含參不等式恒成立問題

1、不等式中恒成立問題的解法研究在不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當(dāng)一個結(jié)論對于某一個字母的某一個取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的根本類型：類型1：設(shè)，1上恒成立；2上恒成立。類型2：設(shè)1當(dāng)時，上恒成立，上恒成立2當(dāng)時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的根本思路是：根據(jù)條件將恒成立問題向根本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對于一次函數(shù)有：例1：假設(shè)不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的方法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，那么時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次

2、函數(shù)的判別式 對于一元二次函數(shù)有：1上恒成立；2上恒成立例2：假設(shè)不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。1當(dāng)m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；2時，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值或值域1對任意x都成立；2對任意x都成立。簡單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：1求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，

3、那么答案又如何呢？請看下題：2求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真比照上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫別離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，那么由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中

4、恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處從相等處開始形成的。例6：假設(shè)當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時，不等式恒成立，那么c的取值范圍是 A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，應(yīng)選D。 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實(shí)，對于恒成立問題，有時關(guān)鍵是能否看得出來題就是關(guān)

5、于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，那么實(shí)數(shù)a的范圍是_。4、不等式： 對一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程、“化歸與轉(zhuǎn)化、“數(shù)形結(jié)合、“分類討論等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類

6、問題的一般求解策略。一、判別式法假設(shè)所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，那么可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1對恒成立; 2對恒成立 例1函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。假設(shè)二次不等式中的取值范圍有限制，那么可利用根的分布解決問題。例2設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，那么當(dāng)時，恒成立Oxyx-1當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1恒成立2恒成立例3，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

7、范圍。解：設(shè)，那么由題可知對任意恒成立令，得而即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，假設(shè)對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：假設(shè)對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：此題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、別離變量法假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元別離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1恒成立2恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5函數(shù)時恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范

8、圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，那么由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：別離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，假設(shè)能適時的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但假設(shè)把看成主元，那么問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，那么原問題轉(zhuǎn)化為恒成立。 當(dāng)時，可得，不合題意。當(dāng)時，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，這

9、充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7設(shè) , ,假設(shè)恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如下圖，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，那么圓心到直線的距離滿足 解得舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬變，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)。含參不等式恒成立問題中，求參數(shù)取值范圍一般方法恒成立問題是數(shù)學(xué)中常見問

10、題，也是歷年高考的一個熱點(diǎn)。大多是在不等式中，一個變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 別離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過恒等變形別離出參數(shù)，即：假設(shè)恒成立，只須求出，那么；假設(shè)恒成立，只須求出，那么，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例1、函數(shù)，假設(shè)對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，那么當(dāng)時， 所以 在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，那么可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：假設(shè)恒成立，只須求出，那么，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍；假設(shè)恒成立，只須求出，那么，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍，問題還是

11、轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例2、時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，那么可利用分類討論的思想來解決。例3、假設(shè)時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，那么問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時， 又 （3） 當(dāng) 即：時， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元未知數(shù)，而把另一個變量看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把取值范圍的變量作為主元，把要求取值范

12、圍的變量看作參數(shù)，那么可簡化解題過程。例4、假設(shè)不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對滿足的，恒成立， 解得：四、 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，假設(shè)能解出取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，那么且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。例5、當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時，那么問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時，那么問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或五、 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個函數(shù)，且正確作出兩個函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象特別是交點(diǎn)時的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式。例6、假設(shè)不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意

13、知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時，假設(shè)函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時，由圖可知，的圖象必須過點(diǎn)或在這個點(diǎn)的上方，那么， 綜上得：上面介紹了含參不等式中恒成立問題幾種解法，在解題過程中，要靈活運(yùn)用題設(shè)條件綜合分析，選擇適當(dāng)方法準(zhǔn)確而快速地解題。含參數(shù)不等式恒成立問題的解題策略專題探究一、教學(xué)目標(biāo)：理解含參不等式恒成立問題特征；能充分利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想解決含參不等式恒成立問題；培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問題的能力。二、教學(xué)方法：啟發(fā)、探究三、教學(xué)過程：通過含參數(shù)不等式恒成立問題的求解，通過變式、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探究解題策略，培養(yǎng)

14、學(xué)生利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題的意識。例題1：不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式：不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題2：不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式1：不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式2：不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題3：當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)1：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)2：對于滿足的所有實(shí)數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍。思考：1、假設(shè)不等式對滿足的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2、設(shè)，假設(shè)滿足不等式的一切實(shí)數(shù)，能使不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立

15、問題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學(xué)實(shí)踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范圍.解析 此題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a0時是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+

16、2x-1)a-4x+3在a-1,1時，g(a)>0恒成立，那么，得.點(diǎn)評 對于含有兩個參數(shù)，且一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點(diǎn)分布策略例2 ，假設(shè)恒成立，求a的取值范圍.解析 此題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數(shù)最值策略 例3 ，假設(shè)恒成立，求a的取值范圍. 解析 此題

17、可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.假設(shè)恒成立或或，即a的取值范圍為.點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.此題也可以用零點(diǎn)分布策略求解.4 變量別離策略 例4 函數(shù)，假設(shè)在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 此題等價(jià)于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量別離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),那么,即x=1時, k的取值范圍是k>2.變式 假設(shè)此題中將改為，其余條件不變，那么也可以用變量別離法解.由題意得，對于恒成

18、立對于恒成立,令,設(shè),那么，, k的取值范圍是k>. 點(diǎn)評 此題通過變量別離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，此題構(gòu)造的函數(shù)求最值對學(xué)生來說有些難度，但通過換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對勾函數(shù)，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型，從而求得最值.此題也可以用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解.5 數(shù)形結(jié)合策略例5 設(shè)函數(shù),假設(shè)恒有成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 由題意得,令,.可化為，它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如下圖)當(dāng)直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是xyO點(diǎn)評 此題通過對不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來求參數(shù)的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.6 消元轉(zhuǎn)化策略 例6 f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,假設(shè)，假設(shè)對于所有的恒成立，