人教版高中數(shù)學(xué)必修四平面向量導(dǎo)學(xué)案

1、第二章平面向量重點深化|b|;(3)a、b反向,且|a|b|;(2)a、b同向,且|a|v|b|;(3)a、b反向.iaabbrfi(D(2)(3)作法在平面上任取一點O,作OA=a,OB=b,那么前=ab.事實上ab可看作是a+(b),根據(jù)這個理解和a+b的作圖方法不難作出a-b,作圖如下：(1)、向量a、b不共線如果向量不共線,可以應(yīng)用三角形法那么或平行四邊形法那么作圖例3如圖,向量a、b.求作：a+b;(2)a-b.作法1(應(yīng)用三角形法那么)(1)一般情況下,應(yīng)在兩向量所在的位置之外任取一點O.第一步：作OA=a,方法是將一個三角板的直角邊與a重合,再將直尺一邊與三角板的另一直角邊重合,

2、最后將三角板拿開,放到一直角邊過點O,一直角邊與直尺的一邊重合的位置,在此根底上取|OA|=|a|,并使OA與a同向.第二步：同第一步方法作出AB=b,一定要保證方向相同且長度相等.(此處最易錯的是把AB作成與b的方向相反.)第三步：作Ofe,即連接OB,在B處打上箭頭,OB即為a+b.作圖如下：(2)第一步：在平面上a,b位置之外任取一點O;第二步：依照前面方法過O作OA=a,Ofe=b;第三步：連接AB,在A處加上箭頭,向量BA即為a-b.作圖如下：點評向量加法作圖的特點是首尾相接,首尾連；向量減法作圖的特點是共起點,連終點,箭頭指被減.作法2(應(yīng)用平行四邊形法那么)在平面上任取一點A,以

3、點A為起點作AB=a,AD=b,以AB,AD為鄰邊作？ABCD,那么At=a+b,DB=ab.作圖如下:HD點評向量的平行四邊形法那么和三角法那么在本質(zhì)上是一樣的,但在解決某些問題時平行四邊形法那么有一定的優(yōu)越性,因此兩種法那么都應(yīng)熟練掌握向量和差作圖,要注意的是保證所作向量與目標(biāo)向量方向相同,長度相等,最忌諱的是作法不一,比方作法中要求的是作AB=b,可實際上作的是Afe=b.只要作圖的過程與作法的每一步相對應(yīng),一定能作出正確的圖形重點深化2向量線性運算的應(yīng)用平面向量的線性運算包括加法、減法以及數(shù)乘運算,在解題中具有廣泛的應(yīng)用.在對向量實施線性運算時,要準(zhǔn)確利用對應(yīng)的運算法那么、運算律,注意

4、向量的大小和方向兩個方面.一、化簡例1化簡以下各式：(1)(2AB-|=|viv2|3m-3|1V11V2|,9+i5+9m2化簡得i8m2+9m2=0.解得m=2或m=136.點評一般地,設(shè)直線li：y=kix+bi,其方向向量為vi=(i,ki),直線上：y=k2x+b2,其方向向量為v2=(i,k2),當(dāng)i+kik2=0時,兩直線的夾角為90；當(dāng)i+ki&wo時,設(shè)夾角為0,那么cos0=粵獸=,匕2；假設(shè)設(shè)直線11：Aix+Biy+Ci=0,其方向向量為一1V111V2|/i+k2-Vi+k2Bi,Ai,直線12：A2X+B2y+C2=0,其方向向量為B2,A2,那么cos0=|Ai4

5、+BiB2|/a2+b2、a2+B2二、直線的法向量1 .定義直線Ax+By+C=0的法向量：如果向量n與直線1垂直,那么稱向量n為直線1的法向量.因此假設(shè)直線的方向向量為v,那么nv=0,從而對于直線Ax+By+C=0而言,其方向向量為v=(B,A),那么由于nv=0,于是可取n=(A,B).2 .應(yīng)用(1)判斷直線的位置關(guān)系例3直線1i：axy+2a=0與直線b：(2a-1)x+ay+a=0.假設(shè)1i12,求實數(shù)a的值；(2)假設(shè)1i/12,求實數(shù)a的值.解直線1i,12的法向量分別為ni=(a,1),n2=(2a-1,a),假設(shè)1i-L12,那么n1n2=a(2a1)+(1)刈=0,解得

6、a=0或a=1.-a=0或1時,1i_L12.假設(shè)11/12,那么n1/n2,a2(2a1)X1)=0.解得a=1=/2,且=w2：.a=一2a1a1班時,1i/12.點評一般地,設(shè)直線11:A1x+B1y+C1=0,12：A2x+B2y+C2=.,它們的法向量分別為n1=(Ai,Bi),n2=(A2,B2),當(dāng)ni,n2,即A1A2+B1B2=0時,反之亦然；當(dāng)n1/如,即AiB2A2B1=0時,11/12或11與12重合.(2)求點到直線的距離例4點M(x0,y0)為直線l：Ax+By+C=0外一點.求證：點M(x0,y.)到直線l的距離d=|Ax0+By0+C|,a2+b2-證實設(shè)P(x

7、i,yi)是直線Ax+By+C=0上任一點,n是直線l的一個法向量,不妨取n=(A,B).那么M(x0,如下圖.y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d等于向量pM在n方向上投影的長度,d=|PMl|cos疝,n|PMn|n|MA十b|A(x0X計B(y0yi)a2+b2_|Ax0+By0(Axi+Byi)=/AB.丁點P(xi,yi)在直線l上,Axi+Byi+C=0,Axi+Byi=-C,|Axo+By0+C|/d=/AP.點評同理應(yīng)用直線的法向量可以證實平行直線li：Ax+By+Ci=0與直線LAx+By+C2=0(A2+B2wo且Ci毛2)的距離為d=b2.證實過程如下：設(shè)Pi(xi

8、,yi),P2(x2,y2)分別為直線li：Ax+By+Ci=0,直線Ax+By+C2=0上任意兩點,取直線li,%的一個法向量n=(A,B),那么*2=(x2xy2yi)在向量n上的投影的長度,就是兩平行線l1、l2的距離.,IP1P2,n|d=|PiP211cosP1P2,n|=n|(x2xi,y2yiA,B,A2+B2,A2+B2|(Ax2+By2廠(Axi+Byi)|C2-Ci|/VB,a2+b,技巧點撥5向量法證實三點共線平面向量既具有數(shù)量特征,又具有圖形特征,學(xué)習(xí)向量的應(yīng)用,可以啟發(fā)同學(xué)們從新的視角去分析、解決問題,有益于培養(yǎng)創(chuàng)新水平.下面就一道習(xí)題的應(yīng)用探究為例進行說明.典例OB

9、=元A+QC,其中壯尸i.求證：a、b、c三點共線.思路通過向量共線如AB=kAC得三點共線.證實如圖,由壯尸i得入=i叢那么oB=4A+QC=i力OA+QC.qB-oA=oC-oA,AB=pAC,A、B、C三點共線.思考i.此題揭示了證實三點共線的又一向量方法,點O具有靈活性；2 .反之也成立證實略：假設(shè)A、B、C三點共線,那么存在唯一實數(shù)對卜滿足OB=OA+AC,且計尸i.揭示了三點共線的又一個性質(zhì)；3 .特別地,壯產(chǎn)2時,OB=2oA+OC,點B為AC的中點,揭示了4OAC中線OB的一個向量公式,應(yīng)用廣泛.應(yīng)用舉例i例i如圖,平行四邊形ABCD中,點M是AB的中點,點N在BD上,且BN=

10、gBD.利用向量法證實：M、N、C三點共線.思路分析選擇點B,只須證實BN=?BM+麻,且入+-1.證實由BD=BA+BC,又點N在BD上,且bn=bd,得BN=BD33=3(BA+f3C)=333BA+Bc.3又點M是AB的中點,.BMiEbA,即bA=2BMi.加等蕭+嬴.233一21而+-=1.M、N、C二點共線.33點評證實過程比證實MN=mMC簡潔.例2如圖,平行四邊形E,求證:1BE=4BA.思路分析可以借助向量知識,只需證實:Be=1BA,而bA=bO+bC,又o、d、e三點共線,存在唯一實數(shù)對人的4,be=?Bo+Bd,從而得到BE與BA的關(guān)系.證實由條件,BA=BO+BC,又

11、B、E、A三點共線,可設(shè)BE=kBA,那么Be=kBO+kBt,又O、E、D三點共線,那么存在唯一實數(shù)對入11,使BE=?BO+BD,且壯尸1.又由=3余,be=?bo+3阮,1_11根據(jù)得kk=1見解得入=134、計尸1,31-bE=4BA,1-BE=4-BA.點評借助向量知識,充分運用三點共線的向量性質(zhì)解決問題,巧妙、簡潔6平面向量中的三角形四心問題蠹點深豳在三角形中,四心是一組特殊的點,它們的向量表達形式具有許多重要的性質(zhì),在近年高皿一些新奇別致的問題,不僅考查了向量等知識點,還培養(yǎng)了考生分析問題、解決問題的水平.現(xiàn)就四心作如下介紹:1 .重心G是4ABC的重心時,有GA三角形三條中線的

12、交點叫重心,它到三角形頂點距離與該點到對邊中央距離之比為2：1.在向量表達形式中,設(shè)點G是ABC所在平面內(nèi)的一點,那么當(dāng)點11d1-1-.一、.一、-,-一+GB+GC=0或PG=w(PA+PB+PC)(其中P為平面任意一點).反之,假設(shè)GA+GB+GC=0,3那么點G是4ABC的重心.在向量的坐標(biāo)表示中,假設(shè)G,A,B,C分別是三角形的重心和三個頂點,且坐標(biāo)分別為G(x,y),A(xi,yi),B(x2,Y2),C(x3,Ya),那么有X1+X2+X3x=,y=3y1+Y2+Y33例ABC內(nèi)一點O滿足關(guān)系qA+2OB+3(5C=0,試求SAboc:Sacoa:Saaob的值.解如圖,延長OB

13、至B1,使BB1=OB,延長OC至C1,使CC1=2OC,連接AB1,AC1,B1C1.貝UOBOfe,001=300.由條件,得OA+0B1+001=0,.點0是AB1cl的重心.從而SAB10C1=SAC1OA=SAA0B1=1S,其中S表示AB1C1的面積.3SACOA=qS,9S/AOB=6S,c1A11A1_&boc=2s1Oc=2諄B10C1=S.于是SLboc:Sacoae_ASaaob1811=1：2：3.6點評此題條件OA+2Ofe+3OC=0與三角形的重心性質(zhì)GA+GB+G0=0十分類似,因此我們通過添加輔助線,構(gòu)造一個三角形,使點0成為輔助三角形的重心,而三角形的重心與頂點的連線將三角形的面積三等分,從而可求三局部的面積比引申推廣4ABC內(nèi)一點.滿足關(guān)系6a+6b+?sOC=0,那么SABOC：S/xcoa：S/xaob=k：?2-h.2 .垂心三角形三條高線的交點叫垂心,它與頂點的連線垂直于對邊.在向量表達形式中,假設(shè)H是ABC的垂心,那么HAHB=HBHC=HC公或心?十吃2=龜2+無2=十屆2反之,假設(shè)HAHB=HBHC=HCHA,那么H是4ABC的垂心.3 .內(nèi)心三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫內(nèi)心.內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心,它到三角形三邊的距離相等.在向量表達形式中,假設(shè)點I是