勾股定理典型例題

1、例1如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是 6cm和8cm，那么這個(gè)三角形的周長 和面積分別是多少？思路與技巧這里知道了直角三角形的兩條邊的長度，應(yīng)用勾股定理可求出第三條 邊的長度，再求周長.但題中未指明已知的兩條邊是兩條直角邊還是一直角邊一斜邊， 因此要分兩種情況討論.解答分兩種情況：(1)當(dāng)兩條直角邊是6cm和8cm時(shí)，根據(jù)勾股定理得斜邊長=62 82 =10 cm所以周長=6 + 8+10 = 24(cm)126 8 = 24 cm面積 2(2)當(dāng)斜邊為8cm, 一直角邊為6cm(斜邊大于直角邊)時(shí)，根據(jù)勾股定理得另一直角邊=82 -62 =2 7 cm所以周長=6 8 2.7 =14 2.

2、7 cm=-2 7 6 =6 .7 cm2面積 2例2 如圖1911是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm,高為15cm, 問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長可以是多長？圖 ig-n思路與技巧 攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的 A1B> A2B，但 它們都不是最長的，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)攪拌棒的一個(gè)端點(diǎn)在B點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí) 最長，此時(shí)可以把線段 AB放在RtABC中，其中BC為底面直徑.解答 如圖19 11,當(dāng)攪拌棒在AB位置時(shí)最長，過B畫底面直徑BC,則在RtA ABC 中，AC = 15cm ,BC = 4X2 = 8cm根據(jù)勾股定理得AB = . AC2

3、BC2 = 152 82 = 17 cm所以可放的最長攪拌棒為17cm.例3已知直角三角形的一直角邊為9,另兩邊的長為整數(shù)，求三角形的周長.思路與技巧 根據(jù)勾股定理，知道直角三角形一直角邊可以得出斜邊和另一直角邊 之間的關(guān)系，再由這兩邊的長為整數(shù)可以推出兩邊的長，當(dāng)然這里不需要分別求出，只 要求出另兩邊的和就可以了.解答 設(shè)斜邊為c,另一直角邊為a,由勾股定理得c2-a2=92.即(c + a)(c a) = 81 .又因?yàn)閏、a為正整數(shù)，所以c + a, c a也是正整數(shù)，且c+a>ca.因?yàn)?81 =81 N = 27M所以 c + a = 81 或 c+a= 27(c a= 1 或

4、 c a = 3)所以 a + b + c = 81 +9 = 90 或 27 + 9 = 36.即三角形的周長為90或36.例4已知單位長度為“1”，畫一條線段，使它的長為、'29 .思路與技巧J29是無理數(shù)，用以前的方法不易準(zhǔn)確畫出表示長為J29的線段，但由勾股定理可知，兩直角邊分別為 5、2的直角三角形的斜邊長為J52'k=J29.解答 畫直角三角形 ABC,使CB=90° AC = 2（單位長度），BC = 5（單位長度）.則AB =，29 （單位長度）.如圖19 12.圖 19-12例5小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了lm,當(dāng)他把繩子

5、的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高.思路與技巧 由題意可知繩子比旗桿多l(xiāng)m,把下端拉開5m后，下端剛好接觸地面, 這時(shí)，旗桿AB、繩子AC、旗桿底點(diǎn)B與純接觸地面的點(diǎn)C所連結(jié)白線段BC構(gòu)成直 角三角形.如圖1913如果設(shè)旗桿AB=xm,則純長AC = （x+1）m.圖 19-13解答 設(shè)旗桿高為xm,則繩子長（x+1）m在RtzABC中，AB=x, AC=x + l, BC=5根據(jù)勾股定理得AC2 = AB2 BC2即 x r2 =x2 -52x =12m所以旗桿白高度為12m.例 6 如圖 1914,已知 CB = 9, AB = 17, AC =10, AD JBC 于 D

6、.求 AD 的長.圖 197 4思路與技巧 無論把AD放在直角4ADC還是在直角4ADB中，都不易直接利用勾 股定理計(jì)算AD,必須先求出CD的長才能解決問題，要求 CD的長，可設(shè)CD = x,設(shè) 法找到關(guān)于x的方程，通過解方程的方法求出未知的 CD長.題中的AD可作為“橋梁” 列出方程.解答 如圖19 14,設(shè)CD = x,在直角zADC中,AD2 - AC2 - CD2 =102 -x2在直角4ABD中， 22222AD2 = AB2 - BD2 =172 - 9 x所以 102 -x2 = 172 - 9 x2解x = 6所以 AD=、'102 -62 =8.例7如圖1915分別以

7、直角三角形的三邊為邊長向外作正三角形，試探索三個(gè)正三角形面積間的關(guān)系.思路與技巧 首先應(yīng)探索出正三角形的面積與正三角形的邊長之間的關(guān)系，然后可 設(shè)出一一:解答 設(shè)正三角形 DEF的邊長為 m,如圖19 16.過D作DH JEF于H,則EH =2 （三線合一）.在直角4DEH中,DHS.DEF2.即等邊三角形的面積等于. 34 邊長的平方.22圖 1916因此可設(shè)直角 ABC的三邊AB = c, AC = b, BC = a.3 2二 a、-I 4. 3 2、/3 2所以期一4 b、Sr_ 4 c又因?yàn)閍, b, c為直角三角形的三邊，故a2+b2=c2所以例8 如圖1917是一只長方形的火柴盒 ABCD ,把它推倒后到ABCD的位置,試用這一圖形的變化探索勾股定理的正確性.圖 19-17思路與技巧 火柴盒由ABCD的位置推倒后到ABCD'的位置，可以看做是長方形 ABCD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 0后到達(dá)ABCD'的，所以/CAC' = 90口，如圖19-17.解答 設(shè)火柴盒ABCD的兩邊長分別為a與b,對角線長為c,推倒后的火柴盒是 ABCD11 22abba a 2ab b一方面，直角梯形BCCD，的面