高中數(shù)學(xué)立體幾何真題試題大全

1、上海立體幾何高考試題匯總(01春)若有平面 與，且 l, ,P ,P l ,則下列命題中的假命題為()(A)過(guò)點(diǎn)P且垂直于的直線平行于.(B)過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的平面垂直于.(C)過(guò)點(diǎn)P且垂直于 的直線在 內(nèi).(D)過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線在 內(nèi).(01)已知a、b為兩條不同的直線，a、3為兩個(gè)不同的平面，且 a a , b，3,則下列命題中的假命題 是()DA.若 a / b,則 a / 3B.若 a 3 ,則a，bC.若a、b相交，貝U”、3相交D.若“、3相交，貝Ua、b相交(02春)下圖表示一個(gè)正方體表面的一種展開(kāi)圖，圖中四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有對(duì)。3(02)

2、若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2j3cm,體積為4cm3,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是 30(03春)關(guān)于直線a,b,l以及平面M, N ,下列命題中正確的是().(A)若2 M ,b/M，則 a/b(B)若 a/M,b a,則 b M(C)若 a M,b M ,且 la,lb,則 lM(D)若 a M ,a N ,則 M ND(03)在正四棱錐PABCD中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60 ,則異面直線PA與BC所成角的大小等于.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)arctg2(03)在下列條件中，可判斷平面a與3平行的是A . a、3都垂直于平面r.B. a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到3的距離相等.C.

3、l, m是a內(nèi)兩條直線，且1/ 3 , m / ,D. 1, m 是兩條異面直線，且 1 / a , m / a , 1 / 3 , m / 3. D(04春)如圖，在底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐 V-ABC中正是BC的中點(diǎn)，一口 1 E面積是1,則側(cè)棱VA與底面所成角的大小為 (結(jié)果用1表木)arctg 一4(04)在下列關(guān)于直線1、m與平面8 3的命題中，真命題是()(A)若 13且 a 8則 U a.(B)若 1，3且 all 8則 1，a.(C)若 1 3且 a 3,則 1 / a (D)若 a A =m 且 1 / m,則 1/ a. B(05春)已知直線1、m、n及平面 ，下列命題中的假

4、命題是(A)若 1m, mn,則 1n.(B)若 1, n若4VAE的反三角函數(shù)，則 1 n.(C)若 1 m, mn,則 1 n.(D)(05)有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為2,底面三角形的三a為3a、4a、5a(a0).用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱可能的情況中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的若 1 ，n ，WJ 1/n.D邊長(zhǎng)分別柱,在所有 取值范圍(06春)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則其體積為163(06文)若空間中有兩條直線,則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件 A(06理)若空

5、間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的答()A(A)充分非必要條件；(B)必要非充分條件；(C)充要條件；(D)非充分非必要條件.(07文)如圖，在直三棱柱 ABC AB1cl中，ACB 90AAi 2 , AC BC 1,則異面直線 AB與AC所成角的大小是 (結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).6 arccos6（07理）在平面上，兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種.已知，是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線li, I2在 上的射影是直線 Si, S2li, I2在上的射影是直線ti, t2 .用Si與S2, ti與t2的位置關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)總能確定ll與12是異面

6、直線的充分條件:. Si S2 ,并且tl與t2相交（tl t2 ,并且Si與S2相交）（0i春）用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖）為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米.（i）求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；（2）設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為 最大？求出V的最大值.（求解本題時(shí)，不計(jì)容器的厚度）解（i）設(shè)h為正四棱錐的斜高設(shè)容器的高由已知h2i4 ha 2, 2i 22-a h,4何值時(shí)，V解得ai,h2 i(h 0)(2) Viha2 3易得Vh 3(h2i一(h 0) i)因?yàn)閔 h2h hi等式當(dāng)且僅當(dāng)h ,即h i時(shí)取得。hi 、，故當(dāng)h i米時(shí)，V有最大值，V的

7、最大值為1立方米.6（0i 春）在長(zhǎng)方體 ABCD A把1clD1中，點(diǎn) E、F 分別 BB!、DD上，且 AE A,B, AF（1）求證：AiC 平面AEF ；（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等。試根據(jù)上述定理，在 AB 4, AD 3, AAi 5時(shí)，求平面AEF與平面DiRBD所成的角的大小。（用 反三角函數(shù)值表示）證（1）因?yàn)镃B 平面AB,所AC在平面AiB上的射影為 AiB由 AiB AE,AE 平面 AiB,得 AC AE ,同理可證AC AF因?yàn)?

8、AiC AF , AiC AE所以AiC 平面AEF解（2）過(guò)A作BD的垂線交CD于G ,因?yàn)镈iD AG ,所以AG 平面DiBiBD設(shè)AG與AC所成的角為 ，則 即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角.,，9由已知，計(jì)算得DG4如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn) A(0,0,0),9G(30),A(0,0,5),C(430),4一 9 一 一AG ,3,0, AC 4,3, 5,4因?yàn)锳G與A所成的角為所以cosAG A1C12,2| AG | | AiC |2512 2 arccos2512 2由定理知，平面 AEF與平面CEF所成角的大小為arccos一25(01)在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC

9、 OABC中,E、F分別是棱 AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且 AE=BF.(1)求證：AFXCE;(2)當(dāng)三棱錐BBEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B EF B的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)(1)利用空間直角坐標(biāo)系證明；（2）arctan2，平面OA= V3o（02春）如圖，三棱柱 OAB-O1A1B1,平面 OBBO1OAB, OQB=60 , ZAOB=90 ,且OB= O01=2 ,求：（1 ）二面角Ch AB O大小；(2 )異面直線A1 B與A Ch所成角的大小。(上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)解(1)取OB的中點(diǎn)D,連結(jié)OQ,則OQLOB。;平面OBBQ平面OAB,，OiD上平面OAB過(guò)D

10、作AB的垂線，垂足為E,連結(jié)OiE,則OiE，AB。丁./DE。為二面角Oi-AB-O的平面角。由題設(shè)得OQ=a3,.DE=DBsin/OBA=/7.在 RtOiDE 中，tg/DEQ = U, / DEO尸arctg 4.即二面角 Oi-AB-O 的大小為 arctg v7.(2)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB所在直線為x、y軸、過(guò)。點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則O (0, 0, 0), O1 (0, 1, v3), A (a3, 0, 0), Ai (v3, 1,，B (0, 2, 0)。設(shè)異面直線AiB與AOi所成角為的 (02)如圖，在直三棱柱 ABO ABO

11、中,中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB上的一點(diǎn)，若OP 大小。(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)解法一如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系由題意，有 B(3,0,0),D(-,2,4)2設(shè) P(3,0,z),則一 3 一BD 2,2,4, OP 3,0,z因?yàn)锽D OP9BD OP 4z 0OO 4, OA 4,OB 3, AOB 90 ,D是線段AB的AOB所成角的29 z8因?yàn)锽B平面AOBPOB是OP與底面AOB所成的角3tg POB 8r-3POB arctg -解法二取OB中點(diǎn)E,連結(jié)DE、BE,則DE 平面 OBBOBE是BD在平面OBBO內(nèi)的射影。又因?yàn)镺P BD由三垂線定理的逆定理，得 OP BEBP

12、BEOBBB，得BP在矩形 OBBO中，易得 Rt OBP Rt BBE/ BiDB=30(以下同解法一)(03春)已知三棱柱ABC AB1C1 ,在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，Am 、3m4 AB y, -,0, AC m,0,0, AA1 0,0, n.其中 m,n(1)證明：三棱柱 ABC AB1c1是正三棱柱；A(2)若m J2n ,求直線CAi與平面AiABBi所成角的大小7(03)已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，AiAL平面 ABCD, AB=4 , AD=2.若B1D，BC,直線 BQ與平面ABCD所成的角等于 30 ,求平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積.解連結(jié)BD

13、,因?yàn)锽iB,平面 ABCD, BiDXBC,所以BCXBD.在ABCD 中，BC=2, CD=4,所以 BD= 2V3 .又因?yàn)橹本€BiD與平面ABCD所成的角等于30 ,所以一 1, 于BB1=BD=2.,3故平行六面體 ABCDA1B1C1D1的體積為SabcdBBi= 843 .(04春)如圖，點(diǎn)P為斜三棱柱 ABC-A1B1C1的側(cè)棱BBi上一點(diǎn),PMBBi 交 AAi 于點(diǎn) M,PN，BBi 交 C。于點(diǎn) N.(1)求證：CCMN;(6分)(2)在任意 DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2 2DF EFcosZ DFE拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面

14、積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.(8分)證明:(1) , CC1/ BB1, .1.CCiXPM, CCPN,且 PM、PN 相交于點(diǎn) P, CC1L平面 PMN. MN 平面 PMN,CCi XMN.解：(2)在鋅三棱柱 ABC-AiBiCi中有c222SABB1A1 =S BCC1B1 +S ACC1A 2sBec舊 SACCiAi c0s a其中a為平面CCiBiB與平面CCiAiA所組成的二面角 CCi,平面 PMN, 平面CCiBiB與平面 CCiAiA所組成的二面角為 /MNP 在4PMN 中,PM2=PN2+MN 2 2PN MNcos Z MNP,PM2

15、CC2 = PN2CC2 + MN 2 CC； 2(PN CCi)(MN CCi) cos / MNP 由于 Sbcc1b1 = PN CCi, Sacc1a1 = MN CCi, Sabb1a1 =PM BBi 及 CCi=BBi,22 -i-Q 2_ OQQcco 則 SABB1A1 =S BCC1B1 +S ACC1Al2SBCC1B1 SACCiAi C0S a分別為x、y(單積 8cm2.問(wèn) x、y(04)某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng) 位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架?chē)傻目偯?分別為多少(精確到0.001m)時(shí)用料最??？【解】由題意得2d8 七。x

16、y+ x2=8,y= -= (0x4 72 ).4x x 4于定，框架用料長(zhǎng)度為l=2x+2y+2( x )=( + 2 2 )x+ 4 V 6 4V 2 . 22x當(dāng)(+ J2 )x= ,IP x=8 4虧2時(shí)等號(hào)成立.2x此時(shí),x一.343,y=2 72 N828.故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時(shí)，用料最省.P aZK C(05春)已知正三棱錐P ABC的體積為7243 ,側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60 .(1)證明：PA BC;(2)求底面中心O到側(cè)面的距離證明(1)取BC邊的中點(diǎn)D,連接AD、PD貝U AD BC , PD BC ,故 BCAPD.4分 PA解（2）如圖,

17、過(guò)點(diǎn)O作OE 面的距離.BC .由（i）可知平面 PBCPD, E為垂足，則OE就9分平面6分APD,則 PDA是側(cè)面與底面所成二面角的平面角是點(diǎn)O到側(cè)設(shè)OE為h,由題意可知點(diǎn) O在AD上,PDO 60OP 2h .2h3BC 4h ,ii分S ABC 72.33 4 3h28 3 32h h3,33.即底面中心O到側(cè)面的距離為3.（05文）已知長(zhǎng)方體 ABCD-A 1B1C1D1中，M、N分別是 的大小為60 ,求異面直線BiD與MN所成角的大小BBi和BC的中點(diǎn)，AB=4,AD=2.B iD與平面 ABCD所成角 .（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示 ）解聯(lián)結(jié)BC,由M、N分別是BB和BC的中點(diǎn)，得

18、BC/ MN, / DBiC就是異面直線 BiD與MN所成的角.聯(lián)結(jié)BD,在RtAABD中，可得BD=2 又BBL平面ABCD, / BDB是BiD與平面 ABCD所成的角,在 RtA BiBD 中，BiB=BDtan60 =2 45,又 DC，平面 BBiCiC, DCXBiC,在 RtA DBiC 中，tan / DBC=DCDCBiCBC2 BBi2/ DBiC=arctan .2即異面直線BiD與MN所成角的大小為 arctan .2（05 理）已知直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中，AAi=2 底面 ABCD 是直角梯形，/A 為直角,AB/ CD,AB=4,AD=2,DC=i

19、,.求異面直線BCi與DC所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示 ） 解由題意AB/ CD,，/ CiBA是異面直線 BCi與DC 所 的角 連結(jié)ACi與AC,在RtA ADC中，可得AC=又在RtA ACCi中，可彳導(dǎo)ACi=3.在梯形 ABCD中，過(guò)C作CH / AD交AB于H,得 / CHB=90 ,CH=2,HB=3, .CB=7i3又在RtA CBCi中，可得BCi= 17 ,*/3.17/3.17在 ABCi 中,cosZ CiBA= -,. / CiBA=arccos一一八 3.17異面直線BC1與DC所成角的大小為 arccos17另解:如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、

20、DD1所在 直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.則 C1（0,1,2）,B（2,4,0）,BC； =（-2,-3,2）,CD =(0,-1,0),設(shè)BC1與CD所成的角為Q皿BC1 CD 3、173.17貝 cos 9=；r =, 0= arccos異面直線BC1與DC所成角的大小為3.17arccos17BC1 CD 1717（06春）在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D143,已知DA=DC=4,DD 1=3，求異面直線 AB與BC所成角的大?。ńY(jié) 果用反三角函數(shù)表示）.解法一連接AQAm B1C,BA1D是異面直線 A1B與B1C所成的角 連接 BD,在AQB 中,AB=A 1D=5,BD=

21、4 & 6 分cos / BAQ=AB2 ad2 bd22 A1B AD25 25 32 _ 9255- 2510分9，異面直線A1B與BC所成角的大小為 arccos 一2512分解法二以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則 A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0),得 AB=(0,4,-3), B1C =(-4,0,-3)6 分設(shè)AB與BC的夾角為Qcos 0=AB B1c 9=AB B1C2510分9，異面直線A1B與BC所成角的大小為 arccos 一25得/ PBO=60 ;POXBO, 為 2 . 3

22、.（06 文）在直三棱柱 ABC ABC 中， ABC 90o, AB BC 1.(1)求異面直線BiCi與AC所成的角的大小;(2)若AC與平面ABCS所成角為45o ,求三棱錐A ABC的體積解：(1) BC/ BiCi,，/ACB為異面直線BiCi與AC所成角(或它的補(bǔ)角) / ABC=90 , AB=BC=i, / ACB=45 ,異面直線BiCi與AC所成角為45.(2) .AAi,平面 ABC,/ ACAi是AiC與平面ABC所成白角，/ ACA =45;/ ABC=90 , AB=BC=i, AC=江,AAi= 2 .二三棱錐 Ai-ABC 的體積 VuNsaABCAinY6.(

23、06理)在四麴隹P ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 2的菱形，/ DAB = 60 ,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,POL平面 ABCD, PB與平面 ABCD所成的角為 60(i)求四棱錐 P ABCD的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成 果用反三角函數(shù)值表示)解(i)在四棱錐 P-ABCD中，由POL平面ABCD, / PBO 是 PB與平面 ABCD 所成的角， 在 RtAAOB 中 BO=ABsin30 =i, 由 于是,PO=BOtg60 = J3 ,而底面菱形的面積四棱錐P-ABCD的體積V=1X2 J3 xJ3 =2.3(2)解法一：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、

24、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立 空間直角坐標(biāo)系.在 RtA AOB 中 OA= 3，于是，點(diǎn) A、B、 D、P的坐標(biāo)分別是 A(0,- 3 ,0), B (i,0,0), D ( i,0,0), P (0,0, 3).E 是 PB 的中點(diǎn)，則 E(L,0,)于是 DE=(g,0, ), AP =(0, C3,V3). 2222設(shè)DE與AP的夾角為。，有 cos （=異面直線DE與PA所成角的大小是2arccos；22=a , 9=arccos ,2 arccos 4解法二：取AB的中點(diǎn)F連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn)得EF/ PA, / FED是異面直線 DE與PA所成角（或它的補(bǔ)角

25、）,在 RtAAOB 中 AO=ABcos30 = V3 =OP于是，在等腰RtA POA中，PA= J6 ,則 EF= 9 .在正 4ABD 和正 PBD 中,DE=DF= J3 ,1ef ”-,242cos/ FED=DE . 34異面直線DE與PA所成角的大小是（07春）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD ABCD中，E、F分別是AB和AB的中點(diǎn)，求異面直線 AF 與CE所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解法一如圖建立空間直角坐標(biāo)系.2分由題意可知 A(2, 0, 2), C(0, 2, 0), E(2, 1, 2), F (2, 1, 0).AF (0, 1,2), CE (2,1, 2).設(shè)直線AF與CE所成角為A F CEcosAF CE 5 3,5310分- 5 arccos, 3即異面直線AF與CE所成角的大小為.5 arccos- 312分解法二連接EB,A E/BF ,且 AE BF ,A FBE是平行四邊形，則 A F / EB ,角.異面直線 A F與CE所成的角就是DCE與EB所成的由CB 平面ABB A,得CB BE.在 RtCEB 中，CB 2, BE 5 ,則tan CEB2,5-5-，10分CEBarctan - 5異面直線AF與CE所成角的大小為arctan”5（07文）在正四棱錐P ABCD中，PA 2,直線PA