數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)

1、0348數(shù)理統(tǒng)計 第一次作業(yè)1 論述題 從一批機器零件毛坯中隨機抽取8件，測得其重量（單位：kg）為：230，243，185，240，228，196，246，200。（1）寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量；（2）求樣本的均值，方差及二階原點距。2 設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中已知，未知，是來自總體的簡單隨機樣本。（1）寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）指出之中哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量。3 設(shè)總體X服從兩點分布B（1，p），其中p是未知參數(shù)，是來自總體的簡單隨機樣本。指出之中哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量，為什么？4 設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，分布密度為求和.5 設(shè)總體X服從，樣本來自總體X, 令

2、, 求常數(shù)C，使CY服從-分布。6 設(shè)總體X服從，是取自總體X的簡單隨機樣本，為樣本均值，分別是樣本方差和樣本修正方差，問下列統(tǒng)計量各服從什么分布。7 設(shè)總體X服從，和為樣本均值和樣本修正方差，又有服從，且與相互獨立，試求統(tǒng)計量服從什么分布。 參考答案：1 解：（1）總體為該批機器零件重量X，樣本為，樣本值為230，243，185，240，228，196，246，200，樣本容量為n=8； （2） , , .2 解：（1）因為X服從正態(tài)分布，而是取自總體X的樣本，所以有服從，即 故樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為。（2）都是統(tǒng)計量，因為它們均不包含任何未知參數(shù)，而不是統(tǒng)計量。3 解：都是統(tǒng)計量，

3、不是統(tǒng)計量，因p是未知參數(shù)。.5 解： 因為樣本獨立同分布，所以服從，服從，同理服從, 因此服從，服從，且兩者相互獨立，由-分布的可加性，知Y/3服從，所以取C=1/3。6 解：由定理1.3.6知, 服從自由度為n-1的-分布，由定理1.3.6的系1得服從自由度為n-1的t-分布，由服從, 可得服從, 服從, 由于相互獨立因此由-分布的可加性，得服從自由度為n的-分布。7 解：由服從，服從，服從，服從，又由服從自由度為n-1的-分布，由定理1.3.6知與相互獨立，而與相互獨立，因此與相互獨立。注意t分布的定義服從自由度為n-1的t-分布。由服從，服從，又由定理1.3.6知服從自由度為n-1的-

4、分布，由前同理可知與相互獨立。注意F分布的定義服從自由度為（1，n-1）的F-分布。第二次作業(yè)論述題 1 隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（以mm計）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求總體均值及方差2的矩估計，并求樣本方差S2。2 設(shè)總體X的概率密度為，其中為未知參數(shù)，樣本來自總體X，求未知參數(shù)的矩法估計與極大似然估計。3 求均勻分布中參數(shù)的極大似然估計4 設(shè)連續(xù)型總體X的概率密度為, 來自總體X的一個樣本，求未知參數(shù)的極大似然估計量，并討論的無偏性。  參考答案：1 解：，2的矩估計是 。2 解：首先求數(shù)

5、學期望 從而解方程 得的矩法估計為.似然函數(shù)為,令 , 解得的極大似然估計為.3 解：先寫出似然函數(shù) 似然函數(shù)不連續(xù)，不能用似然方程求解的方法，只有回到極大似然估計的原始定義，由似然函數(shù)，注意到最大值只能發(fā)生在 時；而欲最大，只有使最小，即使盡可能小，盡可能大，只能取=，=4 解：似然函數(shù)為，令，得.由于，因此的極大似然估計量是的無偏估計量。第三次作業(yè)論述題 1設(shè)是取自正態(tài)總體的一個容量為2的樣本，試證下列三個估計量都是的無偏估計量：, 并指出其中哪一個估計量更有效。2設(shè)是取自正態(tài)總體的一個樣本，試證是的相合估計。3 隨機地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計）為 2.14 2.10

6、2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11設(shè)釘長服從正態(tài)分布，試求總體均值的0.9的置信區(qū)間。（1）若已知=0.01（厘米），（2）若未知。4 某農(nóng)場為了試驗磷肥與氮肥是否提高水稻收獲量，任選試驗田18塊，每塊面積1/20畝進行試驗，試驗結(jié)果：不施肥的10塊試驗田的收獲量分別為8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（單位：市斤），其余8塊試驗田在插種前施加磷肥，播種后又追施三次氮肥，其收獲量分別為12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.

7、5，10.6，12.2。假定施肥與不施肥的收獲量都服從正態(tài)分布，且方差相等，試在置信概率0.95下，求每1/20畝的水稻平均收獲量施肥比不施肥增產(chǎn)的幅度。  參考答案：1 解：由于，且獨立，故有故它們均為的無偏估計，而又由于1/2<5/9<5/8，所以第三個估計量更有效。2 證明：由于 服從自由度為n-1的-分布，故，從而根據(jù)車貝曉夫不等式有，所以是的相合估計。3 解：（1），置信度0.9，即=0.1，查正態(tài)分布數(shù)值表，知, 即,從而，所以總體均值的0.9的置信區(qū)間為.（2）未知,置信度0.9，即=0.1，自由度n-1=15， 查t-分布的臨界值表所以置信度為

8、0。9的的置信區(qū)間是4 解：設(shè)正態(tài)總體X,Y分別表示施肥和不施肥的每1/20畝的水稻收獲量，據(jù)題意，有 對1-=0.95，即=0.05，查t分布表（自由度為n+m-2=16），得，于是 所以在置信概率0.95下，求每1/20畝的水稻平均收獲量施肥比不施肥增產(chǎn)0.6到2.8市斤。第四次作業(yè)論述題 1 某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布，某日開工后，隨機抽查10箱，重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，問包裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學期望與100有顯著差異（給定水平=0.0

9、5，并認為該日的仍為1.15）？2 設(shè)某包裝食鹽的機器正常工作時每袋食鹽的標準重量為500克，標準差不得超過10克，某天開工后從包裝好的食鹽中隨機抽取9袋，測得其凈重如下（單位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 . 問此時包裝機工作是否正常? 3 由累積資料知道甲、乙兩煤礦的含灰率分別服從. 現(xiàn)從兩礦各抽n=5, m=4個試件，分析其含灰率為(%)甲礦24.320.823.721.317.4乙礦18.216.920.216.7 問甲、乙兩礦所采煤的含灰率的數(shù)學期望有無顯著差異（顯著水平=0.05）？4 兩臺車

10、床生產(chǎn)同一種滾珠（滾珠直徑按正態(tài)分布見下表），從中分別抽取8個和9個產(chǎn)品，比較兩臺車床生產(chǎn)的滾珠直徑的方差是否相等（=0.05）？甲床15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8 乙床15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8 5 自某種銅溶液測得9個銅含量的百分比的觀察值為8.3，標準差為0.025。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平檢驗假設(shè)：。  參考答案：1 解：以該日每箱重量作為總體X，它服從，問題就歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對方差已知的單個正態(tài)總體檢驗，可采用U-檢

11、驗法。由所給樣本觀察值算得，于是，對于=0.05，查標準正態(tài)分布表得，因為，所以接受，即可以認為該日每箱重量的數(shù)學期望與100 無顯著差異，包裝機工作正常。2 解：，選取檢驗統(tǒng)計量：，計算得，在n=9,=0.05時，。拒絕域，因此此時包裝機工作是否正常。3 解：分別以甲乙兩礦所采煤的含灰率作為總體X和總體Y，問題歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對方差已知的兩個正態(tài)總體檢驗，可采用U-檢驗法。由所給樣本觀察值算得, 于是,對于=0.10，查標準正態(tài)分布表得, 因為, 所以拒絕，即可以認為有顯著差異。4 解: 已知n=8，m=9，=0.05，假設(shè)，=0.05，/2=0.025，第一自由度n-1=7，第二

12、自由度m-1=8，在成立的條件下選取統(tǒng)計量服從自由度分別為7，8的F分布查表：, 因為F=3.69<4.53,所以接受假設(shè)，即可以認為兩臺車床生產(chǎn)的滾珠直徑的方差相等。5 解：這是一個方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗，屬于左邊檢驗問題，檢驗統(tǒng)計量為。代入本題具體數(shù)據(jù)，得到。檢驗的臨界值為。因為，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，即認為銅含量顯著地小于8.42%。第五次作業(yè)論述題 1、設(shè)，作3次觀察有相互獨立，且服從，試求的最小二乘估計量。2、設(shè), 相互獨立，且服從. （1）寫出矩陣X；（2）求的最小二乘估計；（3）證明當時，與的最小二乘估計不變。  參考答案：1 解：

13、據(jù)題設(shè)，由于，從而，正規(guī)方程，即,所以.2 解：（1）由已知；（2）則的最小二乘估計是.（3）若，則此時模型變成：, 那么此時對應(yīng)的而與的最小二乘估計為與（2）中求得的完全一致。1、設(shè)總體服從泊松分布P（），是一樣本：（1）寫出的概率分布；（2）計算；（3）設(shè)總體容量為10的一組樣本觀察值為（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）試計算樣本均值, 樣本方差和次序統(tǒng)計量的觀察值。2、設(shè)總體X服從，樣本來自總體X, 令, 求常數(shù)C，使CY服從-分布。3、已知隨機變量X服從t分布，自由度為n，證明隨機變量F= 服從F分布，自由度為（1，n）。4、設(shè)總體X服從，和為樣本均值和樣本修正方差，又有服從，

14、且與相互獨立，試求統(tǒng)計量服從什么分布。1、解（1）因為所以的概率分布為（2）因為，所以（3）將樣本觀察值依照從小到大的順序排列即得順序統(tǒng)計量的觀察值如下：（1，2，3，3，4，4，4，5，6，8）。2、解： 因為樣本獨立同分布，所以服從，服從，同理服從, 因此服從，服從，且兩者相互獨立，由-分布的可加性，知Y/3服從，所以取C=1/3。3、證明：由題設(shè)知，隨機變量X可以表示為，其中U服從，服從自由度為n的-分布，且U與相互獨立。其次服從自由度為1的-分布，于是F= 可表示為，故隨機變量F= 服從F分布，自由度為（1，n）。4、解：由服從，服從，服從，服從，又由服從自由度為n-1的-分布，由定理

15、1.3.6知與相互獨立，而與相互獨立，因此與相互獨立。注意t分布的定義服從自由度為n-1的t-分布。由服從，服從，又由定理1.3.6知服從自由度為n-1的-分布，由前同理可知與相互獨立。注意F分布的定義服從自由度為（1，n-1）的F-分布。1、設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，分布密度為求和.2、設(shè)總體X服從a，b上的均勻分布其中a，b為兩個未知參數(shù)，樣本來自總體X，求未知參數(shù)a，b的矩法估計。3、求均勻分布中參數(shù)的極大似然估計4、設(shè)連續(xù)型總體X的概率密度為, 來自總體X的一個樣本，求未知參數(shù)的極大似然估計量，并討論的無偏性。5、設(shè)是取自具有下列指數(shù)分布的一個樣本，證明是的無偏、相合、有效估計。1、

16、解：由于，所以；2、解：由X服從a，b上的均勻分布，易知 求a，b的矩法估計量只需解方程, 得3、解：先寫出似然函數(shù) 似然函數(shù)不連續(xù)，不能用似然方程求解的方法，只有回到極大似然估計的原始定義，由似然函數(shù)，注意到最大值只能發(fā)生在 時；而欲最大，只有使最小，即使盡可能小，盡可能大，只能取=，=4、解：似然函數(shù)為，令，得.由于，因此的極大似然估計量是的無偏估計量。5、證明：首先由于，故，即樣本均值是的無偏估計。又所以，故.而， 故C-R下界為，因此樣本均值是的有效估計另外由車貝曉夫不等式, 所以樣本均值還是的相合估計。1、 隨機地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計）為 2.14 2.10

17、2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11設(shè)釘長服從正態(tài)分布，試求總體均值的0.9的置信區(qū)間。（1）若已知=0.01（厘米），（2）若未知。2、隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差為11（米/秒）。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈速度的標準差的0.9的置信區(qū)間。3、設(shè)A，B二化驗員獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定，其測量值的修正方差分別為，設(shè)和分別為所測量的數(shù)據(jù)總體（設(shè)為正態(tài)總體）的方差，求方差比的0.95的置信區(qū)間。4、設(shè)總體X服從均勻分布U0，其中為未知參數(shù)

18、，樣本來自總體X, ，試在置信概率1-下，利用，求的形如0，z的置信區(qū)間。5、為了檢驗?zāi)乘幬锸欠駮淖內(nèi)说难獕?，挑選10名試驗者，測量他們服藥前后的血壓，如下表所列：編號12345678910服藥前血壓134122132130128140118127125142服藥后血壓140130135126134138124126132144假設(shè)服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗水平為0.05，從這些資料中是否能得出該藥物會改變血壓的結(jié)論？1、解：（1），置信度0.9，即=0.1，查正態(tài)分布數(shù)值表，知, 即,從而，所以總體均值的0.9的置信區(qū)間為.（2）未知,置信度0.9，即=0.1，自由度n-1

19、=15， 查t-分布的臨界值表所以置信度為 0。9的的置信區(qū)間是2解：s=11置信度0.9，即=0.1，自由度n-1=8，查分布的臨界值表，得，所以，置信度為0.9的炮口速度的標準差的置信區(qū)間是3、解：n=m=10, 1-=0.95，=0.05, ,從而故方差比的0.95的置信區(qū)間為0.222，3.601。4、解：因為服從均勻分布0，1（i=1，2，n），它們的分布函數(shù)為，于是Y的分布函數(shù)為，密度函數(shù)為，對給定的置信概率1-，由，即，定出，即有，即是說，是在置信概率1-下的置信區(qū)間。5、解：以X記服藥后與服藥前血壓的差值，則X服從，其中均未知，這些資料中可以得出X的一個樣本觀察值：6 8 3

20、-4 6 -2 6 -1 7 2 待檢驗的假設(shè)為 這是一個方差未知時，對正態(tài)總體的均值作檢驗的問題，因此用t檢驗法當時，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。依次計算有 ，由于， T的觀察值的絕對值. 所以拒絕原假設(shè)，即認為服藥前后人的血壓有顯著變化。1、 某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布，某日開工后，隨機抽查10箱，重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，問包裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學期望與100有顯著差異（給定水平=0.05，并認為該日的仍為1.15）？2、 設(shè)某包裝食鹽

21、的機器正常工作時每袋食鹽的標準重量為500克，標準差不得超過10克，某天開工后從包裝好的食鹽中隨機抽取9袋，測得其凈重如下（單位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 . 問此時包裝機工作是否正常? 3、某種標準類型電池的容量（以安-時計）的標準差，隨機地取10只新類型的電池測得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知，問標準差是否有變動，即需檢驗假設(shè)（取）：。4、為了檢驗?zāi)乘幬锸欠駮淖內(nèi)说难獕海暨x10名試驗者，測量他們服藥前后的血壓，如下表

22、所列：編號12345678910服藥前血壓134122132130128140118127125142服藥后血壓140130135126134138124126132144假設(shè)服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗水平為0.05，從這些資料中是否能得出該藥物會改變血壓的結(jié)論？5、由累積資料知道甲、乙兩煤礦的含灰率分別服從. 現(xiàn)從兩礦各抽n=5, m=4個試件，分析其含灰率為(%)甲礦24.320.823.721.317.4乙礦18.216.920.216.7 問甲、乙兩礦所采煤的含灰率的數(shù)學期望有無顯著差異（顯著水平=0.05）？1、解：以該日每箱重量作為總體X，它服從，問題就歸

23、結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對方差已知的單個正態(tài)總體檢驗，可采用U-檢驗法。由所給樣本觀察值算得，于是，對于=0.05，查標準正態(tài)分布表得，因為，所以接受，即可以認為該日每箱重量的數(shù)學期望與100 無顯著差異，包裝機工作正常。2、解：，選取檢驗統(tǒng)計量：，計算得，在n=9,=0.05時，。拒絕域，因此此時包裝機工作不正常。3、解：這是一個正態(tài)總體的方差檢驗問題，屬于雙邊檢驗問題。檢驗統(tǒng)計量為。代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到。檢驗的臨界值為。因為，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認為電池容量的標準差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。4、解：以X記服藥后與服藥前血壓的差值，則X服從，其中均未知，這些資

24、料中可以得出X的一個樣本觀察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2 待檢驗的假設(shè)為 這是一個方差未知時，對正態(tài)總體的均值作檢驗的問題，因此用t檢驗法當時，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。依次計算有 ，由于， T的觀察值的絕對值. 所以拒絕原假設(shè)，即認為服藥前后人的血壓有顯著變化。5、解：分別以甲乙兩礦所采煤的含灰率作為總體X和總體Y，問題歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對方差已知的兩個正態(tài)總體檢驗，可采用U-檢驗法。由所給樣本觀察值算得, 于是,對于=0.10，查標準正態(tài)分布表得, 因為, 所以拒絕，即可以認為有顯著差異。1、統(tǒng)計了日本西部地震在一天中發(fā)生的時間段，共觀察了527次地震，這些地震在一天中的四個時間段的分布如下表時間段0點6點 6點12點 12點18點 18點24點次 數(shù)123 135 141 128試取檢驗假設(shè)：地震在各個時間段內(nèi)發(fā)生時等可能的。2、為了研究患慢性支氣管炎與吸煙量的關(guān)系，調(diào)查了272個人，結(jié)果如下表：  吸煙量（支/日） 求和09 1019 20 患者數(shù)非患者數(shù)求和22224498