探索勾股定理教學(xué)案例

1、課題：18.1探索勾股定理教材分析：勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解直角三角形的主要根據(jù)之一，在實(shí)際生活中用途很大。教材注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和分析問(wèn)題的能力，通過(guò)實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng)，使學(xué)生獲得較為直觀的印象；通過(guò)聯(lián)系和比較，理解勾股定理，以利于正確的進(jìn)行運(yùn)用。學(xué)情分析：八年級(jí)的學(xué)生思維比較活躍，在平時(shí)自主學(xué)習(xí)、合作探究能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，具有了一定的歸納、總結(jié)能力及合作意識(shí)；他們有參與實(shí)際問(wèn)題活動(dòng)的積極性，但技能和方法有待提高。八年級(jí)學(xué)生能獨(dú)立思考，函有強(qiáng)烈的探究愿望，凢并能

2、在探索的過(guò)程中形成自己的觀點(diǎn)，凧能在交流意見(jiàn)的過(guò)程中逐漸完善自己的觀點(diǎn)。湊故本課設(shè)計(jì)遵循“構(gòu)建主義”的學(xué)習(xí)理念，凹以學(xué)生為中心，凈強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對(duì)所學(xué)知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)。教學(xué)目標(biāo)： 1讓學(xué)生在經(jīng)歷探索定理的過(guò)程中，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容及存在條件；2介紹勾股定理的幾個(gè)著名證法及相關(guān)史料；3使學(xué)生能對(duì)勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想：在勾股定理的探索過(guò)程中,發(fā)展合情推理能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.問(wèn)題解決：1. 通過(guò)拼圖活動(dòng),體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,發(fā)展形象思維.2. 在探究活動(dòng)中,學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過(guò)程和探究的結(jié)果.情感態(tài)度和價(jià)值觀

3、：1、通過(guò)勾股定理產(chǎn)生、證明及其歷史背景的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解“空間與圖形”有著豐富的歷史淵源，了解我們祖先的智慧，增強(qiáng)民族自豪感，感受數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)發(fā)展的推動(dòng)作用。2、在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)的探索精神。教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的探索過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的證明與準(zhǔn)確的應(yīng)用教具學(xué)具：多媒體平臺(tái)，學(xué)生自制全等直角三角形，教師用三角板CBA教學(xué)方法與教學(xué)手段：自主探究、合作交流教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣師：觀察下列圖片，它們都與什么圖形有關(guān)？生：（齊答）直角三角形，正方形！師：這三幅圖分別是一張希臘為紀(jì)念一個(gè)重要數(shù)學(xué)定理而發(fā)行的郵票、華羅庚教授建議向外太空發(fā)射與外

4、星人聯(lián)系的圖案、2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)弦圖，它們都可以證明一個(gè)重要定理！大家想知道是哪個(gè)定理嗎？生：想！師：好！下面老師和大家一起來(lái)探索這個(gè)定理！設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，自然引出本節(jié)課的課題。（二）用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題（畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)）師：相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂(lè)，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來(lái)。原來(lái)，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方。師：同學(xué)們，請(qǐng)你也來(lái)觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？生1：由等腰直角三角

5、形、正方形師：原來(lái)啊，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了嗎？探究活動(dòng)1（2）你能找出圖中三個(gè)正方形面積生2：兩個(gè)紅顏色的正方形的面積之和等于藍(lán)顏色的正方形的面積。師：你能說(shuō)說(shuō)理由嗎？生2：如果一個(gè)小的等腰直角三角形的面積為1，那么兩個(gè)小正方形的面積和大正方形的面積都等于4.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)講傳說(shuō)故事來(lái)進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺(jué)中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài)，“問(wèn)題是思維的起點(diǎn)”，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知。（三）深入探究，交流歸納探究活動(dòng)2ABCBAC問(wèn)題1：設(shè)每個(gè)小正方形的面積為1，分別計(jì)算下列圖形中正方形A、B、C的面積，它們之間都有上述關(guān)系嗎？生3：在算出面積

6、之后，肯定地說(shuō)有SA+SB=Sc問(wèn)題2：你能用等腰直角三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？由此猜想等腰直角三角形三邊有怎樣的關(guān)系？生4：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)正方形的面積都等于直角三角形邊長(zhǎng)的平方，若一個(gè)等腰直角三角形的兩條直角邊為a，斜邊為c，則有a2+a2=c2a2 +a2 =c2等腰直角三角形教師板書：師：在等腰直角三角形中，這個(gè)結(jié)論是成立的，那么這個(gè)結(jié)論對(duì)于個(gè)更一般的三角形是否成立呢？ABC生：（不加思索）成立！師：比等腰直角三角形更一般的三角形是什么三角形？生5：等腰三角形、直角三角形生6：還有普通三角形師：好！我們先來(lái)研究等腰三角形！以等腰三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，三個(gè)正方形之間滿足剛才的關(guān)系

7、嗎？生7：在網(wǎng)格中作出等腰三角形，并向外作正方形，很明顯A、B、C三者之間沒(méi)有任何關(guān)系！因此等腰三角形的三邊沒(méi)有特殊關(guān)系！師：很好！生8：其實(shí)不在網(wǎng)格，也可以說(shuō)明！等腰ADB和等腰ACB有公共的底邊AB，以AC、CB為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和與以AD、BD為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和不相等。所以等腰三角形的三邊沒(méi)有特殊關(guān)系?。▽W(xué)生報(bào)以熱烈的掌聲）師：很好，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我們還可以借助多媒體來(lái)驗(yàn)證?。ń處熝菔編缀萎嫲澹┙柚鷰缀萎嫲逯庇^演示，得出結(jié)論：一般的等腰三角形中三邊不具有特殊的關(guān)系！當(dāng)然普通三角形三邊也不具有特殊的關(guān)系！師：下面我們來(lái)研究直角三角形探究活動(dòng)3做一做：?jiǎn)栴}3：請(qǐng)求圖中正

8、方形A、B、C的面積，看看能得出什么結(jié)論？師：在這里正方形A、B的面積很容易求出，正方形C的面積怎么求呢？生9：可以用這樣的方法：用大正方形的面積減去四個(gè)小直角三角形的面積，面積等于25。生10：可以將其分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，面積等于25。AB CCACCBBAC生11：還可以將其分割拼成如圖所示的圖形，面積等于25。生12：還可以這樣拼！ACCB AB CC師：他們的做法都是正確的，一個(gè)用了“補(bǔ)”的方法，一個(gè)用了“割”的方法。在這個(gè)圖形中有SA+SB=SC問(wèn)題4：下圖中的正方形之間也有這個(gè)結(jié)論嗎？生13：有！問(wèn)題5：如果用a、b、c分別表示三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，三者之間的面積

9、關(guān)系如何表示？由三個(gè)正方形所搭成的直角三角形三邊存在怎樣的關(guān)系？生14：在直角三角形中，兩直角邊a、b與斜邊c有a2+b2=c2教師板書：a2 +b2 =c2直角三角形（直角邊長(zhǎng)為“整數(shù)”）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓探索過(guò)程由淺入深，循序漸進(jìn)。經(jīng)歷觀察、猜想、歸納這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。探索面積證法的多樣性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的靈活性，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和歸納概括能力。探究活動(dòng)4問(wèn)題6：假如直角三角形的邊長(zhǎng)為“小數(shù)”呢？這個(gè)結(jié)論還成立嗎？在網(wǎng)格紙上畫出直角邊長(zhǎng)分別為1.6個(gè)單位長(zhǎng)度和2.4個(gè)單位長(zhǎng)度的直角三角形，上面所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。生15：這個(gè)可能要借助

10、計(jì)算機(jī)了！（大家笑）生16：其實(shí)當(dāng)直角邊是“小數(shù)”的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)換成“整數(shù)”，可以細(xì)化網(wǎng)格，使網(wǎng)格的一個(gè)單位是兩條直角邊的“公約數(shù)”！師：你能跟大家講講你是怎么想到的嗎？生16：因?yàn)閮蓷l直角邊是整數(shù)3、4時(shí)，我量了它也不是實(shí)際長(zhǎng)度，只不夠取了它們的比值而已！而網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度是它們實(shí)際長(zhǎng)度的“約數(shù)”。生17：對(duì)！剛才3、4、5是一個(gè)直角三角形的三邊，那它們長(zhǎng)度的2倍也應(yīng)該能畫出直角三角形！師：你們說(shuō)的太好了！這可以我們后面要探索的問(wèn)題！下面我用幾何畫板來(lái)演示給大家看看！剛才這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的直角三角形都是成立的?。ㄍ蟿?dòng)點(diǎn)B，改變直角三角形ABC的各邊長(zhǎng)度，觀察三個(gè)正方形的面積的關(guān)系）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)

11、上述兩種探究活動(dòng)，學(xué)生已初步探究出直角邊為整數(shù)的直角三角形三邊關(guān)系。設(shè)計(jì)讓學(xué)生動(dòng)手畫直角邊是小數(shù)的情形，將探究活動(dòng)進(jìn)一步深化，從而擴(kuò)展到更一般的情況。使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探究由特殊到一般，再到更一般過(guò)程。利用幾何畫板的高效性、動(dòng)態(tài)性反映這一過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到更多的特殊情形，從而為歸納提供基礎(chǔ)，這樣歸納的結(jié)論更具有一般性，學(xué)生的印象也更深刻。acb板書：勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。a2+b2=c2a2+b2=c2（四）追溯歷史，激發(fā)情感 師：我國(guó)是最早了角勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那

12、么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中。 商 高 周髀算經(jīng) 畢達(dá)哥拉斯設(shè)計(jì)意圖：介紹有關(guān)勾股定理的歷史，使學(xué)生對(duì)中國(guó)乃至世界的數(shù)學(xué)史產(chǎn)生濃厚的興趣，為下一節(jié)的驗(yàn)證打好基礎(chǔ)。（五）實(shí)踐應(yīng)用，拓展提高 1求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值。81144xyz6255761441692求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度。8x171620x125x3有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生對(duì)知識(shí)的

13、理解程度有所差異，因此，習(xí)題的設(shè)置體現(xiàn)層次性。通過(guò)對(duì)勾股定理的基本應(yīng)用，讓學(xué)生知道1、已知直角三角形三邊中的任意兩邊，可以求第三邊。2、已知直角三角形三邊中的一邊及另兩邊的關(guān)系，可以求另兩邊。（六）回顧小結(jié)，整體感知通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲與感悟！設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的小結(jié)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過(guò)梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力。（七）布置作業(yè)，鞏固加深（1）課本第47頁(yè)第2題。（2）在網(wǎng)頁(yè)中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容，勾股定理的證明方法已經(jīng)有幾百種，請(qǐng)你結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)探索或從網(wǎng)上搜索證明勾股定理的其它方法。設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次

14、的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展。教學(xué)反思：1本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)采用“觀察猜想實(shí)驗(yàn)歸納驗(yàn)證應(yīng)用”的教學(xué)方法，這一流程體現(xiàn)了知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。從學(xué)生的原有認(rèn)知出發(fā)，揭示這節(jié)課產(chǎn)生的根源，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問(wèn)題的能力，使學(xué)生在相互討論、啟發(fā)中得到提高。2本節(jié)課始終體現(xiàn)“以學(xué)生為本”的教育理念，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家們探求新知的樂(lè)趣。在此過(guò)程中，探索定理采用面積法，引導(dǎo)學(xué)生