人教版八年級(jí)上冊(cè)整式的乘法及因式分解單元總結(jié)與歸納

1、因式分解的十二種方法 : 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下：1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應(yīng)用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系,如果把乘法公式反過(guò)來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題) a +4ab+4b

2、=（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式,如果a×b=m,c&

3、#215;d=q且ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式,有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8

4、)(x-5) 6、拆、添項(xiàng)法 可以把多項(xiàng)式拆成若干部分,再用進(jìn)行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時(shí)在分解因式時(shí),可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最后再轉(zhuǎn)換回來(lái). 例7、分解因式

5、2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解

6、為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通過(guò)綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1 則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法 令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x

7、-6 令y= x +2x -5x-6 作出其圖象,見(jiàn)右圖,與x軸交點(diǎn)為-3,-1,2 則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個(gè)字母為主元,然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解. 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b

8、-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時(shí)的值 則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）

9、（x+5） 12、待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式. 設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.如果一

10、個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式,多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的.如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的,一般要提出“-”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù).提出“-”號(hào)時(shí),多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)運(yùn)用公式法如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以把某些多項(xiàng)式分解因式,這種方法叫運(yùn)用公式法.

11、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2abb2(a±b)2；注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式,另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b3ab2±b3=(a±b)3a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2分組分解法把一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后,再進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法.用分組分解法時(shí),一定要想想分組后能

12、否繼續(xù)完成因式分解,由此選擇合理選擇分組的方法,即分組后,可以直接提公因式或運(yùn)用公式. 例如：m2+5n-mn-5m=m2-5m -mn+5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）,使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意,必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca

13、(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)十字相乘法這種方法有兩種情況.x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此,可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時(shí),那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)圖示如下：×c d&#

14、160;例如：因?yàn)? -3 ×7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類,類似于十字相乘法.雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式,啟始的式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y為未知數(shù),其余都是常數(shù)用一道例題來(lái)說(shuō)明如何使用.例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式,可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解.圖如下,把所有的數(shù)字交叉相連即可x 2y

15、2 x 3y 6原式=(x+2y+2)(x+3y+6)雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2次項(xiàng),如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng).如十字相乘圖中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；因式分解的十二種方法 : 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式. 例1、 分解因式x -2x -

16、x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應(yīng)用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系,如果把乘法公式反過(guò)來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題) a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n

17、-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法 對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式,有的可

18、以利用將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5)6、拆、添項(xiàng)法 可以把多項(xiàng)式拆成若干部分,再用進(jìn)行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a

19、+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時(shí)在分解因式時(shí),可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最后再轉(zhuǎn)換回來(lái). 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x 2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-

20、5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通過(guò)綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1 則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法 令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 令y= x +2x -5x-6 作出其圖象,見(jiàn)右圖,與x軸交點(diǎn)為-3,-1,2 則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個(gè)字母為主元,然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解. 例10、分解因式a (b-