx 是發(fā)散的，而發(fā)散的反常積分沒有值的概念 .blimbx dxf x dxfaa同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念.fcf xdxf x dxx dxclimclimbx dxf x dxfaabc同樣有收斂和發(fā)散的概念， 收斂的反常積分有值的概念，值得注limRx dx意：判斷ff x dx 的收斂性不能用 RR的極限存在性 . 必須cfx dx 和 cfx dx 兩個(gè)反常積分都收斂，才能知道f x dx要求是收斂的，但是如果已經(jīng)知道f x dx 是收斂的，而求它的值，那limRxdxf是可以的 .么計(jì)算 RR（ 2）常用公式dx1

13、, p收斂，p11xp1p發(fā)散，1dx1, p收斂，du1ex(ln x) p1u pp1p發(fā)散，1收斂 ( 0）axk e xdx發(fā)散 (0）0），( k2. 無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）（ 1）概念：設(shè) f xlimf x在 a， b) 內(nèi)連續(xù)，且 x b，則稱 b 為 f x 的瑕點(diǎn)，blimbf x dxf x dx定義 aoabfx dx 收斂，且它的值就是極限值 .若極限存在，則稱反常積分ab若極限不存在，則稱反常積分的概念 .afx dx 發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒有值設(shè) f xlim fx在 (a， b 內(nèi)連續(xù)，且 x a，則稱 a 為 f x 的瑕點(diǎn)，bx dx limbff x

14、 dx定義 a0ab若極限存在，則稱反常積分afx dx 收斂，且它的值就是極限值，bx dx若極限不存在，則稱反常積分f發(fā)散，它沒有值 .a設(shè) f xlimf x，則稱 c 為 f x在 a， c) 和 (c， b 皆連續(xù)，且 x C的瑕點(diǎn)，定義bcblimC 1limbf x dxfx dxf x dxf x dxf x dxaac1 0a20C 2( 值得注意：這里判別收斂性時(shí)，1 和2 要獨(dú)立地取極限，不能都用0 來代替)bf x dx若上面兩個(gè)極限都存在時(shí)才稱反常積分a是收斂的，否則bf x dx 發(fā)散 .反常積分 a1 dx 收斂 ( q1時(shí)）（ 2）常用公式： 0 xq 發(fā)散 (

15、 q 1時(shí)）1dx1dx（0q1xq類似地考慮）x 1和最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運(yùn)算法則和極限的運(yùn)算法則就可以得到反常積分的運(yùn)算法則.( 乙) 典型例題一、用常規(guī)方法計(jì)算定積分【例 1】求下列定積分（ 1）（ 3）22 cosxdx3x（2）x arctanxdx00ln 2ex1dx022=22d sin x x2222解（1）xcos xdx0xsin x 0x sin xdx0022xd cosx222cosxdx02x cosx 00242sin x 04313arctan xdx2x2313x22 dxx arctan xdxarctan x 0（

16、2） 02 022 0 1 x31arctan 3 223 101 1 x2 dx13arctan x 033123 22222 332（ 3）令 ex1 t, x ln t 21dx2tdt , x0時(shí) t0 ； xln 2 時(shí)， t 1t2 1ln 2x12t 211于是0e1dx0 t 2 1dt2011t 2 dt2 t12 1arctant 04【例 2】計(jì)算下列定積分（分段函數(shù)）1eln x dx3x dx（1）x211（2） e3dx（3）min 1,x2210x213x dx 3解（1）x23x dx3x dxx2110e1e1 ln x dx1 ln x dxln xdx（

17、2） ee1x ln x x 1x ln x x2 1 11ee1e（ 3）min 1, x2dxdxx2dx3dx 1131122113二、用特殊方法計(jì)算定積分【例 1】計(jì)算下列定積分I2f (sin x)dx（ 1）0f (sin x)f (cos x)（ f 為連續(xù)函數(shù)，f (sin x) f (cos x) 0 ）（2）I4 ln(1 tan x)dx0解x =p -t（1）令2，則I2f (cost)dt,2I2 dt,If (sin t )20 f (cost )04x =p - t，則（ 2）令4Iln 11tantd (t)4 ln2dt041tan t01tan tln 2I

18、 , 2Iln 2, Iln 2448滿足 f xee【例 2】設(shè)連續(xù)函數(shù) fxln x1fx dx ，求 1f x dxefx dx A ，則 fxln x A ，解令 1兩邊從 1 到 e 進(jìn)行積分，得eeee1f x dx1ln xdx1Adx( xln x x) 1A(e 1)于是則Ae(e1)A(e1),eA1, Ae1f x dx1e1e三、遞推公式形式的定積分I n2nxdx n，【例 1】設(shè)sin01 20求證當(dāng) n2 時(shí)，I nn1 I n 2n求 I n解（1）I n2 sinn1 xdcosxsinn 1 x cosx 22 cos xd sinn 1 x000n12 c

19、os2 xsin n 2 xdx n 12 1sin2 x sin n 2 xdx00n1I n2n1 I nnI nn 1 I n 2 ，則 I nn n 1 I n 2 n 2I 02， I 12sin xdx1dx20（ 2）0當(dāng) n2k ，正偶數(shù)時(shí)，I nI 2k2k 1 I 2k 22k 1 2k 3 1 I02k2k2k222k!2k!2k k!2222k22k !當(dāng) n2k1 ，正奇數(shù)時(shí)，2k2k2k22I nI 2k 12k 1 I 2 k 12k 1 2k 13 I1222k k!22 kk !2k1 !2k1 !Jn2n，J n I n n 01，2，【例 2】設(shè)0cos

20、xdx n01 2，求證：0xt，Jncosnt dt2 sinn tdt證令2220則Jn I nn 0，1， 2，K n42 nxdxn，2，3，【例 3】設(shè)0tan1K n1K n1求證：2n1求 K nn1，2，3，K n42 n1x sec2 x1 dx解（ 1）0tan4K ntan2 n 1 xd tan x101K n 12n1（ 2）K14 tan2xdx4sec2x 1 dx00tan xx4104 ，K 211，K311135344當(dāng) n3 ，正整數(shù)時(shí)nnn 1Kn1114k 2k112k1四、重積分（一）二重積分的性質(zhì)與概念定義：設(shè) D是錯(cuò)誤！未找到引用源。 面上的有界

21、閉區(qū)域， 錯(cuò)誤！未找到引用源。在 D上有界，將區(qū)域 D任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。 既表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個(gè)小區(qū)域 錯(cuò)誤！未找到引用源。上任意取一點(diǎn) 錯(cuò)誤！未找到引用源。，作 n 個(gè)乘積錯(cuò)誤！未找到引用源。，然后作和式記錯(cuò)誤！未找到引用源。，如當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，以上和式有確定的極限，則稱該極限為 錯(cuò)誤！未找到引用源。 在區(qū)域 D上的二重積分，記作 錯(cuò)誤！未找到引用源。 或錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，即其中錯(cuò)誤！未找到引用源。 稱為被積函數(shù)， 錯(cuò)誤！未找到引用源。 稱為被積表達(dá)式， 錯(cuò)誤！未找到引用源。 稱為面積元素， 錯(cuò)誤

22、！未找到引用源。稱為積分變量， D稱為積分區(qū)域， 錯(cuò)誤！未找到引用源。 稱為積分和式幾何意義當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。 等于以區(qū)域 D 為底，曲面 錯(cuò)誤！未找到引用源。 為頂?shù)那斨w體積；當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。 等于以上所說的曲頂柱體體積的相反數(shù)；當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。 等于區(qū)域 D 的面積。1. 二重積分的性質(zhì)存在性：若 錯(cuò)誤！未找到引用源。在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，則 錯(cuò)誤！未找到引用源。 存在線性性質(zhì)：區(qū)域可加性設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。 與錯(cuò)誤！未找到引用源。 只在它們

23、的邊界上相交，則：有序性若在區(qū)域 D上錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：特殊地，有估值不等式設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。在區(qū)域 D上有最大值 M，最小值 m，錯(cuò)誤！未找到引用源。 是 D的面積，則有：積分中值定理設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。 在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。 是 D 的面積，則至少存在一點(diǎn) 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，使錯(cuò)誤！未找到引用源。例 1 試用二重積分表示極限 錯(cuò)誤！未找到引用源。.解：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.例 2 估計(jì)錯(cuò)誤！未找到引用源。 的值，其中 錯(cuò)誤！未找到引用源。解：因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，積分區(qū)域 錯(cuò)誤！未找到引用源。，在D 上錯(cuò)誤！未找到引

24、用源。 的最大值 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，最小值錯(cuò)誤！未找到引用源。，故 :（二）二重積分的計(jì)算（一）直角坐標(biāo)系X型區(qū)域?qū)^(qū)域 D 投影到 x 軸上，投影區(qū)間為 錯(cuò)誤！未找到引用源。，D 的邊界上下兩條曲線 錯(cuò)誤！未找到引用源。，則 D表示為：y 型區(qū)域?qū)^(qū)域 D 投影到 y 軸上，投影區(qū)間為 錯(cuò)誤！未找到引用源。，D 的邊界上下兩條曲線 錯(cuò)誤！未找到引用源。，則 D表示為：例 1 計(jì)算，其中 D 是由直線 錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的閉區(qū)域。解：（三）二重積分的計(jì)算（二）極坐標(biāo)系極點(diǎn)在 D外，則 D:極點(diǎn)在 D的邊界上，則 D:極點(diǎn)在 D內(nèi)：例 1 計(jì)算錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中 D為由圓錯(cuò)

25、誤！未找到引用源。及直線錯(cuò)誤！未找到引用源。所圍成的平面閉區(qū)域解：因?yàn)樗晕?、曲面和曲線積分（一）對(duì)弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）1、定義nnf ( x, y)ds limf ( i , i ) si ，f (x, y, z)dslimf ( i ,i , i ) siL0i 10i12、物理意義 線密度為 (x, y) 的曲線 L 質(zhì)量為M(,)x y dsL線密度為 f (x, y, z) 的曲線質(zhì)量為 Mf ( x, y, z)ds3、幾何意義 曲線 L 的弧長 sds ，曲線的弧長 sdsL4、若 L ： f (x, y)k （常數(shù)），則f (x, y)dskdskdsksLLL

26、5、計(jì)算（上限大于下限 ）（1）L : x(t) , y(t),t，則f ( x, y)dsf(t), (t)(t) 2(t ) 2 dtLX（2）L ： y(x)(x0xX ) ，則f (x, y) dsf ,x ( ) x1( ) 2 x dxLx0（3）L ： x( y)( y0y Y) ，則f (x, y) dsY( ),y y12Lf( ) y. dyy0（4） : x(t ), y(t ),z(t).(t)，則f ( x, y, z)dsf (t),(t),(t )2 (t)2 (t )2 (t )dt()( 二) 、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、定義(,)( ,)dynP(i,i) xiQ

27、( i, i)yilimLP xy dxQ x y01iP( x, y, z)dxQ(x, y, z) dyR(x, y, z)dznlimP( i ,i,i) xiQ(i ,i , i ) yiR(i,i,i )zi0 i12、計(jì)算（下限對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn) ）（1） L : x(t) , y(t) , t:，則P( x, y)dx Q( x, y)dy P(t),(t ) (t )Q(t),(t ) (t ) dtL（2）L：y( x)t : x0X，則PdxQdyb P xxQ ,xx(xdx)aL（3）L：x( y)t : y0Y，則PdxQdyd Py yy (Qy)ydy,cL（

28、4） : x(t ), y(t),z(t). (t :)，則P( x, y, z)dxQ (x, y, z)dyR( x, y, z)dz P(t ),(t),(t)(t ) Q (t ), (t),(t )(t )R(t ), (t),(t)(t) dt3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系LPdx Qdy( P cosQ cos)dsL其中， ( x, y),(x, y) 為有向曲線弧 L 上點(diǎn) ( x,y) 處的切線向量的方向角。PdxQdyRdz( P cosQ cosR cos ) ds ，其中( x, y, z),(x, y , z),為有向曲線弧上點(diǎn)( x, y, z)處切向量的(x ,y , z)方向角。( 三) 、格林公式及其應(yīng)用1、格林公式個(gè)邊界曲線(QP )dxdy