正多邊形的有關概念、正多邊形與圓的關系

1、第二十四章 圓觀察下列圖形，從這些圖形中找出相觀察下列圖形，從這些圖形中找出相應的正多邊形應的正多邊形.正正n 邊形：邊形：正三正三角形角形正方形正方形想一想想一想你知道正多邊形與圓的關系嗎？你知道正多邊形與圓的關系嗎？正多邊形和圓的關系非常密切正多邊形和圓的關系非常密切, ,只要把一個只要把一個圓圓分成分成相等相等的一些的一些弧弧, ,就可以作出這個圓的內接就可以作出這個圓的內接正多邊形正多邊形, ,這個圓就是這個正多邊形的這個圓就是這個正多邊形的外接圓外接圓. .探索新知探索新知ABCDEOABCDE如圖如圖, ,把把O分成分成相等的相等的5 5段弧段弧, ,依次連接依次連接各分點得到正五

2、邊形各分點得到正五邊形ABCDE. . AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABCDEO同理同理B=C=D=E.又又五邊形五邊形ABCDE的頂點都在的頂點都在 O上上, 五邊形五邊形ABCDE是是O的內接正五邊形的內接正五邊形, , O是五邊形是五邊形ABCDE的外接圓的外接圓. .我們以我們以圓內接正五邊形圓內接正五邊形為例證明為例證明. .AB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3AB正多邊形每一邊所對的正多邊形每一邊所對的圓心角圓心角叫叫做做正多邊形正多邊形的的中心角中心角（即（即AOB ）我們把一個正多邊形的我們把一個正多邊形的外接圓外接圓的的圓心圓心叫做這個叫做這個正多邊形正

3、多邊形的的中心中心（即（即點點O）外接圓外接圓的的半徑半徑叫做叫做正多邊形正多邊形的的半徑半徑（即即OA）中心到正多邊形的一邊的中心到正多邊形的一邊的距離距離叫做叫做正多邊形正多邊形的的邊心距邊心距（即（即OM）引入新知引入新知O中心角中心角半徑半徑R邊心距邊心距rABCDEFM正多邊形的外接圓正多邊形的外接圓 圓內接正多邊形圓內接正多邊形ABCDEFOO圓心角圓心角中心角中心角ABCDEFCDABMM半徑半徑R半徑半徑R圓心圓心中心中心弦心距弦心距r邊心距邊心距r弦弦邊邊外外接接圓圓O O圓圓內內接接正正多多邊邊形形圓心圓心O 中心中心O 半徑半徑OAOA（R R） 半徑半徑OAOA（R R

4、） 圓心角圓心角AOB 中心角中心角AOB 弦心距弦心距OM(r) 邊心距邊心距OM(r) 弦弦CD 邊邊CD ABEF.連接連接OC，由垂徑定理（運用圓的有關知識）得，由垂徑定理（運用圓的有關知識）得CDCM21nnCOM1803602121中心角.Rt222CMOMOCCOM中，有在 中心角一半 邊長一半 半徑R 邊心距r M C O603180336021213中心角時，當COMn454180436021214中心角時，當COMn306180636021216中心角時，當COMn 邊心距r 半徑R 60 O M C 邊心距r 半徑R 45 O M C 邊心距r 半徑R 30 M C O）

5、邊心距（）邊心距（面積，邊心距）（rnarLSraR2121222EFCD.n360中心角nBOGAOG180邊心距邊心距OG把把AOB分成分成2 2個個全等的直角三角形全等的直角三角形設正多邊形的邊長為設正多邊形的邊長為a, ,半徑為半徑為R, ,它的周長為它的周長為L=na. .Ra例例. . 有一個亭子有一個亭子, ,它的地基半徑為它的地基半徑為4 m4 m的正六邊形的正六邊形, ,求地基的周長和面積求地基的周長和面積( (精確到精確到0.1 m0.1 m2 2).).解解: 如圖由于如圖由于ABCDEF是正六邊形是正六邊形,所以它的中心所以它的中心角等于角等于 ，OBC是等邊三角形，從

6、而正是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑六邊形的邊長等于它的半徑.因此因此, ,亭子地基的周長亭子地基的周長l =46=24(m).OABCDEFRPr360606例題講解例題講解利用勾股定理利用勾股定理, ,可得可得邊心距邊心距22422 3.r 亭子地基的面積亭子地基的面積211242 341.6(m ).22Slr在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，例題講解例題講解OABCDEFRPr鞏固練習鞏固練習1 1正八邊形的每個內角是正八邊形的每個內角是_度度. .1352 2如圖，正六邊形如圖，正六邊形ABCDEF內接于內接于O，則，則CFD的度數是（的度數是（ ）

7、A. 60 60 B. 45 45 C. 30 30 D. 22.5 22.5C 3 3如果一個正多邊形繞它的中心旋轉如果一個正多邊形繞它的中心旋轉9090就與就與原來的圖形重合，那么這個正多邊形是（原來的圖形重合，那么這個正多邊形是（ ） A.正三角正三角形形 B.正方形正方形 C.正五邊形正五邊形 D.正六邊形正六邊形B 4 4已知正六邊形的邊心距為已知正六邊形的邊心距為 ，則它的，則它的周長是周長是_._. 3125 5如圖，正六邊形如圖，正六邊形ABCDEF的半徑為的半徑為2 2，以它，以它的中心的中心O為坐標原點，頂點為坐標原點，頂點B、E在在x軸上，求軸上，求正六邊形正六邊形ABC

8、DEF的各頂點的坐標的各頂點的坐標?O?F?E?D?C?B?A xyA（-1，?）3B（-2，0?）C（-1，?）3D（1，?）3E（2，0?）F（?1，?）36 6如圖，有一圓內接正八邊形如圖，有一圓內接正八邊形ABCDEFGH，若若ADE的面積為的面積為1010，則正八邊形，則正八邊形ABCDEFGH的面積為的面積為( ) ( ) A. 40 B .50 C. 60 D. 80 A. 40 B .50 C. 60 D. 80 BACDEFGHA7 7邊長為邊長為6 6的正三角形的半徑是的正三角形的半徑是_._.32?A?B?C?D?E?F?O8 8如圖，如圖，O的周長為的周長為 cm,cm,求以它的半求以它的半徑為邊長的正六邊形徑為邊長的正六邊形ABCDEF的面積的面積