第3講高等數(shù)學(xué)(三)(新版)

1、精品文檔二、平面(一)平面的方程設(shè)平面過點(diǎn)Mo(xo,yo,zo),它的一個(gè)法向量n=(A,B,C),則平面n的方程為A(1一曲)EG廣澗)+C(je-xo)=0此方程稱為平面的點(diǎn)法式方程。平面的一般方程為Ax+By+&+D=0其中n=(A,B,C)為該平面的法向量。設(shè)一平面與x、y、z軸分別交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(O,0,c)三點(diǎn)(其中aw。,bw。，cw0),則該平面的方程為+4-1口匕C此方程稱為平面的截距式方程，a、b、c依次稱為平面在x、y、z軸上的截距。對于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn)。如，在方程Ax+By+Cz+D=0中，當(dāng)D=0時(shí)

2、，方程表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面；當(dāng)A=0時(shí)，方程表示一個(gè)平行于x軸的平面；當(dāng)A=B=0時(shí)，方程表示一個(gè)平行于xOy的平面。類似地，可得其他情形的結(jié)論。(二)兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角(通常指銳角)。設(shè)有平面IIi,:Aix+Biy+Ciz+Di=0和平面ii2：A2x+B2y+C2z+D2=0,則n1和n2的夾角e由下式確定：a_I*也I_.I,I.,+且日24cC由此可得IIl與n2互相垂直相當(dāng)于AlA2+BlB2+ClC2=0IIl與n2平行相當(dāng)于力2%Cj空間一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)到平面Ar+與+&+D=0的距離，有以下公式：精品文檔（三）例題【例1-1

3、-5】求過三點(diǎn)Mi（2,-1,4）、M2（-1,3,-2）和M3（0,2,3）的平面的方程?！窘狻肯日页銎矫娴姆ㄏ蛄?可取而稔=（-3,4,-6）與/M；=（-2,3,-1)的向量積為人即ijk«=-34-6-14/+9j-fc1-23-1由平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面方程為14(r-2)+9(第十1)-(%-4)=0掰D141+915=0=0的夾角。1-1-6】求兩平面x-y+2z-6=0,2x+y+z-5】因?yàn)閏os5 二門2十(T)J故所求夾角9=O3【例1 - 1-7平行于x軸且經(jīng)過點(diǎn)（4,0 , - 2和點(diǎn)（2 , 1 , 1 ）的平面方程是(A)+(C) 3衛(wèi)-% 2 =

4、 0(B) 3工+2z 8 = 0(D) 3+ 工7 = 0故（A ）、（ B ）不正確。由平面經(jīng)過兩已【解】由平面平行于x軸知，平面方程中x的系數(shù)為0,知點(diǎn)，知（C）滿足，故選（C）.三、直線（一）空間直線的方程設(shè)空間直線L是平面n:Alx+By+C1Z+D1=0和平面II2:A2x+B?y+C2Z+D2=0,的交線，則L的方程為。精品文檔精品文檔1A2*+Hg*+G之十D?二0此方程稱為空間直線的一般方程。設(shè)直線L過點(diǎn)M0（xo,yo,zo）,它的一個(gè)方向向量為s=（m,n,p）,則直線L的方程為工一厘中=欠一第0=孑一到ntnp此方程稱為直線的對稱式方程。如設(shè)參數(shù)t如下：一三一工Q_a二

5、兇；一的一-B一一I?nnp則）X=X（）+?14*=、口+nt之二之。+力£此方程組稱為直線的參數(shù)式方程。（二）兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角（通常指銳角）。設(shè)直線L1：一一I_y二-I_胃片如Pi和直線L2：一上|_3二-I_W-I優(yōu)1負(fù)1Pl則Li和L2的夾角中可由下式確定：|s,lU2|_|$|勤| mj7n2 + wpij + pPt由此可得Li和L2互相垂直相當(dāng)于Li和L2平行相當(dāng)于精品文檔(三)直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角邛稱為直線與平面的夾角，通常規(guī)定0W邛W,。設(shè)直線的方程是2平面的方程是Ax+By+Cis+D=0則直線與平面

6、的夾角巾由下式確定:sin 中二I Am + C(j /Ay+ 再m2 + »2 + p1由此可得直線與平面垂直相當(dāng)于A_B_C-二一三=m "&直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于Am+Bn+Cp=0(四)例題【例1-1-8求過兩點(diǎn)Mi(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直線方程。【解(-4,2,1)為直線的方向向量，由直線的對稱式方程得所求直線方程為【例1工9】求直線中=當(dāng)=中和直線5京=彎=爭的夾角口【解】直線L1和L2的方向向量依次為s產(chǎn)(1,-4,1)、&=(2,-2,-1).精品文檔設(shè)直線Li和L2的夾角為中，則oosp -|1-2+(-4)(-2)+(-1)J_/2(-4)2+P7224-(-2)2+(-1)22所以【例1-1-10設(shè)直線L的方程為工一y+母=1,21+y+?=4.則L的參數(shù)方程是工=1-2e產(chǎn)=1-2士(A)=1+£=-1+/Q=1+3上Q=1+3e'm=12ex=1-2/(C>“m1-；(D)|=-l-2一定=1+1志=1+3e【解】由于兩平面的交線L與這兩平面的法線向量j=(1,-1,1),n2=