第三章多維隨機變量及其分布習題

1、習題三一、填空題1.設兩隨機變量, 且=, 則 5/7 .2.設二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為 12310230X12311/41/21/4則關于的邊緣分布律為 . 3若的聯(lián)合分布律為 123121/61/31/91/18應滿足條件是 .若相互獨立則= 2/9 ,= 1/9 ；4.設獨立同分布, 且的分布律為, 則隨機變量的分布律為 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；5.設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 則概率=_0.3_。6. 設 () 聯(lián)合概率密度為則系數(shù)= 6 ；7.設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則c= 21/4 。8. 設二維隨機變量（X，Y ）的概率密度為則關于X的邊

2、緣概率密度是.9. 設隨機變量X和Y相互獨立，且X在區(qū)間上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則.10. 設隨機變量與相互獨立，且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布，則= 1/9 .11. 若.12已知獨立且服從于相同的分布函數(shù)，若令，則. 二、選擇題1.設隨機變量的分布函數(shù)為，其邊緣分布函數(shù)是（B）2.同時擲兩顆質(zhì)體均勻的骰子,分別以X,Y表示第1顆和第2顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),則（A） （A） . （B）.（C）. （D）.3設隨機變量X與Y相互獨立，它們的概率分布依次為X-11Y-11p1/21/2p1/21/2則下列各式正確的是（C）（A）X=Y. （B）PX=Y=0 . (C)

3、PX=Y=1/2. (D) PX=Y=1.4.設（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,則下列結論中錯誤的是（B）.（A）. （B）.（C）. （D）.5. 設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為，則X,Y滿足（ C ）（A）獨立同分布. （B）獨立不同分布.（C）不獨立同分布. （D）不獨立也不同分布.6. 設隨機變量相互獨立，且分別服從和，則（B）（A）. （B）.（C） . （D） .7. 設X與Y是相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為（D）（A）. （B）.（C）. （D）.8.若,且X與Y相互獨立,則（C）（A）. （B）.（C）.（D）.9.已知，且相互獨立,記（A）（A） . （

4、B）. （C）. （D）.10.設相獨立且都服從,則下式成立的是（B）（A）. （B）.（C）. （D）.三、計算下列各題1. 一個箱子裝有12只開關，其中2只是次品，現(xiàn)隨機地無放回抽取兩次，每次取一只，以分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出的聯(lián)合概率分布律。 解. 2. 袋中有1個紅色球，2個黑色球與3個白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)，求（1）二維隨機變量的聯(lián)合概率分布律;（2）X，Y的邊緣分布律。解：（1）X，Y的取值范圍為0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900（2）01222

5、5/365/181/364/94/91/93. 設隨機變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能取值，另一個隨機變量Y在1X中等可能取一個整數(shù)值，求（1）的聯(lián)合分布律；（2）X，Y的邊緣分布律。解：由題意，則由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/414. 已知隨機變量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.（1）求的聯(lián)合分布，（2）問是否獨立？為什么？.解Y X-101Pj0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（

6、1）設的聯(lián)合分布為Y X-10101/401/4101/20 5. 假設隨機變量和相互獨立，都服從同一分布：01221/41/21/41/41/21/4求概率解 注意，兩個隨機變量同分布，并不意味著它們相等，只說明它們?nèi)⊥恢档母怕氏嗟扔扇怕使郊昂拖嗷オ毩?，可?. 設隨機變量 () 的聯(lián)合密度為，求：（1）系數(shù)k； （2）； （3）。解：（1）（2）（3）=7. 設二維隨機變量的概率密度為，求（1）常數(shù)（2）隨機變量的邊緣密度，（3）概率。解 （1）. ，(3) .8. 假設一微波線路有兩個中間站，它們無故障的時間和是隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為(1) 求兩個中間站連續(xù)100小時無故障的概

7、率；(2) 證明和相互獨立解 (1) 連續(xù)100小時無故障的概率(2) 現(xiàn)在證明和相互獨立以和分別表示和的分布函數(shù)，則由于，可見和相互獨立9. 設二維隨機變量的概率密度為求：（1）關于X和關于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨立？（2）。解：（1）由于（2）9. 雷達的圓形屏幕的半徑為，設目標出現(xiàn)點在屏幕上均勻分布，（1）求的邊緣概率密度，（2）問是否獨立？10. 設兩個獨立隨機變量的分布律為, 求的分布律，的分布律 .解 由獨立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以 的分布律與的分布律分別為Z

8、357W310.18 0.54 0.280.120.460.4211. 設隨機變量的聯(lián)合概率密度, 求的概率密度。 解.12. 設二維變量的概率密度為 求 (1)；(2)的概率密度。解：(1) ，其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 (2) 當時，； 當時，； 當時， 當時， 于是.13.已知隨機向量的概率密度為求隨機變量的概率密度解 對于和，顯然=0(1) 設注意到，當時=0因此，由二隨機變量之和的概率密度公式，有(2) 設注意到當時由二隨機變量之和的概率密度公式，有于是，隨機變量的概率密度14 設某種商品一周的需要量是一個隨機變量，其概率密度為并設各周的需要量是相互獨立的，試求（1）

9、兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設第一周需要量為X，它是隨機變量 設第二周需要量為Y，它是隨機變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨立性可知：z0 當z<0時，fz (z) = 0當z>0時，由和的概率公式知 （2）設z表示前兩周需要量，其概率密度為 設表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨立= z +表示前三周需要量則：0，當u<0，f(u) = 0 當u>0時所以的概率密度為15. 假設是一矩形，隨機變量和的聯(lián)合分布是區(qū)域上的均勻分布考慮隨機變量求和的聯(lián)合概率分布解易見，若，則隨機變量和的聯(lián)合密度為，否則例3.19插圖x= yx =2yy1 0G1G2G32x直線和將分為三部分(見插圖)：， ，易見隨機變量和的聯(lián)合概率分布:有等4個可能值，因此V U0101/41/4101/2于是，和的聯(lián)合分布為16. 假設電路裝有三個同種電器元件，其狀況相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不正常工作.試求電路正常工作時間T的概率分布。解 以表示第個元件無故障工作時間，則獨立且分布函數(shù)為. 所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布17設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，20）分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解：設X1，X2