人教版高中數(shù)學(xué)必修四平面向量導(dǎo)學(xué)案

1、第二章平面向量重點(diǎn)深化|b|;(3)a、b反向,且|a|b|;(2)a、b同向,且|a|v|b|;(3)a、b反向.iaabbrfi(D(2)(3)作法在平面上任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,那么前=ab.事實(shí)上ab可看作是a+(b),根據(jù)這個(gè)理解和a+b的作圖方法不難作出a-b,作圖如下：(1)、向量a、b不共線(xiàn)如果向量不共線(xiàn),可以應(yīng)用三角形法那么或平行四邊形法那么作圖例3如圖,向量a、b.求作：a+b;(2)a-b.作法1(應(yīng)用三角形法那么)(1)一般情況下,應(yīng)在兩向量所在的位置之外任取一點(diǎn)O.第一步：作OA=a,方法是將一個(gè)三角板的直角邊與a重合,再將直尺一邊與三角板的另一直角邊重合,

2、最后將三角板拿開(kāi),放到一直角邊過(guò)點(diǎn)O,一直角邊與直尺的一邊重合的位置,在此根底上取|OA|=|a|,并使OA與a同向.第二步：同第一步方法作出AB=b,一定要保證方向相同且長(zhǎng)度相等.(此處最易錯(cuò)的是把AB作成與b的方向相反.)第三步：作Ofe,即連接OB,在B處打上箭頭,OB即為a+b.作圖如下：(2)第一步：在平面上a,b位置之外任取一點(diǎn)O;第二步：依照前面方法過(guò)O作OA=a,Ofe=b;第三步：連接AB,在A處加上箭頭,向量BA即為a-b.作圖如下：點(diǎn)評(píng)向量加法作圖的特點(diǎn)是首尾相接,首尾連；向量減法作圖的特點(diǎn)是共起點(diǎn),連終點(diǎn),箭頭指被減.作法2(應(yīng)用平行四邊形法那么)在平面上任取一點(diǎn)A,以

3、點(diǎn)A為起點(diǎn)作AB=a,AD=b,以AB,AD為鄰邊作？ABCD,那么At=a+b,DB=ab.作圖如下:HD點(diǎn)評(píng)向量的平行四邊形法那么和三角法那么在本質(zhì)上是一樣的,但在解決某些問(wèn)題時(shí)平行四邊形法那么有一定的優(yōu)越性,因此兩種法那么都應(yīng)熟練掌握向量和差作圖,要注意的是保證所作向量與目標(biāo)向量方向相同,長(zhǎng)度相等,最忌諱的是作法不一,比方作法中要求的是作AB=b,可實(shí)際上作的是Afe=b.只要作圖的過(guò)程與作法的每一步相對(duì)應(yīng),一定能作出正確的圖形重點(diǎn)深化2向量線(xiàn)性運(yùn)算的應(yīng)用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算包括加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算,在解題中具有廣泛的應(yīng)用.在對(duì)向量實(shí)施線(xiàn)性運(yùn)算時(shí),要準(zhǔn)確利用對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法那么、運(yùn)算律,注意

4、向量的大小和方向兩個(gè)方面.一、化簡(jiǎn)例1化簡(jiǎn)以下各式：(1)(2AB-|=|viv2|3m-3|1V11V2|,9+i5+9m2化簡(jiǎn)得i8m2+9m2=0.解得m=2或m=136.點(diǎn)評(píng)一般地,設(shè)直線(xiàn)li：y=kix+bi,其方向向量為vi=(i,ki),直線(xiàn)上：y=k2x+b2,其方向向量為v2=(i,k2),當(dāng)i+kik2=0時(shí),兩直線(xiàn)的夾角為90；當(dāng)i+ki&wo時(shí),設(shè)夾角為0,那么cos0=粵獸=,匕2；假設(shè)設(shè)直線(xiàn)11：Aix+Biy+Ci=0,其方向向量為一1V111V2|/i+k2-Vi+k2Bi,Ai,直線(xiàn)12：A2X+B2y+C2=0,其方向向量為B2,A2,那么cos0=|Ai4

5、+BiB2|/a2+b2、a2+B2二、直線(xiàn)的法向量1 .定義直線(xiàn)Ax+By+C=0的法向量：如果向量n與直線(xiàn)1垂直,那么稱(chēng)向量n為直線(xiàn)1的法向量.因此假設(shè)直線(xiàn)的方向向量為v,那么nv=0,從而對(duì)于直線(xiàn)Ax+By+C=0而言,其方向向量為v=(B,A),那么由于nv=0,于是可取n=(A,B).2 .應(yīng)用(1)判斷直線(xiàn)的位置關(guān)系例3直線(xiàn)1i：axy+2a=0與直線(xiàn)b：(2a-1)x+ay+a=0.假設(shè)1i12,求實(shí)數(shù)a的值；(2)假設(shè)1i/12,求實(shí)數(shù)a的值.解直線(xiàn)1i,12的法向量分別為ni=(a,1),n2=(2a-1,a),假設(shè)1i-L12,那么n1n2=a(2a1)+(1)刈=0,解得

6、a=0或a=1.-a=0或1時(shí),1i_L12.假設(shè)11/12,那么n1/n2,a2(2a1)X1)=0.解得a=1=/2,且=w2：.a=一2a1a1班時(shí),1i/12.點(diǎn)評(píng)一般地,設(shè)直線(xiàn)11:A1x+B1y+C1=0,12：A2x+B2y+C2=.,它們的法向量分別為n1=(Ai,Bi),n2=(A2,B2),當(dāng)ni,n2,即A1A2+B1B2=0時(shí),反之亦然；當(dāng)n1/如,即AiB2A2B1=0時(shí),11/12或11與12重合.(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例4點(diǎn)M(x0,y0)為直線(xiàn)l：Ax+By+C=0外一點(diǎn).求證：點(diǎn)M(x0,y.)到直線(xiàn)l的距離d=|Ax0+By0+C|,a2+b2-證實(shí)設(shè)P(x

7、i,yi)是直線(xiàn)Ax+By+C=0上任一點(diǎn),n是直線(xiàn)l的一個(gè)法向量,不妨取n=(A,B).那么M(x0,如下圖.y0)到直線(xiàn)l:Ax+By+C=0的距離d等于向量pM在n方向上投影的長(zhǎng)度,d=|PMl|cos疝,n|PMn|n|MA十b|A(x0X計(jì)B(y0yi)a2+b2_|Ax0+By0(Axi+Byi)=/AB.丁點(diǎn)P(xi,yi)在直線(xiàn)l上,Axi+Byi+C=0,Axi+Byi=-C,|Axo+By0+C|/d=/AP.點(diǎn)評(píng)同理應(yīng)用直線(xiàn)的法向量可以證實(shí)平行直線(xiàn)li：Ax+By+Ci=0與直線(xiàn)LAx+By+C2=0(A2+B2wo且Ci毛2)的距離為d=b2.證實(shí)過(guò)程如下：設(shè)Pi(xi

8、,yi),P2(x2,y2)分別為直線(xiàn)li：Ax+By+Ci=0,直線(xiàn)Ax+By+C2=0上任意兩點(diǎn),取直線(xiàn)li,%的一個(gè)法向量n=(A,B),那么*2=(x2xy2yi)在向量n上的投影的長(zhǎng)度,就是兩平行線(xiàn)l1、l2的距離.,IP1P2,n|d=|PiP211cosP1P2,n|=n|(x2xi,y2yiA,B,A2+B2,A2+B2|(Ax2+By2廠(chǎng)(Axi+Byi)|C2-Ci|/VB,a2+b,技巧點(diǎn)撥5向量法證實(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)平面向量既具有數(shù)量特征,又具有圖形特征,學(xué)習(xí)向量的應(yīng)用,可以啟發(fā)同學(xué)們從新的視角去分析、解決問(wèn)題,有益于培養(yǎng)創(chuàng)新水平.下面就一道習(xí)題的應(yīng)用探究為例進(jìn)行說(shuō)明.典例OB

9、=元A+QC,其中壯尸i.求證：a、b、c三點(diǎn)共線(xiàn).思路通過(guò)向量共線(xiàn)如AB=kAC得三點(diǎn)共線(xiàn).證實(shí)如圖,由壯尸i得入=i叢那么oB=4A+QC=i力OA+QC.qB-oA=oC-oA,AB=pAC,A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).思考i.此題揭示了證實(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)的又一向量方法,點(diǎn)O具有靈活性；2 .反之也成立證實(shí)略：假設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),那么存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)卜滿(mǎn)足OB=OA+AC,且計(jì)尸i.揭示了三點(diǎn)共線(xiàn)的又一個(gè)性質(zhì)；3 .特別地,壯產(chǎn)2時(shí),OB=2oA+OC,點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),揭示了4OAC中線(xiàn)OB的一個(gè)向量公式,應(yīng)用廣泛.應(yīng)用舉例i例i如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在BD上,且BN=

10、gBD.利用向量法證實(shí)：M、N、C三點(diǎn)共線(xiàn).思路分析選擇點(diǎn)B,只須證實(shí)BN=?BM+麻,且入+-1.證實(shí)由BD=BA+BC,又點(diǎn)N在BD上,且bn=bd,得BN=BD33=3(BA+f3C)=333BA+Bc.3又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),.BMiEbA,即bA=2BMi.加等蕭+嬴.233一21而+-=1.M、N、C二點(diǎn)共線(xiàn).33點(diǎn)評(píng)證實(shí)過(guò)程比證實(shí)MN=mMC簡(jiǎn)潔.例2如圖,平行四邊形E,求證:1BE=4BA.思路分析可以借助向量知識(shí),只需證實(shí):Be=1BA,而bA=bO+bC,又o、d、e三點(diǎn)共線(xiàn),存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)人的4,be=?Bo+Bd,從而得到BE與BA的關(guān)系.證實(shí)由條件,BA=BO+BC,又

11、B、E、A三點(diǎn)共線(xiàn),可設(shè)BE=kBA,那么Be=kBO+kBt,又O、E、D三點(diǎn)共線(xiàn),那么存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)入11,使BE=?BO+BD,且壯尸1.又由=3余,be=?bo+3阮,1_11根據(jù)得kk=1見(jiàn)解得入=134、計(jì)尸1,31-bE=4BA,1-BE=4-BA.點(diǎn)評(píng)借助向量知識(shí),充分運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)的向量性質(zhì)解決問(wèn)題,巧妙、簡(jiǎn)潔6平面向量中的三角形四心問(wèn)題蠹點(diǎn)深豳在三角形中,四心是一組特殊的點(diǎn),它們的向量表達(dá)形式具有許多重要的性質(zhì),在近年高皿一些新奇別致的問(wèn)題,不僅考查了向量等知識(shí)點(diǎn),還培養(yǎng)了考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平.現(xiàn)就四心作如下介紹:1 .重心G是4ABC的重心時(shí),有GA三角形三條中線(xiàn)的

12、交點(diǎn)叫重心,它到三角形頂點(diǎn)距離與該點(diǎn)到對(duì)邊中央距離之比為2：1.在向量表達(dá)形式中,設(shè)點(diǎn)G是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),那么當(dāng)點(diǎn)11d1-1-.一、.一、-,-一+GB+GC=0或PG=w(PA+PB+PC)(其中P為平面任意一點(diǎn)).反之,假設(shè)GA+GB+GC=0,3那么點(diǎn)G是4ABC的重心.在向量的坐標(biāo)表示中,假設(shè)G,A,B,C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn),且坐標(biāo)分別為G(x,y),A(xi,yi),B(x2,Y2),C(x3,Ya),那么有X1+X2+X3x=,y=3y1+Y2+Y33例ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿(mǎn)足關(guān)系qA+2OB+3(5C=0,試求SAboc:Sacoa:Saaob的值.解如圖,延長(zhǎng)OB

13、至B1,使BB1=OB,延長(zhǎng)OC至C1,使CC1=2OC,連接AB1,AC1,B1C1.貝UOBOfe,001=300.由條件,得OA+0B1+001=0,.點(diǎn)0是AB1cl的重心.從而SAB10C1=SAC1OA=SAA0B1=1S,其中S表示AB1C1的面積.3SACOA=qS,9S/AOB=6S,c1A11A1_&boc=2s1Oc=2諄B10C1=S.于是SLboc:Sacoae_ASaaob1811=1：2：3.6點(diǎn)評(píng)此題條件OA+2Ofe+3OC=0與三角形的重心性質(zhì)GA+GB+G0=0十分類(lèi)似,因此我們通過(guò)添加輔助線(xiàn),構(gòu)造一個(gè)三角形,使點(diǎn)0成為輔助三角形的重心,而三角形的重心與頂點(diǎn)的連線(xiàn)將三角形的面積三等分,從而可求三局部的面積比引申推廣4ABC內(nèi)一點(diǎn).滿(mǎn)足關(guān)系6a+6b+?sOC=0,那么SABOC：S/xcoa：S/xaob=k：?2-h.2 .垂心三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)叫垂心,它與頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于對(duì)邊.在向量表達(dá)形式中,假設(shè)H是ABC的垂心,那么HAHB=HBHC=HC公或心?十吃2=龜2+無(wú)2=十屆2反之,假設(shè)HAHB=HBHC=HCHA,那么H是4ABC的垂心.3 .內(nèi)心三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫內(nèi)心.內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心,它到三角形三邊的距離相等.在向量表達(dá)形式中,假設(shè)點(diǎn)I是