浙教版八年上冊(cè)數(shù)學(xué)第二章特殊三角形全部知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)及練習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形復(fù)習(xí)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本章主要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理、HL定理等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、重點(diǎn)回顧1等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩腰_；等腰三角形兩底角_(即在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)_)；等腰三角形三線合一，這三線是指_、_、_，也就是說一條線段充當(dāng)三種身份；等腰三角形是_圖形，它的對(duì)稱軸有_條。2等腰三角形的判定：有_邊相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)_）。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對(duì)嗎？3等邊三角形的性質(zhì)：等

2、邊三角形各條邊_，各內(nèi)角_，且都等于_；等邊三角形是_圖形，它有_條對(duì)稱軸。4等邊三角形的判定：有_邊相等的三角形是等邊三角形；有三個(gè)角都是_的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是_的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是_的_ 三角形是等邊三角形。5直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角_；直角三角形斜邊上的中線等于_；直角三角形兩直角邊的平方和等于_（即勾股定理）。30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_6直角三角形的判定：有一個(gè)角是_的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角_的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是

3、直角三角形，但有助于解題。7直角三角形全等的判定：斜邊和_ 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。8角平分線的性質(zhì)：在角內(nèi)部到角兩邊_在這個(gè)角的平分線上。三、重點(diǎn)解讀1學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2等腰三角形的腰是在已知一個(gè)三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問題較為常用的輔助

4、線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是5；5“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的判定同樣有效。切記! 兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬不要這樣做。本章解題時(shí)用到的主要數(shù)

5、學(xué)思想方法： 分類討論思想（特別是在語言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例題） 方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長（留意后面的例題） 等面積法四、典型例題（一）、角平分線+平行線1、在ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。過O點(diǎn)作EF, 使EFBC。（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？（2）猜測(cè)線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,過O點(diǎn)作EF，使EFBC，且EBO=30。若BE=5，ABC的周長為_。（二）、角平分線+垂線3、如圖：AB=

6、AC，1=2，AECD于F交BC于點(diǎn)E，求證：AB=CE。4、如圖，ABC是等腰直角三角形，其中A=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CEBD交BD的延長線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE (三)、直角三角形的一個(gè)銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖，在ABC中，ACB=90，AE平分CAB，CDAB于D，它們交于點(diǎn)F，CFE是等腰三角形嗎？試說明理由.（四）、等邊三角形的幾個(gè)基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F。AFE=_。7、如圖點(diǎn)A、C、E在同一直線上，ABC和CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點(diǎn)。說明： CMN是等邊三角形。8、已知等邊ABC和點(diǎn)P

7、，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，ABC的高為h，若點(diǎn)P在一邊BC上（圖1），此時(shí)h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請(qǐng)你探索以下問題：當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)（圖2）和點(diǎn)P在ABC外（圖3）這兩種情況時(shí)，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并簡(jiǎn)要說明理由 （五）、等腰直角三角形的幾個(gè)基本應(yīng)用9、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEM于E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，說明ADCCEB的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，說明DE=ADBE的理由；ABCDEMN圖2ABCDMN圖3(3)當(dāng)

8、直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，試問DE、 AD、BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由.ABCDEMN圖110、如圖，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn)。求證：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且abc （1）：試找出他們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：當(dāng)a=21時(shí)，求b，c的值1

9、2、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60，且BQ=BP，連結(jié)CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由ABCD13、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個(gè)三角形的面積分析：對(duì)于沒有圖形的大題（指需要過程的題目），最好自己畫圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為x，則AB為（16-x）， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48

10、14、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在DC邊上的點(diǎn)G處，求BE的長。EGCDBA（七）、需要分類討論的（主要是由語言的模糊造成要討論）有一個(gè)角等于50，另一個(gè)角等于_的三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為3，4，則第三條邊長為_ 如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長。（八）作圖題如圖，求作一點(diǎn)P，使PC=PD,并且使點(diǎn)P到AOB兩邊的距離相等，并說明你的理由作圖題的基本要求：結(jié)論不能丟。格式：什么什么即為所求?！究键c(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)

11、訓(xùn)練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD為ABC的平分線，則BDC=_ （1） （2） （3）2如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個(gè)頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90，將ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） 5如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工從AC上的一點(diǎn)B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點(diǎn)E離D的距離約為_米（精

12、確到1米）6等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為_7如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）8如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44 B68 C46 D229如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好

13、選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （10） （11）11同學(xué)們都玩過蹺蹺板的游戲如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，OAC=25，則當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí)，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D13012、直角三角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. += 如圖所示，在ABC中，AB=6，AC=9，ADBC于點(diǎn)D，M為

14、AD上任一點(diǎn)，則MC2-MB2等于 二、能力提升13如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長14（計(jì)算型說理題）已知如圖ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD試判斷DB與DE之間的大小關(guān)系，并說明理由。15如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形三、應(yīng)用與探究16如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分

15、別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn) （1）若AD=BE=CF，問DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論 （2）若DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論直角三角形1）直角三角形的定義：有一個(gè)角為90的三角形，叫做直角三角形。直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)。又叫Rt三角形。2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半；且三邊比為1比根號(hào)3比2；（4）在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的等于30；（5）在

16、直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 (勾股定理)；（6）直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)等于該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等于該直角三角形半徑.( 7) 直角三角形的交于斜邊的中點(diǎn)。（8）直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的。3)直角三角形的判定：（1）有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形；（2）一個(gè)三角形,如果這個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；（3）若a2+b2=c2，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形（）；（4）若三角形30內(nèi)角所對(duì)的邊

17、是某一邊的一半 ,那么這個(gè)三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形；（5）兩個(gè)互余的三角形是直角三角形.4）直角三角形角的性質(zhì)若直角三角形ABC中C=90，則sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos（90-A）=sin（180-A）cosA=sin（90-A）=-cos（180-A）tanA=-tan（180-A）對(duì)于特殊角30，45，60，15，75，90sin30=cos60=1/2sin45=cos45=2/2sin60=cos30=3/2sin75=cos15=（根號(hào)6+根號(hào)2）/4 cos75=sin15=（根號(hào)6-根號(hào)2）/4tan75=2+根號(hào)3 tan15=2-根號(hào)

18、3sin90=1 cos90=0 tan90=無限大等腰三角形1)等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形2）等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 （簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）4.等腰三角形底邊上的到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半6等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法證明)7等腰三角形是，頂所在的直線是它的對(duì)稱軸3）.等腰三角形的判定：有兩條邊相等的三角

19、形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）在一個(gè)三角形中，一邊上的與此邊上的中線，及此邊對(duì)角中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。等邊三角形等邊三角形也稱正三角形。1)等邊三角形的定義：有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。2)等邊三角形的性質(zhì)：（具有等腰三角形的所有性質(zhì)，結(jié)合定義更特殊）1等邊三角形的內(nèi)角都相等，且為60度2等邊三角形每條邊上的中線、和所對(duì)角的平分線互相重合（三線合一）3等邊三角形是，它有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、或所對(duì)角的平分線所在直線3）等邊三角形的判定：（首先考慮判斷三角形是等腰三角形）（1）三邊相等的三角

20、形是等邊三角形（定義）（2）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形 ,且每個(gè)角都為60（3）有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形定義是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線垂線 三線合一，斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45度，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；那么設(shè)的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為（根號(hào)2加1），所以r:R=1:（根號(hào)2加1）。關(guān)系等腰直角三角形的邊角之間的關(guān)系 ：（1）三角形三內(nèi)角和等于180；（2）三角形的一個(gè)等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和

21、；（3）三角形的一個(gè)大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（5）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊.等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，.（1）三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）.（2）三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。（3）三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。（4）三角形的平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。注意！三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部

22、.鈍角、外心在三角形外部。直角、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。）垂心、外心在三角形內(nèi)部。黃金三角形1、名稱定義所謂黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值；對(duì)應(yīng)的還有：黃金矩形等。2、黃金三角形的分類黃金三角形分兩種： 一種是等腰三角形，兩個(gè)底角為72，頂角為36；這種三角形既美觀又標(biāo)準(zhǔn)。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：(5-1)/2. 另一種也是等腰三角形，兩個(gè)底角為36，頂角為108；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：(5-1)/23、黃金三角形的特征黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，它的頂角為36，每個(gè)底角為72.它的腰與它的底成黃金比當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)，角平分線分對(duì)邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形這兩三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于產(chǎn)生螺旋形曲線黃金三角形的一個(gè)幾何特征是：它是唯一一種能夠由5個(gè)與其全等的三角形生成其的三角形。