計(jì)算方法1_緒論與誤差等

1、Numerical Analysis能源與動力工程學(xué)院能源與動力工程學(xué)院 劉火星劉火星 82316418課程介紹課程介紹l 緒論緒論l 誤差分析誤差分析(2)(2)l 線性方程組的解法線性方程組的解法(6)(6)l 常微分方程的初值問題常微分方程的初值問題(6)(6)l 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量(2)(2)l 插值和擬合插值和擬合l 數(shù)值微分和數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分和數(shù)值積分l 非線性方程解法非線性方程解法Course Outlinel數(shù)值分析，顏慶津，北京航空航天大學(xué)出版社，數(shù)值分析，顏慶津，北京航空航天大學(xué)出版社，2002006 6l徐翠薇、孫繩武，計(jì)算方法引論（第二版），徐

2、翠薇、孫繩武，計(jì)算方法引論（第二版），高等教育出版社，高等教育出版社，20022002lRichard L. Burden & J. Douglas Faires, Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis (Seventh Edition), Numerical Analysis (Seventh Edition), 高高等教育出版社，等教育出版社，20012001主要參考書主要參考書成績評定方法成績評定方法l平時成績：平時成績：20%l期末考試期末考試: : 80%先修課程先修課程l高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)l

3、線性代數(shù)線性代數(shù)l程序設(shè)計(jì)語言程序設(shè)計(jì)語言C,C+,Fortran,Matlab,Mathematica1 1 緒論緒論Introduction1.1 1.1 關(guān)于計(jì)算方法關(guān)于計(jì)算方法1.2 1.2 計(jì)算方法的過去和未來計(jì)算方法的過去和未來1.3 1.3 誤差分析誤差分析1.1.4 4 在近似計(jì)算中需要注意的問題在近似計(jì)算中需要注意的問題目次目次現(xiàn)實(shí)中，具體的科學(xué)、工程問題的解決：現(xiàn)實(shí)中，具體的科學(xué)、工程問題的解決：實(shí)際問題實(shí)際問題物理模型物理模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值方法數(shù)值方法計(jì)算機(jī)求解計(jì)算機(jī)求解計(jì)算方法是一種研究并解決計(jì)算方法是一種研究并解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解近似解方法方法

4、 隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，數(shù)值分析方法已深入到計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化法已深入到計(jì)算物理、計(jì)算力學(xué)、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域。學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域。本課僅限介紹最常用的數(shù)學(xué)模型的最基本本課僅限介紹最常用的數(shù)學(xué)模型的最基本的數(shù)值分析方法。的數(shù)值分析方法。1.1 1.1 關(guān)于計(jì)算方法關(guān)于計(jì)算方法 在計(jì)算機(jī)上是否根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程在計(jì)算機(jī)上是否根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程就能得到正確結(jié)果就能得到正確結(jié)果? ?研究例子:求解線性方程組123123123111123611113234121114734560 xxxxxxxxx1231231230 50

5、0 331 80 500 330 251 10 330 250 200 78.xxxxxxxxx如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為 x1 =-6.222 x2 =38.25 x3 =-33.65.準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1lNumerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics -Lloyd N. Trefethenl“計(jì)算方法計(jì)算方法”就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法題的理論和數(shù)值方法計(jì)算方法研究的對象計(jì)算方法研究的對象

6、: 研究數(shù)值方法的研究數(shù)值方法的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)、分析分析和和有關(guān)理論有關(guān)理論基礎(chǔ)與基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)。軟件實(shí)現(xiàn)。F計(jì)算方法又稱：計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值方法、數(shù)值分析等計(jì)算方法又稱：計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值方法、數(shù)值分析等F計(jì)算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計(jì)算幾何、計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計(jì)算幾何、計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)等計(jì)等計(jì)算方法的內(nèi)容計(jì)算方法的內(nèi)容l 連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化l 離散性方程的數(shù)值求解離散性方程的數(shù)值求解 n計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他學(xué)科結(jié)合，利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論學(xué)科結(jié)合，

7、利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，例如：例如：“計(jì)算物理計(jì)算物理” “計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué)”1.2 1.2 計(jì)算方法的過去和未來計(jì)算方法的過去和未來nH. Aiken (1900-1973)n哈佛大學(xué)博士，因做博士論文涉及到空間哈佛大學(xué)博士，因做博士論文涉及到空間電荷傳導(dǎo)問題的計(jì)算，電荷傳導(dǎo)問題的計(jì)算，1937年提出方案，年提出方案，1939年得到年得到IBM資助，資助，1944年建成投入使年建成投入使用。這是繼電式計(jì)算機(jī)用。這是繼電式計(jì)算機(jī)Mark I三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)nJ. W. Mauchl

8、y (1907-1980)n賓夕法尼亞物理博士，因從事天氣預(yù)報需賓夕法尼亞物理博士，因從事天氣預(yù)報需要想設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)，要想設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)，1942年提出計(jì)算機(jī)方案，年提出計(jì)算機(jī)方案，1945年底竣工，這就是世界上第一臺電子年底竣工，這就是世界上第一臺電子計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)ENIAC機(jī)機(jī)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)nJ. Von Neumann (1903-1957)n普林斯頓高級研究所，普林斯頓高級研究所，1945年在普林斯頓年在普林斯頓研制成研制成MANIAC機(jī)，有力地支持美國氫機(jī)，有力地支持美國氫彈研制，稱為計(jì)算機(jī)之父彈研制，稱為計(jì)算機(jī)之父三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師

9、的貢獻(xiàn)n在研制原子彈和氫彈過程中，許多物在研制原子彈和氫彈過程中，許多物理規(guī)律必須通過計(jì)算機(jī)上的計(jì)算摸清理規(guī)律必須通過計(jì)算機(jī)上的計(jì)算摸清楚。計(jì)算物理、理論物理與實(shí)驗(yàn)物理楚。計(jì)算物理、理論物理與實(shí)驗(yàn)物理相輔相成相互促進(jìn)共同發(fā)展，形成現(xiàn)相輔相成相互促進(jìn)共同發(fā)展，形成現(xiàn)代物理學(xué)的三大分支代物理學(xué)的三大分支n由于核武器研制需要，由于核武器研制需要，1950年全球只有年全球只有15臺，到了臺，到了1962年年9月僅美國就有月僅美國就有16187臺計(jì)臺計(jì)算機(jī)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧l1983年一個由美國著名數(shù)學(xué)家拉克斯年一個由美國著名數(shù)學(xué)家拉克斯(P. Lax)為為首的不同學(xué)科的專

10、家委員會向美國政府提出的首的不同學(xué)科的專家委員會向美國政府提出的報告之中，強(qiáng)調(diào)報告之中，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國家安全、科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國家命脈的大事。家命脈的大事。” l1984年美國政府大幅度地增加對科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)年美國政府大幅度地增加對科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持的支持, 新建成五個國家級超級計(jì)算中心（分別新建成五個國家級超級計(jì)算中心（分別在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康奈爾大學(xué)、匹茲堡），配備當(dāng)時最高性能的計(jì)奈爾大學(xué)、匹茲堡），配備當(dāng)時最高性能的計(jì)算機(jī)，建立算機(jī)，

11、建立NSF-net新網(wǎng)絡(luò)新網(wǎng)絡(luò)l 80年代中期我國將年代中期我國將“大規(guī)模科學(xué)與工程計(jì)算大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算”列入國家資助重大項(xiàng)目列入國家資助重大項(xiàng)目l1987年起美國年起美國NSF把把“科學(xué)與工程計(jì)算科學(xué)與工程計(jì)算”、“生物工程生物工程”“”“全局性科學(xué)全局性科學(xué)”作為三大優(yōu)先資作為三大優(yōu)先資助的領(lǐng)域助的領(lǐng)域l由于大存儲的高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)由于大存儲的高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)和技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展：和技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展：大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型的研大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型的研究逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)究逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、人工心

12、瓣膜設(shè)計(jì)等計(jì)、人工心瓣膜設(shè)計(jì)等能獲取和存儲大量的數(shù)據(jù)，并能提取隱秘能獲取和存儲大量的數(shù)據(jù)，并能提取隱秘的信息，如計(jì)算機(jī)層析的信息，如計(jì)算機(jī)層析X射線攝影，核磁射線攝影，核磁共振等共振等l1991年以美國總統(tǒng)倡議的形式提出了年以美國總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能高性能計(jì)算與計(jì)算與通信計(jì)劃通信計(jì)劃”。這是為了保持和提高美國。這是為了保持和提高美國在計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)的所有先進(jìn)領(lǐng)域中的領(lǐng)導(dǎo)地位而在計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)的所有先進(jìn)領(lǐng)域中的領(lǐng)導(dǎo)地位而制定的。計(jì)劃為期五年（制定的。計(jì)劃為期五年（19921996），投資），投資的重點(diǎn)是發(fā)展先進(jìn)的軟件技術(shù)與并行算法，關(guān)的重點(diǎn)是發(fā)展先進(jìn)的軟件技術(shù)與并行算法，關(guān)鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模

13、并行計(jì)算鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模并行計(jì)算l要求到要求到1996年高性能計(jì)算能力提高年高性能計(jì)算能力提高14倍，達(dá)倍，達(dá)到每秒萬億次浮點(diǎn)運(yùn)算速度（到每秒萬億次浮點(diǎn)運(yùn)算速度（1012 Teraops/S）。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通迅能力提高）。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通迅能力提高1百倍，達(dá)到每百倍，達(dá)到每秒秒109位（位（Gigabits/S）l該計(jì)劃中列舉的該計(jì)劃中列舉的“挑戰(zhàn)挑戰(zhàn)”項(xiàng)目有：磁記錄技術(shù)項(xiàng)目有：磁記錄技術(shù)、藥物設(shè)計(jì)、催化、燃燒、海洋模擬、臭氧洞、藥物設(shè)計(jì)、催化、燃燒、海洋模擬、臭氧洞、空氣污染、高速民用運(yùn)輸機(jī)、數(shù)字解剖、蛋、空氣污染、高速民用運(yùn)輸機(jī)、數(shù)字解剖、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、金星成像等白質(zhì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、金星成像等

14、l1993年初美國總統(tǒng)發(fā)布年初美國總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路發(fā)展信息高速公路”（NII）的總統(tǒng)令）的總統(tǒng)令l1994年年4月美國總統(tǒng)發(fā)布月美國總統(tǒng)發(fā)布“建立國家（地球）建立國家（地球）空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)實(shí)施空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)實(shí)施”（NSDI）的總統(tǒng)令）的總統(tǒng)令數(shù)值方法和數(shù)值軟件過去數(shù)值方法和數(shù)值軟件過去50年的主要進(jìn)展年的主要進(jìn)展Before 1940Newtons method; Gaussian elimination; Gauss quadrature; least squares fitting; Adams and Runge-Kutta formulas;Richardson extrapol

15、ation1940-1970floating point arithmetic; Fortran ; finite differences; finite elements; FFT; simplex algorithm; Monte Carlo; orthogonal linear algebra; spline function1970-2000quasi-Newton iterations; adaptivity; stiff ODE solvers; software libraries; Matlab; multigrid; sparse and iterative linear a

16、lgebra; spectral methods; interior point methods計(jì)算數(shù)學(xué)未來計(jì)算數(shù)學(xué)未來50年的展望年的展望l將更多的通過聲音，而不是鍵盤向計(jì)算機(jī)傳遞信將更多的通過聲音，而不是鍵盤向計(jì)算機(jī)傳遞信息，而計(jì)算機(jī)將更多地以圖象而不是數(shù)字反映結(jié)息，而計(jì)算機(jī)將更多地以圖象而不是數(shù)字反映結(jié)果果l數(shù)值計(jì)算將更具有適應(yīng)性、迭代性、靈活性。計(jì)數(shù)值計(jì)算將更具有適應(yīng)性、迭代性、靈活性。計(jì)算能力大得驚人算能力大得驚人l數(shù)值計(jì)算中更具智能性數(shù)值計(jì)算中更具智能性數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件lMATLABMATLABnMATLABMATLAB是建立在向量、數(shù)組和矩陣基礎(chǔ)上是建立在向量、數(shù)組和矩陣基礎(chǔ)上的

17、一種分析和仿真工具軟件包，包含各種的一種分析和仿真工具軟件包，包含各種能夠進(jìn)行常規(guī)運(yùn)算的能夠進(jìn)行常規(guī)運(yùn)算的“工具箱工具箱”，如常用，如常用的矩陣代數(shù)運(yùn)算、數(shù)組運(yùn)算、方程求根、的矩陣代數(shù)運(yùn)算、數(shù)組運(yùn)算、方程求根、優(yōu)化計(jì)算及函數(shù)求導(dǎo)積分符號運(yùn)算等；同優(yōu)化計(jì)算及函數(shù)求導(dǎo)積分符號運(yùn)算等；同時還提供了編程計(jì)算的編程特性，通過編時還提供了編程計(jì)算的編程特性，通過編程可以解決一些復(fù)雜的工程問題；也可繪程可以解決一些復(fù)雜的工程問題；也可繪制二維、三維圖形，輸出結(jié)果可視化。目制二維、三維圖形，輸出結(jié)果可視化。目前，已成為工程領(lǐng)域中較常用的軟件工具前，已成為工程領(lǐng)域中較常用的軟件工具包之一。包之一。 lMATLA

18、BMATLABlMAPLEMAPLElMATLABMATLABlMAPLEMAPLElMATHEMATICMATHEMATICMapleMaple是加拿大滑鐵盧大學(xué)是加拿大滑鐵盧大學(xué)(University of (University of Waterloo)Waterloo)和和Waterloo Maple SoftwareWaterloo Maple Software公司注冊公司注冊的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)的一套為微積分、線性代數(shù)和微分方程等高等數(shù)學(xué)使用的軟件包。它是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的幾個學(xué)使用的軟件包。它是當(dāng)今世界上最優(yōu)秀的幾個數(shù)學(xué)軟件之一，它以良好的使用環(huán)境、強(qiáng)有力的

19、數(shù)學(xué)軟件之一，它以良好的使用環(huán)境、強(qiáng)有力的符號計(jì)算、高精度的數(shù)值計(jì)算、靈活的圖形顯示符號計(jì)算、高精度的數(shù)值計(jì)算、靈活的圖形顯示和高效的編程功能，為越來越多的教師、學(xué)生和和高效的編程功能，為越來越多的教師、學(xué)生和科研人員所喜愛，并成為他們進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的工科研人員所喜愛，并成為他們進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的工具。具。MapleMaple軟件適用于解決微積分、解析幾何、線軟件適用于解決微積分、解析幾何、線性代數(shù)、微分方程、計(jì)算方法、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)性代數(shù)、微分方程、計(jì)算方法、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支中的常見計(jì)算問題。分支中的常見計(jì)算問題。 MathematicaMathematica是目前比較流行的符號運(yùn)算是目前比較流

20、行的符號運(yùn)算軟件之一，它不僅可以完成微積分、線性軟件之一，它不僅可以完成微積分、線性代數(shù)及數(shù)學(xué)各個分支公式推演中的符號演代數(shù)及數(shù)學(xué)各個分支公式推演中的符號演算，而且可以數(shù)值求解非線性方程、優(yōu)化算，而且可以數(shù)值求解非線性方程、優(yōu)化等問題。它不僅是數(shù)學(xué)建模的得力助手，等問題。它不僅是數(shù)學(xué)建模的得力助手，也是大學(xué)數(shù)學(xué)教育和科學(xué)研究不可或缺的也是大學(xué)數(shù)學(xué)教育和科學(xué)研究不可或缺的工具。工具。n原始誤差原始誤差模型誤差模型誤差（忽略（忽略次要因素次要因素，物理模型，物理模型，數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型）n計(jì)算誤差計(jì)算誤差舍入誤差舍入誤差（計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)表示方法（計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)表示方法造成）造成）n方法誤差方法誤差截?cái)嗾`差

21、截?cái)嗾`差（算法（算法本身造成）本身造成）1.3 1.3 誤差分析誤差分析 計(jì)算機(jī)字長有限導(dǎo)致實(shí)數(shù)不能精確存儲，于是產(chǎn)生計(jì)算機(jī)字長有限導(dǎo)致實(shí)數(shù)不能精確存儲，于是產(chǎn)生舍入誤差舍入誤差。例如：在例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：位十進(jìn)制數(shù)限制下： 130.3333333333 本應(yīng)本應(yīng)130.3333333333 1.0000022-1.000004=0 本應(yīng)本應(yīng)1.0000022-1.000004 =1.0000040000 04-1.000004 =0.0000000000 04 舍入誤差舍入誤差(Round-off Errors)0000333.0313333.000001356.024142.1

22、0000074.01416.34,33333.031,41421356.12,1415926.31.1121 位小數(shù)，則位小數(shù)，則若在計(jì)算機(jī)上只能取若在計(jì)算機(jī)上只能取例例舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過程中是否舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過程中是否能有效控制。能有效控制。用近似的值去代替數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)確值帶來的誤差。用近似的值去代替數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)確值帶來的誤差。例如：例如： 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) 零階近似零階近似 : : 一階近似一階近似 : : 二階近似二階近似 : : 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差(Truncation Error )完全的泰勒級數(shù)完全的泰勒級數(shù): : 余項(xiàng)余項(xiàng) (n(n階近似階近似)

23、:) : : 介于介于 xi and xi+1 x = xi+1- xi余項(xiàng)：余項(xiàng)：Taylor Taylor 級數(shù)表示為級數(shù)表示為: : 截去的部分截去的部分 零階近似零階近似 : : 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 : : 一階近似一階近似 Rn :零階近似零階近似 R Rn n : :斜率斜率 : :誤差誤差 誤差限誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字Def若用若用x*表示表示x準(zhǔn)確值的一個近似值。則此近準(zhǔn)確值的一個近似值。則此近似值似值x*和準(zhǔn)確值和準(zhǔn)確值x的差稱為誤差，用的差稱為誤差，用e*來表示來表示e*x*xDef若若|e*|x*x|*稱為近似值稱為近似值x*的誤差限。的誤差限。例例1.2已知已知x*=3

24、.14159，求近似值，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的誤差限。的誤差限。解解 000008.0000007.01416.3x0005.000041.0142.3x002.000159.014.3x321 所以誤差限所以誤差限1=0.002，2=0.0005，3=0.000008 有效數(shù)字有效數(shù)字Def若若x的近似值的近似值x*的誤差限是某一位上的半個單的誤差限是某一位上的半個單位，該位到位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱位，則稱x*有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字若用若用x*表示表示x的近似值，并將的近似值，并將x*表示成表示成x*0.a

25、1a2an10m若若|x*x|0.510mn則近似值則近似值x*有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字(1.1) 例例1.3 設(shè)設(shè)x*=0.0270是某數(shù)是某數(shù)x經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得所得，則誤差，則誤差|e(x*)|不超過不超過x*末位的半個單位，即：末位的半個單位，即：|x*x|0.510 -4 又又 x*= =0.2710-1 , ,故該不等式又可寫為故該不等式又可寫為|x*x|0.510 -1-3由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知, , x*有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,分別是分別是2,72,7，0 0。 例例1.4 設(shè)設(shè)x32.93,x*32.89, ,則則|x*x|0.040.0

26、50.510-1即即|x*x|0.5102-3由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知, , x*有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,分別是分別是3,2,83,2,8。由于由于x*中的數(shù)字中的數(shù)字9 9不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù)字，故x*不是有效數(shù)。不是有效數(shù)。1.3 相對誤差和絕對誤差相對誤差和絕對誤差xx*xx*e*er 設(shè)設(shè) x準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 x* 近似值近似值稱稱為近似值為近似值x* 的相對誤差的相對誤差實(shí)用中，常用實(shí)用中，常用*xx*x*x*e*er 表示近似值表示近似值x* 的相對誤差，稱的相對誤差，稱*x*r 為相對誤差限為相對誤差限相應(yīng)的，相應(yīng)的，e*稱稱為絕對誤差，為絕對誤差，稱為

27、絕對誤差稱為絕對誤差限限有效數(shù)位與誤差的關(guān)系有效數(shù)位與誤差的關(guān)系位位有有效效數(shù)數(shù)字字至至少少具具有有則則反反之之，若若n*x10)1a(21*en11r n11r10a21*e 有效數(shù)位有效數(shù)位n n越多，則絕對誤差越多，則絕對誤差| |e*| |越小越小形如形如(1.1)式的式的近似數(shù)近似數(shù)x*具有具有n位有效數(shù)字，則位有效數(shù)字，則其相對誤差限可取為其相對誤差限可取為基本算術(shù)運(yùn)算基本算術(shù)運(yùn)算設(shè)設(shè)x*和和y*分別是分別是x和和y的近似值，把它們的誤差近似地的近似值，把它們的誤差近似地看做是相應(yīng)地微分，即看做是相應(yīng)地微分，即dx x*x， dy y*y則則d（xy）dx dyd（xy）xdy y

28、dxd（x/y）（xdyydx ）/y2 誤差傳播誤差傳播(1.3)和和(1.4)給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。的誤差的近似式（誤差傳播）。*)x(e*)x(f)x*x)(! 2/)(f ()x*x*)(x(f)x( f*)x( fy*y*)y(e2 一元函數(shù)一元函數(shù)設(shè)設(shè)yf(x)，若若x的近似值是的近似值是x*，用用f(x*) 去近似去近似f(x)的誤的誤差可用差可用Taylor公式估計(jì)公式估計(jì)*)x(e*x*)x( f*)x(f*)e(x*)x( f*)x(f*y*)y(e*)y(e*)x( f*yrr 得得兩兩邊邊除除以以(1

29、.3)(1.4)多元函數(shù)情形多元函數(shù)情形*)x,*,x*,x( f*y)x,x,x( fyn21n21 則則*)x(e*)x,*,x*,x(f*)y(ein21n1ii *)x(e*x*)x,*,x*,x( f*)x,*,x*,x(f*)y(eirin21n21in1ir 可可得得中中，分分別別取取在在式式2/1,21,2121xxxxxx)x,x( f)6 . 1 ( )7.1()x,x(xemaxxxe21)i(r2i1)21(r*同同號號 )2(r)1(r)21(r*xexexxe )x(exexexexxe*2r)1(r)2(r)1(r)*2*1(r* 由多元函數(shù)的由多元函數(shù)的Tayl

30、orTaylor展開公式類似可得展開公式類似可得 (1.5) (1.6) (1.8) (1.9) 例例1.5 測得某桌面的長測得某桌面的長a的近似值的近似值a*=120cm, ,寬寬b的近的近似值似值b*=60cm。若已知。若已知|e(a*)|0.2cm, , |e(b*)|0.1cm。 試求近似面積試求近似面積s*=a*b* 的絕對誤差限與相對誤差限的絕對誤差限與相對誤差限。2cm241.01202.060|*)b(e|*a|*)a(e|*b|*)s(e|*)b(e*a*)a(e*b*)b(eb*)b*,a(s*)a(ea*)b*,a(s*)s(e 解解: 面積面積s=ab,在公式在公式（1.5）中中,將將y=f(x1,x2) 換為換為 s=ab, 則則相對誤差限為相對誤差限為%33.06012024*s*)s(e|*)s(e|r 1.4 在近似計(jì)算中需要注意的問題在近似計(jì)算中需要注意的問題（1 1）盡量簡化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù)盡量簡化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù) 例