專題八與二次函數(shù)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題(含答案)

1、2012年中考第二輪專題復(fù)習(xí)八：與二次函數(shù)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題1. （2011甘肅省蘭州市）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，正方形OABC勺邊長為2cm,點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線 y = ax2+bx + c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D(4,2一）3（1）求拋物線的表達(dá)式（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q由點(diǎn)B出發(fā),沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè) S= PQ2（cm2）.試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t的取值范圍；當(dāng)S取5時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn) R,使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂

2、點(diǎn)4的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn) M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待 定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是 y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可；（2）由勾 股定理即可求出，假設(shè)存在點(diǎn) R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出 P、 Q的坐標(biāo)，再分為三種情況： A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出 R的坐標(biāo).（3） A 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)

3、稱點(diǎn)為 B,過B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求 M ,求 出直線BD的解析式，把拋物線的對(duì)稱軸 x=1代入即可求出 M的坐標(biāo).解答：（1）解：設(shè)拋物線的解析式是 y=ax2+bx+c,當(dāng) x=0 時(shí)，y= - 2,.點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0, - 2）,;正方形的邊長2,2B 的坐標(biāo)（2, 2）,把 A （0, - 2）, B （2, - 2） , D （4, 一 * ）代入得：4a + 2b + c = .2c = -224a + 2b + c = .2 16q + 4b + c = -且、，1 1解得 a=6 , b= - * , c= - 21 21 y =不平2.拋物線的解析式為：，1

4、 2i=7% .彳尤2答：拋物線的解析式為:0 3(2)解：由圖象知：PB=2 2t, BQ=t,S=PQ2=PB2+BQ2,=(2-2t) 2+t2,即 S=5t2- 8t+4 (0Wt51答：S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式是 S=5t2-8t+4 , t的取值范圍是 0WtWl 解：假設(shè)存在點(diǎn) R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形.,. S=5t2- 8t+4 (0Wt0155當(dāng) S=4時(shí)，5t2-8t+4=4,得 20t2-32t+11=0,1 11解得t=2, t=l （不合題意，舍去），3此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, -2), Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, - 2)若R點(diǎn)存在，分情況討論：A

5、假設(shè)R在BQ的右邊，這時(shí) QR=PB, RQ / PB,則R的橫坐標(biāo)為323即 R (3, - 2),1 21代入 口 ,左右兩邊相等，3這時(shí)存在R (3, -2)滿足題意；B假設(shè) R在BQ的左邊，這時(shí) PR=QB , PR/ QB,3則：R的橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)為-23口 r2即(1 ,-),1 21y =不2代入 口3,左右兩邊不相等，R不在拋物線上；5 、2、【C】假設(shè)R在PB的下萬，這時(shí)PR=QB , PR/ QB,貝U: R (1,-)代入, 左右不相等，3, R的縱坐標(biāo)為-1 21y干鏟2R不在拋物線上.(1分)綜上所述，存點(diǎn)一點(diǎn) R (3, - 2)滿足題意.3答：存在，R點(diǎn)的坐標(biāo)

6、是(3,- (3)解：如圖， M B=M A, . A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為2)B ,過B、D的直線與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求M ,(2 k + b = .2設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b ,把B、D的坐標(biāo)代入得:10解得：k=3, b=- *2 1033y=x- - ,1 21y =片辛2拋物線 口的對(duì)稱軸是x=1 ,8把x=1代入得:y=-38M的坐標(biāo)為(1, -3)；8答：M的坐標(biāo)為(1, - 3) .yOAC勾股定理，平行四邊點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.此題

7、綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的題目.2. (2011廣東省清遠(yuǎn)市)如圖，拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C (0, 3).(1)求拋物線的對(duì)稱軸及 k的值;(2)拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限.當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)， AMB的面積最大？求出 AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AMCB的面積最大？求出四邊形 AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線 x= 1,把 C (0, 3)代入 y=(x+1)2+k得-3=1 + kk= -

8、4(2)連結(jié)AC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P.y=(x+1)24 令 y=0 可得(x+ 1)24 = 0.A ( 3, 0) B (1 , 0)設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y= m x+b把 A (-3, 0), C (0, 3)代入 y=m x+b 得,3m + b= 0b= 3 - m= 1線AC的關(guān)系式為y = - x 3當(dāng) x= 1 時(shí)，y= 1 -3=- 2P (-1, -2)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).(3) 設(shè)M的坐標(biāo)為(x, (x+ 1)2 4)1 ,12SAamb = 2 X ABX | ym | = 2X 4 X 4一 (x+ 1)= 8-2(

9、x+1)2當(dāng)x=- 1時(shí)，S最大，最大值為 S= 8M的坐標(biāo)為（1, -4）過M作x軸的垂線交于點(diǎn) 巳連接OM ,AMCB111、S 四邊形 AMCB = Sa AMO + SaCMo+ SaCBO= j AB X | ym|+ j CO X | xm|+ 廣 OCX BO一 32 1 一. .1 一.62 (x+ 1) +2x 3X ( x) + 2* 3X 13x2.9 x+ 6=-32x 22(x2+3x-9) =-| (x+ 2)音,3 , 一當(dāng)x= -3時(shí)，S最大,最大值為8183. （2011河北?。┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)

10、t秒（t0）,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)。和點(diǎn)P.已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為 A （1, 0）、B （1, 5）、求c、b （用含t的代數(shù)式表示）； 當(dāng)4vt0, /. b=-t；(2)不變.如圖 6,當(dāng) x=1 時(shí)，y=1 t,故 M (1, 1t), tanZ AMP=1 ,AMP=45 ;1 1令2、2一 S=S 四邊形 AMNP SZPAM=S/ DPN+S 梯形 NDAM SAPAM= ( t - 4) (4t - 16) + ( 4t13 152 2 16) + (t1) 3一心(t1) (t1) =t 乙 t+6.3 15211919解，t22 t+6= 8 ,得：t1=2

11、, t2=2,4t0,又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并在圖1中的l上找一點(diǎn)P0 ,使P0到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最??；(2)若 PAC周長的最小值為10+2741 ,求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)如圖2,在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn) C向點(diǎn)O移動(dòng)(M不 與端點(diǎn)C、O重合)，過點(diǎn)M作MH / CB交x軸于點(diǎn)H ,設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒，試 把 BHM的面積S表示成時(shí)間t的函數(shù)，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；(4)在(3)，一，一 .75 一一的條件下，當(dāng)S二一時(shí)，過M作x軸的平行線交拋物線于 32E、F兩點(diǎn)，問:過E、 F、 C三點(diǎn)的圓與直

12、線 CN能否相切于點(diǎn)C?請證明你的結(jié)論.(備用圖圖3)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：(1)由題意A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱，則 BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為 P0；(2)由(1)所求可知該題周長最小即為AC+BC的長，從而求出X0,而解得；(3)由在三角形 OBCs三角形cmn,得到高關(guān)于t的式子，因?yàn)?MH /BC ,得到三角形MHP0三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得 S的最大值.(4)把S的取值代入(3)中表達(dá)式中求得t,從而得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，從而證明各點(diǎn).解答：解：(1)由題意直線 所以當(dāng)y=0,則x= - 6,AC與x軸的交點(diǎn)為A,所以點(diǎn)A (-6, 0).同理點(diǎn)C (

13、0, 8),由題意，A、B是拋物線y=ax2+bx+8與x軸的交點(diǎn), - 6, xo是一兀二次方程 ax2+bx+8=0的兩個(gè)根，b 81- - 6+x0=- 34a=- 3。 a=,b=-，3A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱， BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P0.設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n ,則n=8, mx0+n=0 , 8BC的解析式為y= - 0x+8 .b .6 + 與 24.當(dāng)x= - 2以=2時(shí)y-0+4.6 + x。24.P0的坐標(biāo)為（,，U+4）；(2)由(1)可知三角形PAC最小即為 AC+BC=10+ 2；41解得則點(diǎn)由點(diǎn)A, B,C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為128y=l 5X2 +

14、815Z + 8128=15(X 2)2+15頂點(diǎn)N (2,15)；c1片+ 8，=10 + 2MiX0=10或x0= - 10 (不符舍去)，B (10, 0),(3)如圖，作MN，BC與N, 則在三角形 OBCs三角形CMN ,h 2t所以3 I。，3日5f 即h=.因?yàn)?MH / BC,8-2t MH所以解得18.2t8,2tMH= 8 B- 412Ml = T (8.2t)7MHh =S=,、3 3 型1 2 3；41(8.2t) x pt +j U因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位， 則當(dāng)t=2時(shí)符合范圍0t4, 所以當(dāng)t為2時(shí)S最大；(4)把S的取值代入(3)中表達(dá)式中求得t,從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)

15、，_ 7575341 2 3J41s 二羽即豆=而+丁則解得t=2,則由題意知CEF三點(diǎn)所在圓半徑為 4, 所以直線CN與CFE所在圓相切.點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，知道三點(diǎn)求二次函數(shù)式， 考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合求三角形面積，知道面積求點(diǎn)，很好結(jié)合，是道好題.25.(2011湖北省仙桃、潛江、天門、漢江油田)在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線y = ax +bx + 3 與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A (-3, 0)、B (1, 0),過頂點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)H.(1) 直接填寫： a =, b=,頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)為;(2)在y軸上是否存在點(diǎn) D,使得 ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若

16、存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P與頂點(diǎn)C不重合)，PQLAC于點(diǎn)Q,(備用圖)3分5.解：(1) a=1,b =/，頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(-1,4)(2)假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn) D,過點(diǎn)C作CE，y軸于點(diǎn)E.由/CDA=90得，/ 1 + /2=90. 又/ 2+/3=90, / 3=/1. 又. / CED= ZDOA =90, . CEDs、DOA, CE =_D設(shè) D (0,變形得c2 綜合上述：c),則廣-4c +3=0,EDc二一.3解之得AO在y軸上存在點(diǎn)Dc1 =3,c2 =1 .(0, 3)或(0,CH7分EOB x使

17、 ACD是以AC為斜邊的直角三角形.(3)若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)(如圖)， 延長CP交x軸于 M,，AM=CM, 設(shè) M (m, 0),貝 ( m+3)2=42+(m+1)2, 設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1,只能是PCQsCAH,得/QCP=/CAH. am2=cm2.m=2,即 M (2, 0).LK出=4 缸日彳11,解之得k12k1bl =01V.直線CM的解析式y(tǒng)x 8聯(lián)立y 33!2y - -x -2x 3若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)(如圖) 過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F,x1T x = -1jX=3 或4 i20 y = 4y =：(舍去). P(1,竺).9分3 9,9,只能是 PCQ

18、sACH,得/ PCQ = /ACH.作FNx軸于點(diǎn)N.由CFAsCAH 得由 FNAA AHC 得CA 二 CHAF AHFN NA=2,. AN =2,AH HCFN =1，點(diǎn)F坐標(biāo)為AFCA(-5, 1).10分設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b 2,一 % +bo =4322 ，解之得 k2=3,b25k2+b2=14194直線CF的解析式319=x -4411分3一 y = x聯(lián)立y 42 y = -x至4-2x 37 x = 455 y =16(舍去). P(-2,55).4 1612分(圖)(圖)(4)連結(jié)AN,當(dāng)BON面積最大時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得力BOP與OAN相似(點(diǎn)B、3

19、分 E(0,3)點(diǎn)(點(diǎn)N在y軸右側(cè))，連結(jié)ON、BN,當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求BON面積的最 大值，并求出此時(shí)點(diǎn) N的坐標(biāo)將 A(2,2), B(6,6)代入得 4a -2b =236a 6b = 61 .解得a = 一，b46. (2011浙江省寧波市)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6, 6),拋物線經(jīng)過 A、0、B三點(diǎn)，連結(jié) OA、OB、AB ,線段AB交y軸于點(diǎn)E,(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)(2)求拋物線的函數(shù)解析式(3)點(diǎn)F為線段0B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) 0、B重合)，直線EF與拋物線交于 M、N兩1，y=x+3 當(dāng) x = 0 時(shí)，y=3.2(2)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y = ax2 + bx ,1 21拋物線的解析式為 y x2 - x42(3)過點(diǎn)N作x軸的垂線NG ,垂足為G ,交OB于點(diǎn)Q,、一 121、 一設(shè) N (x, - x - x),則 Q(x, x)42一 一