初一數(shù)學(xué)列方程解應(yīng)用題競賽教程含例題練習(xí)及答案

1、初一數(shù)學(xué)列方程解應(yīng)用題競賽教程含例題練習(xí)及答案初一數(shù)學(xué)競賽講座列方程解應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論, 不允許未知數(shù)參加計(jì)算, 這樣 , 對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題, 使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法, 未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象, 通過找出 “未知” 與 “已知” 之間的相等關(guān)系, 即列出方程( 或方程組 ), 使問題得以解決。所以對(duì)于應(yīng)用題, 列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考 , 易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: 審題 , 設(shè)未知數(shù), 找出相等關(guān)系, 列方程 , 解方程, 檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的

2、一步, 其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來, 而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題目作細(xì)致分析, 有些相等關(guān)系比較隱蔽, 必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。一、列簡易方程解應(yīng)用題分析 : 欲求這個(gè)六位數(shù), 只要求出五位數(shù)就可以了。按題意 , 這個(gè)六位數(shù)的3 倍等于。解 : 設(shè)五位數(shù) , 則六位數(shù) , 六位數(shù) ,從而有3(105+x)10x+1,x=42857答 : 這個(gè)六位數(shù)為142857。說明 : 這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn):抓住相等關(guān)系: 六位數(shù)的3 倍等于六位數(shù);設(shè)未知數(shù): 將六位數(shù)與六位數(shù)用含的數(shù)學(xué)式子表示出來, 這里根據(jù)題目的特點(diǎn) , 采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。(1) 是善于分析問

3、題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系;(2) 是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此, 要提高列方程解應(yīng)用題的能力,就應(yīng)在這兩方面下功夫。例 2 有一隊(duì)伍以1.4 米 / 秒的速度行軍, 末尾有一通訊員因事要通知排頭,于是以 2.6 米 /秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾, 共用了 10分 50秒。 問 :隊(duì)伍有多長?分析 : 這是一道“追及又相遇”的問題, 通訊員從末尾到排頭是追及問題,他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長; 通訊員從排頭返回排尾是相遇問題, 他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x 秒 , 那么通訊員從排頭返回排尾用了(650-x) 秒 , 于是不難列

4、方程。解 : 設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x 秒 , 依題意得2.6x-1.4x2.6(650-x)+1.4(650-x)。解得x=500。推知隊(duì)伍長為：(2.6-1.4)X 500600(米)。答 : 隊(duì)伍長為600 米。說明 : 在設(shè)未知數(shù)時(shí), 有兩種辦法: 一種是設(shè)直接未知數(shù), 求什么、設(shè)什么;另一種設(shè)間接未知數(shù), 當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí), 就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對(duì)于較難的應(yīng)用題, 恰當(dāng)選擇未知數(shù), 往往可以使列方程變得容易些。例 3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上, 有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn) , 行人速度為3.6 千米 /時(shí) , 騎車人速度為10.8 千米 /時(shí) , 這時(shí)

5、有一列火車從他們背后開過來, 火車通過行人用22 秒 , 通過騎車人用26 秒 , 這列火車的車身總長是多少 ?分析 : 本題屬于追及問題, 行人的速度為3.6 千米 /時(shí) 1 米 /秒 , 騎車人的速度為 10.8 千米 /時(shí) 3 米 /秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車尾與行人的路程差,也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x 米 / 秒 , 那么火車的車身長度可表示為(x-1) X22或(x-3) X 26,由此不難列出方程。解 : 設(shè)這列火車的速度是x 米 / 秒 , 依題意列方程, 得(x-1) X22(x-3) X26o解得x14。所以火車的車身長為：(14-1) X 22

6、286(米)。答 : 這列火車的車身總長為286 米。例 4 如圖 , 沿著邊長為90 米的正方形, 按逆時(shí)針方向, 甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上?分析 : 這是環(huán)形追及問題, 這類問題可以先看成“直線”追及問題 , 求出乙追上甲所需要的時(shí)間, 再回到“環(huán)行”追及問題 ,根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程, 推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了 x分，則甲在乙前方3X90270(米)。依題意故有 :72x=65x+270解得 :在這段時(shí)間內(nèi)乙走了:( 米 )由于正方形邊長為90 米 , 共四條邊, 故由可以推算出這時(shí)甲和乙

7、應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的DA邊上。例 5 一條船往返于甲、乙兩港之間, 由甲至乙是順?biāo)旭? 由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8 千米 / 時(shí) , 平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比為2 ： 1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9時(shí)。問：甲、乙兩港相距多少千米?分析 : 這是流水中的行程問題:順?biāo)俣褥o水速度+水流速度, 逆水速度靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解 : 設(shè)甲、乙兩港相距x 千米 , 原來水流速度為a 千米 / 時(shí)根據(jù)題意可知,逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹? ： 1,即(8-a) ： (8+a)=1 ： 2,再根

8、據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a 千米/時(shí) , 則有解得x20。答 : 甲、乙兩港相距20 千米。例 6 某校組織150 名師生到外地旅游, 這些人 5 時(shí)才能出發(fā), 為了趕火車 ,6 時(shí) 55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車, 車速為 36千米 /時(shí) ,學(xué)校離火車站21 千米 , 顯然全部路程都乘車, 因需客車多次往返, 故時(shí)間來不及,只能乘車與步行同時(shí)進(jìn)行。如果步行每小時(shí)能走4 千米 , 那么應(yīng)如何安排, 才能使所有人都按時(shí)趕到火車站?分析 : 把 150人分三批 , 每批 50人 , 均要在 115分鐘即 （時(shí) ）內(nèi)趕到火車站,每人步行時(shí)間應(yīng)該相同, 乘車時(shí)間也相同。設(shè)每人步行x 時(shí)

9、 , 乘車時(shí)。列出方程,解出 , 便容易安排了, 不過要計(jì)算一下客車能否在115 分鐘完成。解 : 把 150 人分三批 , 每批 50人 , 步行速度為4 千米 /時(shí) , 車速為 36千米 /時(shí)。設(shè)每批師生步行用時(shí), 則解得 x=1.5（ 時(shí) ）, 即每人步行90 分 , 乘車 25 分。三批人5時(shí)同時(shí)出發(fā), 第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點(diǎn)，下車步行；客車從A立即返回,在B點(diǎn)遇上步行的第 二批人,乘25分鐘車,第二批人下車步行,客車再立即返回,又在C點(diǎn)遇到步行而 來的第三批人, 然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時(shí)到火車站是沒問題的, 第三批人是否正巧可乘25 分鐘車呢?必須計(jì)算

10、。第一批人到A點(diǎn)，客車已行（千米），第二批人已步行4X（千米），這時(shí)客車返回與第二批人步行共同行完（ 千米 ）, 需 （ 時(shí) ）, 客車與第二批人相遇, 就是說客車第一次返回的時(shí)間是20 分 , 同樣可計(jì)算客車第二次返回的時(shí)間也應(yīng)是20分 , 所以當(dāng)客車與第三批人相遇時(shí)，客車已用25X 2+20X 290（分），還有115-9025（分），正 好可把第三批人按時(shí)送到。因此可以按上述方法安排。說明 : 列方程 , 解出需步行90 分、 乘車 25 分后 , 可以安排了, 但驗(yàn)算不能省 掉 , 因?yàn)檫@關(guān)系到第三批人是否可以按時(shí)到車站的問題。通過計(jì)算知第三批人正巧可乘車25 分 , 按時(shí)到達(dá)。但如果

11、人數(shù)增加, 或者車速減慢, 雖然方程可以類似地列出 , 卻不能保證人員都按時(shí)到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題, 列方程時(shí), 除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外, 還需要增設(shè)一些 “設(shè)而不求”的參數(shù) , 便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言, 以便溝通數(shù)量關(guān)系, 為列方程創(chuàng)造條件。例 7 某人在公路上行走, 往返公共汽車每隔4 分就有一輛與此人迎面相遇每隔 6 分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運(yùn)動(dòng), 那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車?分析 : 此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系, 注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇, 是相遇問題, 人與汽車4 分

12、所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離; 每隔 6 分就有一輛車從背后超過此人是追及問題, 車與人 6 分所行的路程差恰是兩車的距離, 再引進(jìn)速度這一未知常量作參數(shù), 問題就解決了。解 : 設(shè)汽車站每隔x 分發(fā)一班車, 某人的速度是v1, 汽車的速度為v2, 依題意得由, 得將代入, 得說明 : 此題引入v1,v2 兩個(gè)未知量作參數(shù), 計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去, 即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多, 可參考本叢書五年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)課第 26 講。例 8 整片牧場上的草長得一樣密, 一樣地快。已知 70 頭牛在 24 天里把草吃完 , 而 30 頭牛就得60 天。 如果要在96

13、天內(nèi)把牧場的草吃完, 那么有多少頭牛?分析 : 本題中牧場原有草量是多少?每天能生長草量多少?每頭牛一天吃草量多少 ?若這三個(gè)量用參數(shù)a,b,c 表示 , 再設(shè)所求牛的頭數(shù)為x, 則可列出三個(gè)方程。若能消去a,b,c, 便可解決問題。解 : 設(shè)整片牧場的原有草量為a, 每天生長的草量為b, 每頭牛一天吃草量為 c,x 頭牛在 96 天內(nèi)能把牧場上的草吃完, 則有 - ,得36b120C 。 - ,得96xc1800c+36b 。將代入, 得96xc=1800c+120c 。解得x20。答 : 有 20 頭牛。例 9 從甲地到乙地的公路, 只有上坡路和下坡路, 沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛

14、20 千米 , 下坡時(shí)每小時(shí)行駛35 千米。 車從甲地開往乙地需9 時(shí) ,從乙地到甲地需時(shí)。問 : 甲、 乙兩地間的公路有多少千米?從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路?解 : 從甲地到乙地的上坡路, 就是從乙地到甲地的下坡路; 從甲地到乙地下坡路 , 就是從乙地到甲地的上坡路。設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x 千米 , 下坡路為 y 千米 , 依題意得 + , 得將 y210-x 代入式, 得解得x=140。答 : 甲、 乙兩地間的公路有210 千米 , 從甲地到乙地須行駛140 千米的上坡路。三、列不定方程解應(yīng)用題有些應(yīng)用題, 用代數(shù)方程求解, 有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所列方程的個(gè)數(shù), 這種

15、情況下的方程稱為不定方程。這時(shí)方程的解有多個(gè), 即解不是唯一確定的。但注意到題目對(duì)解的要求, 有時(shí) , 只需要其中一些或個(gè)別解。例 10 六 (1) 班舉行一次數(shù)學(xué)測驗(yàn), 采用5級(jí)計(jì)分制(5 分最高 ,4 分次之 , 以此類推 ) 。 男生的平均成績?yōu)? 分 , 女生的平均成績?yōu)?.25 分 , 而全班的平均成績?yōu)?3.6 分。 如果該班的人數(shù)多于30 人 , 少于 50 人 , 那么有多少男生和多少女生參加了測驗(yàn)?解 : 設(shè)該班有x 個(gè)男生和y 個(gè)女生 , 于是有 :4x+3.25y3.6(x+y)化簡后得8x7y。從而全班共有學(xué)生：在大于 30 小于 50 的自然數(shù)中, 只有 45 可被

16、15 整除 , 所以推知 x=21,y24。答 : 該班有 21 個(gè)男生和24 個(gè)女生。例 11 小明玩套圈游戲, 套中小雞一次得9 分 , 套中小猴得5 分 , 套中小狗得 2 分。 小明共套了10 次 , 每次都套中了, 每個(gè)小玩具都至少被套中一次, 小明套10次共得 61 分。問 : 小明至多套中小雞幾次?解 : 設(shè)套中小雞x 次 , 套中小猴y 次 , 則套中小狗(10-x-y) 次。根據(jù)得61分可列方程:9x+5y+2(10-x-y)61,化簡后得7x41-3y。顯然 y 越小 ,x 越大。將y1 代入得 7x38, 無整數(shù)解; 若 y2,7x35, 解得x5。答 : 小明至多套中小

17、雞5 次。例 12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4 個(gè)小組 , 甲組每天能縫制8 件上衣或10 條褲子 ; 乙組每天能縫制9 件上衣或12 條褲子 ; 丙組每天能縫制7 件上衣或11條褲子 ; 丁組每天能縫制6 件上衣或7 條褲子。 現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制( 每套為一件上衣和一條褲子) 。問 :7 天中這 4個(gè)小組最多可縫制多少套衣服?分析 : 不能僅按生產(chǎn)上衣或褲子的數(shù)量來安排生產(chǎn), 應(yīng)該考慮各組生產(chǎn)上衣、褲子的效率高低, 在配套下安排生產(chǎn)。我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣, 做褲子效率高的多做褲子才能使所做衣服套數(shù)最多。, 設(shè) A 組每天能縫制a1 件上衣或b1 條褲子 , 它們的比

18、為; 類似的,B組每天縫制上衣與褲子數(shù)量的比為。若 >，則應(yīng)在安排A組盡量多做上衣、B 組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產(chǎn)。這是因?yàn)?，若安排A組做條褲子，則在 這段時(shí)間內(nèi)可做件上衣; 這些上衣若安排B 組做 , 要用天時(shí)間。在這段時(shí)間內(nèi)B組可做條褲子，由于，因此A組盡量多做上衣,B組盡量多做褲子。解 : 甲、 乙、 丙、 丁 4 組每天縫制上衣或褲子數(shù)量之比分別為, 由于 >>>,所以丁組生產(chǎn)上衣和丙組生產(chǎn)褲子的效率高, 故這 7 天全安排這兩組生產(chǎn)單一產(chǎn)品。設(shè)甲組生產(chǎn)上衣x大，生產(chǎn)褲子（7-x）天,乙組生產(chǎn)上衣y大，生產(chǎn)褲子（7-y） 天，則4個(gè)組分別共生產(chǎn)上衣、褲

19、子各為6 X 7+8x+9y（件）和11 X 7+10（7-x）+12（7-y）（ 條 ） 。依題意, 得42+8x+9y=77+70-10x+84-12y,令 u=42+8x+9y, 則顯然x越大,u越大。故當(dāng)x7時(shí),u取最大值125,此時(shí)y的值為3。答 : 安排甲、丁組7 天都生產(chǎn)上衣 , 丙組 7 天全做褲子 , 乙組 3 天做上衣 ,4天做褲子 , 這樣生產(chǎn)的套數(shù)最多, 共計(jì) 125 套。說明 : 本題仍為兩個(gè)未知數(shù), 一個(gè)方程, 不能有確定解。本題求套數(shù)最多,實(shí)質(zhì)上是化為“一元函數(shù)”在一定范圍內(nèi)的最值 , 注意說明取得最值的理由。練習(xí) 81. 甲用 40 秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈, 乙

20、反方向跑, 每隔 15 秒與甲相遇一次。問 : 乙跑完一圈用多少秒?2. 小明在 360米長的環(huán)形跑道上跑了一圈, 已知他前一半時(shí)間每秒跑5米 ,后一半時(shí)間每秒跑4 米 , 那么小明后一半路程跑多少秒?3. 如右圖 , 甲、乙兩人分別位于周長為400 米的正方形水池相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上, 同時(shí)開始沿逆時(shí)針方向沿池邊行走。甲每分鐘走50 米 , 乙每分鐘走44 米 , 求甲、乙兩人出發(fā)后幾分鐘才能第一次走在正方形的同一條邊上（ 不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點(diǎn)的情形 ）。4. 農(nóng)忙假 , 一組學(xué)生下鄉(xiāng)幫郊區(qū)農(nóng)民收割水稻, 他們被分配到甲、乙兩塊稻田去 , 甲稻田面積是乙稻田面積的2 倍。前半小時(shí), 全

21、隊(duì)在甲田; 后半小時(shí)一半人在甲田 , 一半人在乙田。割了1 時(shí) , 割完了甲田的水稻, 乙田還剩下一小塊未割,剩下的這一小塊需要一個(gè)人割1 時(shí)才能割完。問: 這組學(xué)生有幾人?5. 若貨價(jià)降低8%,而售出價(jià)不變，則利潤（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前的P%曾加到（P+10）%,求 P。6. 甲、 乙二人做同一個(gè)數(shù)的帶余除法, 甲將其除以8, 乙將其除以9, 甲所得的商數(shù)與乙所得的余數(shù)之和為13。試求甲所得的余數(shù)。7. 某公共汽車線路中間有10 個(gè)站。 車有快車及慢車兩種, 快車的車速是慢車車速的1.2 倍。慢車每站都停, 快車則只?？恐虚g1 個(gè)站。每站停留時(shí)間都是3 分鐘。當(dāng)某次慢車發(fā)出40 分鐘后 , 快車從同一始發(fā)站開出, 兩車恰好同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。問: 快車從起點(diǎn)到終點(diǎn)共需用多少時(shí)間?8. 甲車以 160千米 /時(shí)的速度, 乙車以 20千米 /時(shí)的速度, 在長為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車1 次 , 甲車減速而乙車則增速。問: 在兩車的速