第二章變分原理

1、第二章 變分原理變分原理是力學(xué)分析中重要數(shù)學(xué)工具之一，能量法、有限元法、加權(quán)殘值法等力學(xué)方法都是以變分原理為數(shù)學(xué)工具的。變分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公開(kāi)信的方式提出最速降線(xiàn)命題，并在1697年進(jìn)行了解決。關(guān)于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱(chēng)之為Euler-Lagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學(xué)者Castigor提出了最小功原理。德國(guó)學(xué)者Hellinger于1914年發(fā)表了有關(guān)不完全廣義變分原理，后來(lái)美國(guó)學(xué)者Reissner發(fā)表了與Hellinger相類(lèi)似的工

2、作，此工作被稱(chēng)之為Hellinger-Reissner變分原理。我國(guó)學(xué)者錢(qián)令希于1950年發(fā)表“余能原理”論文。我國(guó)學(xué)者胡海昌于1954年發(fā)表了有關(guān)廣義變分原理的論文，日本學(xué)者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發(fā)表了與有胡海昌相類(lèi)似的工作，此工作被稱(chēng)之為胡-鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學(xué)變分原理。1964年錢(qián)偉長(zhǎng)提出用Lagranger乘子構(gòu)造廣義 分原理的方法。1964年Gurtin提出了線(xiàn)彈性動(dòng)力學(xué)變分原理。1967年意大利學(xué)者Tonti提出了四類(lèi)變量的廣義變分原理，在這類(lèi)變分原理中，位移、應(yīng)變、應(yīng)力及Beltrami應(yīng)力函數(shù)都是變分變量。§ 2.1 歷史上

3、著名的變分法命題歷史上有三個(gè)著名的變分法命題，即最速降線(xiàn)問(wèn)題、短程線(xiàn)線(xiàn)問(wèn)題和等周問(wèn)題。這三個(gè)命題的提出和解決推動(dòng)了變分法的發(fā)展。1、最速降線(xiàn)命題1695年，Bernoulli以公開(kāi)信方式提出了最速降線(xiàn)命題。如圖2-1所示，設(shè)有不在同一垂線(xiàn)上的A、B兩點(diǎn)，在此兩點(diǎn)間連一曲線(xiàn)，有一重物沿此曲線(xiàn)下滑，忽略各種阻力的理想情況，什么曲線(xiàn)能使重物沿曲線(xiàn)AB光滑下滑的時(shí)間最短。設(shè)A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，滑體質(zhì)量為m，從O點(diǎn)下滑至P點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)能量恒原理，有： (2-1)用s表示弧長(zhǎng)，則沿弧切向方向的速度為： 圖2-1 最速降線(xiàn)圖 (2-2)曲線(xiàn)弧長(zhǎng)為： (2-3)于是，時(shí)間

4、為： (2-4)下降時(shí)間為： (2-5)經(jīng)過(guò)求解，最速降線(xiàn)為圓滾線(xiàn)，其參數(shù)方程為： (2-6)2、短程線(xiàn)命題設(shè)是如圖2-2所示的曲面，在此曲面上有A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)如何連接可使此曲面上A、B兩點(diǎn)間的距離最短。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為、B點(diǎn)的坐標(biāo)為，在曲面上A、B兩點(diǎn)的曲線(xiàn)長(zhǎng)度為： (2-7)其中，是滿(mǎn)足曲面的約束條件。 3、等周命題等周命題為在長(zhǎng)度一定的閉合曲線(xiàn)中，什么曲線(xiàn)圍成的面積最大。 圖2-2 短程線(xiàn)設(shè)所給曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，因這條曲線(xiàn)是封閉的，在這條曲線(xiàn)的始端和末端，有。該曲線(xiàn)周長(zhǎng)為： (2-8)由于該曲線(xiàn)封，根據(jù)格林公式： (2-9)該曲線(xiàn)所圍成的面積為： (2-10)于是等周問(wèn)題可以歸納為在滿(mǎn)足

5、和式(2-8)條件下，從所有可能函數(shù)中選擇一對(duì)函數(shù)使面積最大。§ 2.2 泛函的概念 在函數(shù)論中，自變量對(duì)應(yīng)著另一變量，則變量稱(chēng)為自變量的函數(shù)。假如自變函數(shù)對(duì)應(yīng)著另一個(gè)函數(shù)，則稱(chēng)為泛函。函數(shù)是變量與變量之間的關(guān)系，泛函是變量與函數(shù)之間的關(guān)系。泛函是函數(shù)的函數(shù)，是函數(shù)的廣義函數(shù)。通過(guò)微分學(xué)和變分學(xué)對(duì)比，可理解變分特性。2.2.1 微分和變分函數(shù)的自變量的增量是=-，當(dāng)是獨(dú)立變量時(shí)，的微分等于的增量，即；泛函的自變函數(shù)c的增量在它很小時(shí)稱(chēng)為變分，用或簡(jiǎn)單地用表示。變分等于與跟它相接近、并通過(guò)邊界的另一個(gè)函數(shù)之差，即=-。特別指出的是，變分不是常值，而是通過(guò)邊界條件的函數(shù)。兩個(gè)自變函數(shù)相接

6、近的意義可有不同的理解，最簡(jiǎn)單的理解是在任意值上和之差很小，即：- (2-11)這種接近稱(chēng)零階接近度，如圖2-3所示。很明顯，這時(shí)之差不一定是微量。如果滿(mǎn)足零階接近，同時(shí)滿(mǎn)足自變函數(shù)的斜率也很接近，即： (2-12)這種接近稱(chēng)一階接近度，如圖2-4所示。圖 2-3 零階接近度 圖2-4 一階接近度依次類(lèi)推，階接近度要求零階至階導(dǎo)數(shù)之差都很小。 (2-14)接近度越高，兩條曲線(xiàn)亦越接近。2.2.2 函數(shù)的微分和泛函的變分 函數(shù)的微分有兩個(gè)定義。一個(gè)是通常的定義，即函數(shù)的增量定義為： (2-15)可展開(kāi)為的線(xiàn)性項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng)之和，即 (2-16)其中線(xiàn)性項(xiàng)和無(wú)關(guān)，與有關(guān)，是高次項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)可稱(chēng)是可

7、微，相應(yīng)有： (2-17)也可以說(shuō)，對(duì)于可微函數(shù)，函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主部分，即線(xiàn)性項(xiàng)。函數(shù)的第二定義是設(shè)是為一小參數(shù)，將對(duì)求導(dǎo)數(shù)，即 (2-18)當(dāng)趨近于零時(shí) (2-19)這就說(shuō)明，在=0處對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于在處的微分。稱(chēng)為拉格朗日乘子，此法稱(chēng)為拉格朗日乘子法。泛函的變分也有類(lèi)似的兩個(gè)定義。第一個(gè)定義：自變函數(shù)的變分所引起的泛函的增量，即： (2-20)類(lèi)似地，其可展開(kāi)為線(xiàn)性項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng) (2-21)其中L是對(duì)的線(xiàn)性泛函項(xiàng)，而是非線(xiàn)性泛函項(xiàng)，是的同階或高階微量，當(dāng)時(shí)，同時(shí)也趨近于零，這時(shí)泛函的增量等于的線(xiàn)性部分，叫做泛函的變分，用來(lái)表示。 (2-22)所以泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個(gè)主部

8、對(duì)于函數(shù)變分來(lái)說(shuō)是線(xiàn)性的。第二個(gè)定義：泛函變分是對(duì)在處的示導(dǎo)值。泛函的增量用微小參數(shù)表示為： (2-23)因?yàn)榉汉瘜?dǎo)數(shù)是對(duì)的導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值，于是有 (2-24)因?yàn)榫€(xiàn)性項(xiàng)對(duì)是線(xiàn)性的，故 (2-25)并且當(dāng)時(shí)，得 (2-26)由此得拉格朗日的泛函變分定義為 (2-27)2.2.2 變分運(yùn)算規(guī)則 自變函數(shù)的變分是的函數(shù)，于是可以用求導(dǎo)數(shù) (2-28)即 (2-29)因此，變分和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可換，變分的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的變分。同理有： (2-30)其它運(yùn)算規(guī)則如下： (2-31)2.2.3 極大極小極值問(wèn)題與函數(shù)的極大、極小問(wèn)題相類(lèi)似，泛函也有極大、極小問(wèn)題。如果任何一條接近的曲線(xiàn)的泛函值不大（或不小）

9、于的泛函，即，則泛函在曲線(xiàn)上達(dá)到極大（或極小）值，而且在上泛函的一階變分等于零 =0 (2-32)因?yàn)楹瘮?shù)接近度有零階和高階之分，所以變分分為強(qiáng)變分和弱變分。對(duì)于的零階接近度的變分稱(chēng)為強(qiáng)變分，這樣得到的極值叫強(qiáng)極值。如果是一階接近度，即 (2-33)則把這類(lèi)變分稱(chēng)弱變分，所得到極值稱(chēng)為弱極值。和微分的極值條件一樣，一階變分等于零的條件=0只是存在極值（或駐值）的必要條件，而不是充分條件，只有兩階變分才能確定極大或極小。§2.3 泛函極值問(wèn)題的歐拉方程變分的早期工作是把泛函極值問(wèn)題化為微分方程問(wèn)題，即歐拉-拉格朗日方程。求泛函 (2-34)在邊界條件下的極值。設(shè)正確解為，為接近的任意函

10、數(shù)，則 (2-35)其中為滿(mǎn)足邊界條件式的接近于的變分，顯然在邊界上等于零，即 (2-36)泛函增量為 (2-38)根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，有 (2-38)令 (2-39) ： ： ：這時(shí)式（1.3.6）可以寫(xiě)成 (2-40)其中，稱(chēng)為一階變分，二階變分等。根據(jù)式(2-34)的泛函極值條件，=0，即 =0 (2-41)關(guān)于泛函的一階變分式(2-39)或式(2-41)可由導(dǎo)數(shù)的概念獲得。令F(x,y,z)是自變量x,y,z的函數(shù),則其全導(dǎo)數(shù)為 (2-42)令泛函 是函數(shù)的函數(shù)。假如F不僅與有關(guān)，同時(shí)與其導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這時(shí)泛函一階變分自變函數(shù)可視為和其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。因此可以把微分符號(hào)d用變分符號(hào)來(lái)代替，而，因

11、泛函的變分只與和的變分有關(guān)，故泛函變分為 (2-43)假如泛函含有，則 (2-44)對(duì)式（2-42）的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分，得 (2-45)把上式代入式(2-42)中，得 (2-46)上式第二項(xiàng)是邊界條件式，當(dāng)給定邊界條件情況下在和處，（式（1.3.5），即第二項(xiàng)等于零，這個(gè)邊界條件稱(chēng)為基本邊界條件。當(dāng)沒(méi)有給定基本邊界條件時(shí)在和處處可能不等于零，則=0的條件必須要求在邊界處，這一邊界條件稱(chēng)為自然邊界條件。今后將看到彈性力學(xué)問(wèn)題的基本邊界條件為位移（包括轉(zhuǎn)角），自然邊界條件為力（包括彎矩）。式(2-46)的第一項(xiàng)中是的函數(shù)，它不能等于零，故=0的條件是 (2-47)這個(gè)方程稱(chēng)為歐拉方程，就是說(shuō)，泛

12、函極值的積分方程轉(zhuǎn)換成歐拉方程微分方程。這是1744年歐拉提出的著名方程，后來(lái)拉格朗日用拉格朗日法簡(jiǎn)捷地得到相同結(jié)果（1755年），所以這個(gè)方程又稱(chēng)為歐拉-拉格朗日方程。應(yīng)當(dāng)指出，假如原來(lái)的泛函的積分方程含有一階導(dǎo)數(shù)，則歐拉方程將含有更高一階導(dǎo)數(shù)。歐拉方程式(2-47)是泛函極值的條件式。為判定所得解為極大還是極小，需要考慮二階變分的符號(hào)。因所得的解已滿(mǎn)足=0，由式（1.3.9） (2-48)因此，若對(duì)于任意有>0，則解使為極小，反之極大。假如泛函還含有兩階導(dǎo)數(shù)，則其泛函數(shù)為 (2-49)端點(diǎn)上的邊界條件為 (2-50)根據(jù)式(2-46)，一階變分 (2-51)和前面推導(dǎo)一樣，上式的第二

13、項(xiàng)進(jìn)行一次分部積分，第三項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分，并考慮邊界條件，得歐拉方程 (2-52)這一歐拉方程與式(2-47)比校，上式多一個(gè)全微分項(xiàng)，它是(2-51)的第三項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分時(shí)得到的。同理含n階導(dǎo)數(shù)的泛函極值的歐拉方程為 (2-53)這是函數(shù)的2n階微分方程，稱(chēng)為歐拉-柏桑方程，未知常數(shù)是2n個(gè)，由2n個(gè)邊界條件確定。例1 連接兩點(diǎn)的最短曲線(xiàn)長(zhǎng)度 根據(jù)數(shù)學(xué)理論，兩點(diǎn)間曲線(xiàn)長(zhǎng)度用積分表示為： 泛函只含有，其歐拉方程為 其通解為 其中是由邊界條件的兩點(diǎn)、確定，最后得 顯然，其解是連接兩點(diǎn)的直線(xiàn)。由式（1.3.8b）知 因此，泛函是最小值。例2 Winkler基礎(chǔ)上初等梁的微分方程Winkler

14、基礎(chǔ)上初等梁的總勢(shì)能為：根據(jù)歐拉方程，知Winkler基礎(chǔ)上初等梁的控制方程為： （1.3.19）例3 雙參數(shù)地基上初等梁的微分方程雙參數(shù)地基上初等梁的總勢(shì)能為：例4 雙參數(shù)地基上Timoshenko梁的微分方程 §2.3 多維問(wèn)題泛函及其極值問(wèn)題2.3.1含有一階導(dǎo)數(shù)的二維、三維泛函 (2-54)自變函數(shù)是，的函數(shù)，它在邊界c上已知。為簡(jiǎn)便，引進(jìn)符號(hào) (2-55)顯然，式（1.4.1）的一階變分可寫(xiě)為 (2-56)上式右第二式用附錄A公式（A.4）格林公式進(jìn)行分部積分，得 (2-57)同理，第三式也用格林公式，代入式（1.4.3）中，并考慮到在邊界上=0，得 (2-58)由此得歐拉

15、方程為 (2-59)上式稱(chēng)為奧斯特羅格拉斯基公式同理，三維問(wèn)題泛函式 (2-60)的歐拉方程為 (2-61)和一維問(wèn)題歐拉方程式（1.3.15）相比校，二維和三維問(wèn)題歐拉方程式（1.4.4）和（1.4.5）各自增加了第三項(xiàng)和第四項(xiàng)，它們的公式結(jié)構(gòu)與一維問(wèn)題完全相同。應(yīng)當(dāng)特別注意的是，多維積分的分部積分過(guò)程中采用附錄A的格林公式，它對(duì)計(jì)算力學(xué)發(fā)展起了重要作用，它的貢獻(xiàn)在于使高維變低維，高階變分變?yōu)橐浑A變分，在以后的有關(guān)章節(jié)詳述。2.3.2含有兩階導(dǎo)數(shù)的二維、三維泛函 (2-62)的一階變分為 (2-63)其歐拉方程為 (2-64)上式中函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)是，的函數(shù)。同理，三維情況的泛函 (2-65)

16、其歐拉方程為 (2-66)上式中自變函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)是，z的函數(shù)。2.3.3與時(shí)間和空間有關(guān)的泛函 (2-67)其歐拉方程為 (2-68)上式中，自變函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)是，t的函數(shù)。以上都是含有一個(gè)自變函數(shù)的情況。2.3.4 含有n個(gè)自變函數(shù)的泛函現(xiàn)有n個(gè)自變函數(shù)，其泛函式為 (2-69)其一階變分為 (2-70)歐拉方程為 (2-71)上式與式（1.3.5）的歐拉方程完全一致，只是 代替，并且式(1.4.9)是n個(gè)聯(lián)立方程。含有高階導(dǎo)數(shù)的多維問(wèn)題n個(gè)自變函數(shù)的表達(dá)式與式（1.4.4）（1.4.7）完全一致，但是它是聯(lián)立方程。例1求下列泛函的歐拉方程 上式含有和，故由(2-61),得 或 顯然，這是

17、在流體、電磁場(chǎng)及熱場(chǎng)中常用到的拉普拉斯方程。例2 求下列泛函的歐拉方程 上式含有和的泛函，由式（2-61）得歐拉方程 這是薄板彎曲微分方程式。例3 多質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程 理論力學(xué)中的拉格朗日方程，可以由式（2-71）得到。自變量用時(shí)間t代替，自變函數(shù)用廣義坐標(biāo)代替，用時(shí)間的導(dǎo)數(shù)代替，則 根據(jù)式（2-71）泛函極值的歐拉方程為 這就是著名的拉格朗日方程，這里L(fēng)稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)，它由動(dòng)能T和位能U組成 L=T-U (1.4.11)泛函式的極值條件又可以寫(xiě)成 （1.4.12）這就是哈密頓原理。具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為的力系，各質(zhì)點(diǎn)上作用的力為（又稱(chēng)力函數(shù)），是位能U的函數(shù)，它們之間的關(guān)系為 （1.4.

18、13）這個(gè)力系的動(dòng)能T為 于是泛函式為 根據(jù)式（1.4.10），并利用式（1.4.13），得 拉式方程為 同理 i=1,2,n例4 薄板彎曲振動(dòng)微分方程 薄板彎曲的彎矩及扭矩為 薄板變曲應(yīng)變能為 動(dòng)能為 能量泛函式為 這一泛函是只含有時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)和x，y的兩階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其歐拉方程直接由式（1.4.8）得這就是薄板彎曲的振動(dòng)微分方程式。§2.5 條件極值問(wèn)題 上幾節(jié)討論的泛函極值問(wèn)題，習(xí)慣上稱(chēng)為無(wú)條件極值問(wèn)題。所謂無(wú)條件，并不是說(shuō)在自變函數(shù)選取中不考慮任何條件。自變函數(shù)必須使給定泛函在某一范圍內(nèi)有意義，并滿(mǎn)足邊界條件，因?yàn)檫@些條件容易被滿(mǎn)足，所以稱(chēng)為無(wú)條件極值問(wèn)題。在工程實(shí)際中，

19、有些約束條件不易得到滿(mǎn)足，這種在給定約束條件下來(lái)求泛函極值，稱(chēng)為條件極值問(wèn)題。2.5.1函數(shù)條件極值問(wèn)題求函數(shù) (2-72)在約束條件下的極值問(wèn)題。上述極限問(wèn)題有兩種方法，第一種方法是由約束條件式消去y，代入（2-72）式，得 函數(shù)取得極值的條件是，得x=-3/2, y=-3/2, F(-3/2, 3/2)=11/4 .第二種方法是利用拉格朗日乘子法進(jìn)行求解。選擇拉格朗日乘子，把乘以條件式，與式（2-72）相加，形成新的泛函 (2-73)這時(shí)新的泛函不僅是，的函數(shù)，同時(shí)也是的函數(shù)，的極值條件為 上面第三式正是約束條件式。由此可解出=-3/2, =3/2, =-3.把它代入式（2-73），得（-

20、3/2, 3/2, -3）=11/4，其結(jié)果與第一方法完全相同。拉格朗日乘子法是通過(guò)拉格朗日乘子，將有條件極值問(wèn)題的舊函數(shù)改造成為無(wú)條件極值問(wèn)題的新函數(shù)。有時(shí)把拉格朗日乘子又稱(chēng)為權(quán)數(shù)或權(quán)函數(shù)，這是行之有效的一種方法，加權(quán)殘值法、廣義變分原理也是基于拉格朗日乘子法得來(lái)的。2.5.2泛函條件極值問(wèn)題約束條件式為的函數(shù) (2-74)滿(mǎn)足式（2-74）的約束條件下，求泛函 (2-75)的條件極值問(wèn)題。與前述一致，此問(wèn)題也有兩種方法，第一方法是通過(guò)式(2-74)的k個(gè)自變函數(shù)來(lái)表示泛函式(2-75)中的n-k個(gè)未知自變函數(shù)。把n個(gè)未知自變函數(shù)泛函式(2-75)的有條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n-k個(gè)未知自變函數(shù)的

21、泛函極值問(wèn)題。第二種方法是拉格朗日乘子法，選擇拉格朗日乘子函數(shù)，乘以式（2-74），相加式（2-75）的函數(shù)中，得到新的泛函 (2-76)顯然，泛函是自變函數(shù)的函數(shù)，同時(shí)又是的函數(shù)，因此泛函是n+k個(gè)未知自變函數(shù)的極值問(wèn)題。首先對(duì)式(2-76)用求極值，即有變分時(shí)極值條件為 (2-77)因?yàn)槭侨我庵?，不等于零，上式可?dǎo)出 (2-78)這就是約束條件式(2-74)下求泛函式(2-75)的極值問(wèn)題。不難證明，式(2-76)的歐拉方程為 (2-79)為了能求出待定拉氏乘子，需要諸乘子的系數(shù)滿(mǎn)足下列行列式不為零的要求，即： (2-80)同理，約束條件含一階導(dǎo)數(shù)的情況，即 (2-81)求泛函 (2-82

22、)的極值問(wèn)題歐拉方程為 (2-83)在式(2-81)的約束條件下求泛函 (2-84)的極值問(wèn)題的歐拉方程為 (2-85)例1 如圖（1.5.1）所示梁在處，為給定端點(diǎn)撓度，建立歐拉方程及邊界條件式。這例題相當(dāng)于求泛函 (a)在處約束條件為時(shí)的 圖 1.5.1極值條件。用拉格朗日乘子，建立新的泛函 (b)其變分式為 (c)對(duì)上式右第一項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分，得 (d)把上式代入式(c)，并整理后，其極值條件為 (e)上式成立的條件為 （1） 在=0域內(nèi) （2） 在=處 （3） 在=處 (f) （4） 在=0處 (5) 在=0處和在=處上式中第一式是梁彎曲微分方程式，即歐拉方程；第二式是確定拉格朗日乘

23、子的方程，很明顯，拉格朗日乘子的物理意義是在=處的剪力；第三式就是給定約束條件；第4和第5式是剩余的邊界條件，其中包括基本邊界條件以及自然邊界條件，即彎矩、剪力的邊界條件，如圖1.5.1的情況，在=0處，在=處。由式(f)的第二式，把代入式(b)得新的泛函式 (g)由此可知，泛函極值方程(e)給出歐拉方程式和所有邊界條件式，所以變分問(wèn)題式(c)等價(jià)于式(f)的微分方程的解。例2證明如圖1.5.2的無(wú)條件泛函式為 圖 1.5.22.6 加 權(quán) 殘 值 法大量的應(yīng)用科學(xué)和工程學(xué)問(wèn)題往往可以歸結(jié)為根據(jù)一定的邊界條件，初始條件等，來(lái)求解問(wèn)題的控制微分方程式或微分方程組或關(guān)鍵的積分方程。微分方程式（組）

24、可以是常微分方程，偏微分方程，線(xiàn)性的或非線(xiàn)性的。加權(quán)殘值法是一種數(shù)學(xué)方法，可以直接從微分方程式（組）中得出近似解。該方法用于解算力學(xué)問(wèn)題具有原理的統(tǒng)一性和方法的一致收斂性，應(yīng)用的廣泛性，且簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確，工作量少，程序簡(jiǎn)短，亦可用于解復(fù)雜問(wèn)題等優(yōu)點(diǎn)。2.6.1 加權(quán)殘值法的基本方法按權(quán)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，加權(quán)殘值法共有五類(lèi)，可稱(chēng)為加權(quán)殘值法的基本方法。1、最小二乘法解某一問(wèn)題時(shí)，在物體域內(nèi)的殘值R平方積分式為： (2-86)為使為最小，應(yīng)用求函數(shù)的極值條件： (2-87)可得消除殘值方程式為： （j=1,2,n） (2-88)由此可知，最小二乘法中的權(quán)函數(shù)為，進(jìn)行運(yùn)算后(2-88)式即可化為n個(gè)代數(shù)方程

25、式，足以求出n個(gè)待定系數(shù)（j=1,2,n）。如果求解的問(wèn)題系屬二維的，則有最小二乘法消除殘值方程組為： （j,k=1,2,n） (2-89)同樣，三維問(wèn)題的最小二乘法消除殘值方程組為： (j,k,l=1,2,n) (2-90)2、配置法最初發(fā)展的配置法僅是配點(diǎn)法，今年來(lái)在我國(guó)發(fā)展了配線(xiàn)法，配面法及配域法等，這里將詳述配點(diǎn)法。這是一種使用極為廣泛又很方便的加權(quán)殘值法。如果以笛拉克函數(shù)作為權(quán)函數(shù)： (2-91)就得到了配點(diǎn)法。笛拉克函數(shù)又稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)。一維的單位脈沖函數(shù)其主要的性質(zhì)如下：a. (2-92)b. (2-93)c. (2-94)d. (2-95)二維的單位脈沖函數(shù)的主要性質(zhì)如下：a

26、. (2-96)b. (2-97)c. (2-98) （1）配點(diǎn)在積分域內(nèi)，（2）配點(diǎn)不在積分域內(nèi)）于是，按(2-95)即有一維問(wèn)題的配點(diǎn)法，即： （j=1,2,n） (2-99)按(2-98)即有二維的配點(diǎn)法，為： (2-100)上面兩個(gè)方程的意義就是殘值應(yīng)在n個(gè)配點(diǎn)（一維），（二維）處為零。亦即在殘值方程中代入配點(diǎn)坐標(biāo)，置方程為零即可。于是解代數(shù)方程組（1-3-13）或（1-3-14）即能解出待定系數(shù)。3、子域法將物體的域分為n個(gè)子域（j=1,2,n），權(quán)函數(shù)如下確定： (2-101)列出消除殘值方程組為： （j=1,2,n） (2-102)運(yùn)算后解n個(gè)代數(shù)方程式即可求得。4、伽遼金法若按

27、加權(quán)殘值法的觀點(diǎn)去理解伽遼金法，伽遼金法實(shí)際上就是將試函數(shù)項(xiàng)當(dāng)作為權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法。以薄板彎曲問(wèn)題為例，薄板彎曲的控制微分方程為： (2-103)式中，為抗彎剛度，E為彈性模量，h為板的厚度，為材料泊松比，算子為，w為板的撓度，為作用于板上分布荷載的集度。若假設(shè)薄板撓度的試函數(shù)已滿(mǎn)足了所有的邊界條件為： (2-104)則這塊薄板彎曲問(wèn)題的伽遼金法方程為： （j=1,2,n） (2-105)或即為 （j=1,2,n） (2-106)式中 ， (2-107)所以，在伽遼金法中權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)。對(duì)(2-106)式進(jìn)行運(yùn)算可得到一組代數(shù)方程組，從其中可解出待定系數(shù)。5、矩量法在一維問(wèn)題中，矩量法的權(quán)

28、函數(shù)為。消除殘值方程式為： (2-108)這里有n個(gè)代數(shù)方程式，可求出試函數(shù)中n個(gè)二維問(wèn)題矩量法的消除殘值方程式為： (2-109)運(yùn)算后得代數(shù)方程組可以解出試函數(shù)中的。2.6.2 加權(quán)殘值法的試函數(shù)在加權(quán)殘值法計(jì)算力學(xué)中，如何選用或確定待求函數(shù)的試函數(shù)十分重要。我國(guó)國(guó)內(nèi)加權(quán)殘值法計(jì)算力學(xué)研究工作者在實(shí)踐中曾采用有下列試函數(shù)并取得良好的效果。按其使用頻繁的程度次序列出如下：1、單B樣條函數(shù)形式如： (2-110)其中為從3次到9次的B樣條函數(shù)，為正交函數(shù)，或?yàn)檎一蛴嘞业娜呛瘮?shù)如等，或?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)等。2、多三角級(jí)數(shù)形式如： (2-111)及單三角級(jí)數(shù)如： 3、多項(xiàng)式雙冪級(jí)數(shù)形式如： (2-1

29、12)4、單多項(xiàng)式級(jí)數(shù)形式如： (2-113)5、雙B樣條函數(shù)形式如： (2-114)及都是B樣條函數(shù)，從3次到9次。 6、多項(xiàng)式與三角函數(shù)積并與多項(xiàng)式之和 形式如： (2-115)7、雙調(diào)和函數(shù)如由組成，或?yàn)椋?(2-116)8、梁振動(dòng)函數(shù) (2-117)9、對(duì)數(shù)函數(shù)如： (2-118)用于分析開(kāi)孔物體中。10、指數(shù)函數(shù)如：11、貝塞耳函數(shù)如：12、“完備系”試函數(shù)如：13、柱穩(wěn)定函數(shù)如：試函數(shù)是選擇在低級(jí)近似計(jì)算中十分重要。因?yàn)?，這會(huì)影響計(jì)算結(jié)果。在高級(jí)近似計(jì)算中則不太重要，因?yàn)?，?jì)算中依靠了解的收斂性。試函數(shù)選擇得當(dāng)與否只會(huì)影響解的收斂速度。試函數(shù)必須是完備的并且各試函數(shù)項(xiàng)之間是線(xiàn)性無(wú)關(guān)

30、。屬于連續(xù)的函數(shù)大多可以用多項(xiàng)式展開(kāi)。試函數(shù)的完備性能夠保證在取足夠多的試函數(shù)項(xiàng)時(shí)可以逼近精確解，所以比較重要。擬解決問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性和邊界條件可以幫助確定試函數(shù)的形式。對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，試函數(shù)也應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)的。如果已知一個(gè)問(wèn)題中的邊界條件為g(x,y)，則這問(wèn)題中的試函數(shù)可假設(shè)為： (2-119)當(dāng)然，式中試函數(shù)項(xiàng)在邊界條件上應(yīng)為零。多種正交多項(xiàng)式都是有用的試函數(shù)。它們可以滿(mǎn)足若干邊界條件，再附加一定的多項(xiàng)式以滿(mǎn)足其他的邊界條件。這種設(shè)立試函數(shù)的方法可以滿(mǎn)足一些難以全部滿(mǎn)足邊界條件的邊值問(wèn)題，如大撓度板殼及厚板厚殼問(wèn)題。正交多項(xiàng)式的正交性可以使得計(jì)算正確方便。超越函數(shù)可以作為試函數(shù)，但大多用作初次近似的試

31、函數(shù)，在高次近似計(jì)算中，則有計(jì)算累贅不堪的缺點(diǎn)。這類(lèi)函數(shù)可以作為特征值問(wèn)題的試函數(shù)。有限元法單元中，位移模式所用的試函數(shù)也可以作為加權(quán)殘值法的試函數(shù)。各類(lèi)樣條函數(shù)都可以作為加權(quán)殘值法的試函數(shù)。 §2.7 Ritz法和Galerkin法2.7.1基于位移變分原理的Ritz法使用位移變分原理求解，首先需要列出所有變形可能的位移，然后從中找出使總勢(shì)能取駐值的那組位移，這就是真實(shí)位移。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，相應(yīng)于位移變分原理的最小勢(shì)能原理成立，因此使總勢(shì)能取最小值的那組位移，就是真實(shí)位移。但問(wèn)題在于要列出所有變形可能的位移非常困難，也不現(xiàn)實(shí)。因此，在求解實(shí)際工程問(wèn)題時(shí)，只能根據(jù)受力特點(diǎn)和邊界條件

32、，憑經(jīng)驗(yàn)假設(shè)一組位移的實(shí)驗(yàn)函數(shù)，其中包括有限個(gè)待定常數(shù)，這種處理縮小了尋找位移解的范圍。若從中找出一組使總勢(shì)能取最小值的位移，一般來(lái)說(shuō)，這組位移不是真正的位移，但它在縮小的范圍內(nèi)是與真實(shí)位移最接近，從而可以作為問(wèn)題的近似解。設(shè)位移實(shí)驗(yàn)函數(shù)為： (2-120)式中、和、是預(yù)先設(shè)定的空間坐標(biāo)的函數(shù)，、稱(chēng)為基函數(shù)或形狀函數(shù)（它表示變形形狀），應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足函數(shù)連續(xù)性、可微性、線(xiàn)性獨(dú)立性及基本邊界條件（又稱(chēng)固定邊界條件，但自然邊界條件不一定必須滿(mǎn)足），基函數(shù)是選擇函數(shù)，一般采用指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的連續(xù)性、可微性及獨(dú)立性易被滿(mǎn)足，所以選擇基函數(shù)時(shí)特別注意滿(mǎn)足邊界條件。而、是待定系數(shù)又稱(chēng)廣義參數(shù)，由泛

33、函極值條件確定。位移的變分是通過(guò)待定系數(shù)、取變分來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而與函數(shù)、無(wú)關(guān)，于是： (2-121)位移實(shí)驗(yàn)函數(shù)必須滿(mǎn)足位移邊界條件，且在位移邊界條件上的變分為零，為滿(mǎn)足這兩個(gè)條件就要求：在位移邊界上，、等于已知位移，而、（k=1,2,n）均等于零。將式（1-4-1）代入下列總勢(shì)能表達(dá)式 (2-122)將總勢(shì)能表示成待定系數(shù)的、的函數(shù)： (2-123)變分原理要求： (2-124)由于、是相互獨(dú)立的，也是任意的，它們的系數(shù)應(yīng)分別為零，于是： (2-125)對(duì)于線(xiàn)彈性力學(xué)問(wèn)題，將導(dǎo)致下面3n個(gè)線(xiàn)性方程組： (2-126)解上述3n個(gè)線(xiàn)性方程組，可得出待定系數(shù)、。這就是所謂的Ritz方法。在獲得位移的

34、近似解后，代入幾何方程，求得應(yīng)變的近似解，再代入本構(gòu)方程，得到應(yīng)力的近似解。應(yīng)當(dāng)指出：由于位移變分原理等價(jià)于平衡微分方程和力邊界條件，因此現(xiàn)在所得的近似解對(duì)于平衡微分方程和力邊界條件來(lái)說(shuō)是近似滿(mǎn)足的，而其他方程和條件均嚴(yán)格滿(mǎn)足。2.7.2 基于應(yīng)力變分原理的Ritz方法如果我們主要關(guān)心物體內(nèi)的應(yīng)力分布，使用應(yīng)力變分原理求解會(huì)更合適一些。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，該方法的實(shí)質(zhì)就是從所有靜力可能的應(yīng)力場(chǎng)中，找到使總余勢(shì)能取最小值的那組應(yīng)力，這就是真實(shí)應(yīng)力。求解時(shí)，首先要選取應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)函數(shù)，它必須是靜力可能的應(yīng)力場(chǎng)，即滿(mǎn)足平衡方程和力邊界條件： (2-127)式中、和、是預(yù)先設(shè)定的空間坐標(biāo)的函數(shù)，、滿(mǎn)足給定

35、體積力的平衡方程和給定面力的力邊界條件，而、滿(mǎn)足體積力為零的平衡方程和表面力為零的力邊界條件；、是相互獨(dú)立的待定常數(shù)，應(yīng)力的變分將通過(guò)這些待定常數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。代入總余能表達(dá)式并求極值，則有： (2-128)它們?yōu)榇ㄏ禂?shù)的線(xiàn)性方程組，解出這些待定系數(shù)則得問(wèn)題的解。選擇的應(yīng)力場(chǎng)要求滿(mǎn)足平衡方程和力邊界條件，往往是不易做到的，但是，對(duì)于某些問(wèn)題，應(yīng)力分量可用應(yīng)力函數(shù)表示，而應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量總是能滿(mǎn)足平衡微分方程的。這樣，我們?cè)谶x取應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，只需要使其給出的應(yīng)力分量滿(mǎn)足力邊界條件即可，從而減小了難度。應(yīng)當(dāng)指出：由于應(yīng)力變分原理等價(jià)于幾何方程和位移邊界條件，因此現(xiàn)在所得的近似解對(duì)于幾何方程

36、和位移邊界條件來(lái)說(shuō)是近似滿(mǎn)足的，而其他方程和條件均嚴(yán)格滿(mǎn)足。例1 簡(jiǎn)支梁的彎曲問(wèn)題如圖1.6.1所示梁的梁端簡(jiǎn)支，梁的泛函式為 (a) 選如下的基函數(shù) (b)這一函數(shù)滿(mǎn)足的基本邊界條件， 但不一定要求滿(mǎn)足自然邊界條件， 圖 1.6.1而自然邊界條件由變分本身得到滿(mǎn)足。把式（1.6.5）代入式（1.6.4），得 (c)由上式對(duì)和求導(dǎo)數(shù)，使它等于零，得兩個(gè)聯(lián)立方程 (d)得如下表達(dá)式 (e)聯(lián)立求解得，把它代入式（1.6.5），得 (f)由上述的Ritz法求得梁中點(diǎn)撓度為，其理論精確解為 ，其誤差為12%，其中L=2。假如坐標(biāo)原點(diǎn)取在左端，并作為近似函數(shù)選為正弦函數(shù) (g)用同樣方法，得跨中撓度為

37、（僅取第一項(xiàng)），與精確值相比，誤差僅有0.3%?；瘮?shù)的選擇直接影響精度。另一方面，對(duì)不同問(wèn)題、不同邊界條件及載荷條件，相應(yīng)的基函數(shù)也在變化，同時(shí)基函數(shù)是適應(yīng)整個(gè)計(jì)算域內(nèi)，對(duì)高階導(dǎo)數(shù)泛函問(wèn)題，適應(yīng)性更小，所以實(shí)用上受到限制。但這一方法對(duì)彈性力學(xué)的近似計(jì)算方法的發(fā)展，發(fā)揮了重要作用。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而活躍起來(lái)的有限元方法，接受了李茲法的思想，但克服了其缺點(diǎn)，基函數(shù)選擇在微小塊單位內(nèi)，使基函數(shù)的選擇成為規(guī)格化，擴(kuò)大了應(yīng)用范圍。2.7.3 Galerkin法從虛位移原理導(dǎo)出下式： (2-129)改式與虛位移原理完全等價(jià)。若選取的位移實(shí)驗(yàn)函數(shù)（1-4-1）除滿(mǎn)足位移邊界條件外，還滿(mǎn)足力邊界條件，直

38、接使用式(2-129)而不是變分方程式進(jìn)行近似求解會(huì)比較方便。這時(shí)，式(2-129)退化為： (2-130)將式（1-4-1）代入式(2-130)并展開(kāi)，得到三組線(xiàn)性方程，即： (2-131)通過(guò)求解這些線(xiàn)性方程組，確定待定常數(shù)、，從而得到問(wèn)題的近似解。利用式(2-131)進(jìn)行近似求解的方法稱(chēng)之為Galerkin方法。它屬于加權(quán)殘值法的一種特殊形式。對(duì)于薄板彎曲問(wèn)題，若所設(shè)的撓度實(shí)驗(yàn)函數(shù)除滿(mǎn)足所有位移邊界條件外，還滿(mǎn)足所有力邊界條件，由位移變分原理可導(dǎo)出相應(yīng)的變分方程為： (2-132)上式就是Galerkin方法計(jì)算薄板彎曲問(wèn)題的控制方程。 §2.8 能量原理 勢(shì)能駐值原理是虛位移

39、原理的能量形式。這兩個(gè)原理是位移法和位移型有限元的理論基礎(chǔ)。如果把問(wèn)題限定為彈性力學(xué)線(xiàn)性問(wèn)題，則勢(shì)能的駐值實(shí)際上又是極小值，此時(shí)又稱(chēng)為最小勢(shì)能原理。2.8.1彈性系統(tǒng)的勢(shì)能彈性系統(tǒng)的勢(shì)能用基本未知函數(shù)位移u表示的能量，由彈性體的應(yīng)變能U和荷載的勢(shì)能兩部分組成： (2-133)應(yīng)變能U為： (2-134)其中應(yīng)變是由位移u導(dǎo)出的，即。荷載勢(shì)能為： (2-135)上式右邊第一項(xiàng)是體積力的勢(shì)能，第二項(xiàng)是邊界上邊界荷載的勢(shì)能。由于勢(shì)能是位移函數(shù)的函數(shù)，因此是一個(gè)泛函。2.8.2 勢(shì)能駐值原理的表述勢(shì)能駐值原理可表述為在位移滿(mǎn)足幾何條件的前提下，如果位移相應(yīng)的應(yīng)力還滿(mǎn)足靜力條件，則該位移必使勢(shì)能為駐值；反之，在位移滿(mǎn)足幾何條件的前提下，如果位移還使勢(shì)能為駐值，則該位移相應(yīng)的應(yīng)力必滿(mǎn)足靜力條件?；蛘哒f(shuō)，在位移為可能的前提下，勢(shì)能駐值條件 （2-136）與靜力條件彼此等價(jià)。如果彈性體的位移既滿(mǎn)足幾