最新教案：函數(shù)的單調(diào)性與最值(含解析)

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的單調(diào)性1 .單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮.如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值Xi, 當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有f（Xi）<f（X2）,那么就說函 當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有f（Xi）>f（X2）,那么就說函數(shù)f（X）在區(qū)間D上是增函數(shù)數(shù)f（X）在區(qū)間D上是減函數(shù)2 .單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=f（X）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f（X）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（X）的單調(diào)區(qū)間.二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y = f（X）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對于任意x C I,都有f（X

2、）WM ；存在Xo I,使得f（xo） = M對于任意x C I,都有f(x) M ;存在X0 e I,使得f(Xo)= M結(jié)論M為最大值M為最小值基礎(chǔ)自測1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）3A . y=X+ 1B . y= - xC. y=1D. y=X|X|X解析：選D 由函數(shù)的奇偶性排除 A,由函數(shù)的單調(diào)性排除B、C,由y=X|X|的圖象可知此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)，故選 D.2.函數(shù)y= （2k+ 1）x+ b在（一°°, +oo ）上是減函數(shù)，則（）1 1A. k>2B.k<21一.1C. k> 2D .k< 2 解析：選

3、D 函數(shù)y=（2k+ 1）X + b是減函數(shù),1則 2k+1<0,即 k<1.3.函數(shù) f(x)=1 xd的最大值是(1X)4A.55B.4Cl4D.3解析：選 D .1 1 x(1 x)=x2 x+ 1 = x1 2 3、3 八-,2 + ->-, /. 0<2j 4 4'1 x1 xJ3.；f(x)max =4. f(x)=x2 2x(xC 2,4)的單調(diào)增區(qū)間為解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x=1,單調(diào)增區(qū)間為1,4 , f(x)max=f(2)=f(4)=8.答案：1,4 8 x的取值范圍是5.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若 m<n,則f(m).f

4、(n);若 ff,則實(shí)數(shù)解析：由題意知f(m)>f(n);1rr-一 >1 ,即 |x|<1，且 xw 0. x ''故1<x<1 且 xw 0.答案：> (1,0) U (0,1)函數(shù)單調(diào)性的判斷1 ,例1證明函數(shù)f(x)=2x在(一00, 0)上是增函數(shù). x自主解答設(shè)x1, x2是區(qū)間(8, 0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1<x2.1.1則 f(x1)=2x1x，f(x2) = 2x2-x-,f(x1) - f(x2) = (2x1-1)-=2(x1-x2)+，t)=(x1x2) 2+x1x2由于 x1<x2<0,所

5、以 x1x2<0,2+荔>0,因此 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故f(x)在( 8, 0)上是增函數(shù).變式練習(xí)2X ,1.判斷函數(shù)g(x)=一；在(1, +8)上的單倜性.x 1解：任取 xn X2 (1 , + oo),且 X1 <X2,nr 2X1l 2X2則 g(X1)-g(X2)=77X1 1 X2 1_2£1ZXJ_X1 - 1 X2- 1 由于 1<X1<X2,所以 X1一 X2<0,(X1 1)(X2 1)>0,因此 g(X1) g(X2)<0 ,即 g(X1)<g(X2).故

6、g(X)在(1 , + 8)上是增函數(shù).題型2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2設(shè)函數(shù)y=f(X)在(一00, +oo )內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=f(x)華廣k, k, f(X / k,取函數(shù)f(x)=2f.當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(A.(巴 0)B. (0,)D. (1 , +OO ) 11自王解答由 f(x)>2,得一1<x<1.由 f(x)W2,得 XW 1 或 x>1.2 : x>1, 11所以 f2(x)= 2 2, - 1<x<1,、2X, X< - 1.故f2(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8, 1).答案C變式

7、練習(xí)2.函數(shù)f(x)= |x2X的單調(diào)減區(qū)間是()A. 1,2B. -1,0C. 0,2D. 2, +oo )解析：選A由于 f(x)=|x 2X =x2 2x, x> 2, 1x2 + 2x, x<2.結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2.題型3單調(diào)性的應(yīng)用例3 若f(x)為R上的增函數(shù)，則滿足f(2 m)<f(m2)的實(shí)數(shù) m的取值范圍是(2)若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是3, +8),則a =.自主解答(1)，f(x)在R上為增函數(shù)，2 m<m21. m2+ m 2>0. . m>1 或 m< 2.a2x a, x<, 2一,

8、1 ，一a、一(2)由f(x)=可得函數(shù)f(x)的單倜遞增區(qū)間為-2, 十0°j,故3 =、2x+ a, x> -a,2,解得 a= 6.答案(1)( 8, 2) U (1 , +8 ) (2)6變式練習(xí)13. (1)函數(shù)f(x) =在2,3上的取小值為 ,取大值為 .x 111一一1 ，"1 (2)已知函數(shù) f(x)=£x(a>0,x>0),若 f(x)在 2, 2 上的值域?yàn)?,2l4Ua=.111斛析： f (x)= - ：<0,，f(x)在2,3上為減函數(shù)，f(x)min = f(3) = -一； = 2,(x 113 1 2-、-

9、±-.f(x)max=2_1=1.1 1.11 (2)由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x) = a-x(a>0, x>0)在，2 上單倜遞增，2斛付a=5.答案：(1)1 1 (2)225課后練習(xí)A組1.下列函數(shù)中，在區(qū)間A. y=ln(x+ 2)C.V= Q)(0, + 8)上為增函數(shù)的是(B. y= Ux+ 1一 .1D. y=x+ x解析：選A 選項(xiàng)A的函數(shù)y= ln(x+ 2)的增區(qū)間為(一2, 十°°),所以在(0,十8)上一 定是增函數(shù).2 .若函數(shù) f(x)=4x2mx+ 5在2, 十°o)上遞增，在(一,2上遞減，則 f(1)=(

10、)A. 7B. 1C. 17D. 25解析：選D 依題意，知函數(shù)圖象的對稱軸為x=8- = £ = 一 2，即m=16,從而f(x) = 4x2+16x+ 5, f(1)=4+16+5=25.3,若函數(shù)y = ax與y= 一 ,在(0, + 00 )上都是減函數(shù)，則y = ax2 + bx在(0, +°° )上是()xA .增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減D.先減后增b .解析：選 B y= ax 與 y=-在(0, 十°° )上都是減函數(shù)，a<0, b<0, /. y=ax2+bx x的對稱軸方程x=-;b-<0 ,. y=ax

11、2+bx在(0, + 8)上為減函數(shù). 2a4 . “函數(shù)f(x)在a, b上為單調(diào)函數(shù)”是“函數(shù) f(x)在a, b上有最大值和最小值”的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A 若函數(shù)f(x)在a, b上為單調(diào)遞增(減)函數(shù)，則在a, b上一定存在最小(大) 值f(a),最大(小)值f(b).所以充分性滿足；反之，不一定成立，如二次函數(shù)f(x) = x2-2x+3在0,2存在最大值和最小值，但該函數(shù)在0,2不具有單調(diào)性，所以必要性不滿足，即“函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)”是“函數(shù) f(x)在a, b上有最大值和最小值”的充分不必要條件.5

12、.已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實(shí)數(shù) Xi, x2(x產(chǎn)x2),恒有(Xi x2)(f(x1) f(x2)>0,則一定 正確的是()A. f(4)>f( 6)B. f(4)<f(6)C. f(4)>f( 6)D, f(4)<f(6)解析：選 C由(Xi X2)(f(X1)f(X2)>0 知 f(x)在(0, +8)上遞增,所以 f(4)<f(6)? f( 4)>f(-6).6.定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x) + f(y),當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0 ,則函數(shù)f(x)在a, b上有()B.最大值f(b)A.最小值f(a

13、)C.最小值f(b)解析：選C f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x + y) = f(x) + f(y),.f(0) = 0,令 y=-x,則有 f(x)+f( x) = f(0)=0.，f(X)= f(X). . f(X)是 R 上的奇函數(shù).設(shè)xi <x2,則 x1 一x2<0, . f(xi) f(x2) = f(xi)+ f( x2)= f(x1一 x2)>0.f(x)在R上是減函數(shù).f(x)在a, b有最小值f(b).7 .函數(shù)y=(x3)|x|的遞增區(qū)間是 解析：y=(x3)|x|x2 + 3x, x>0,作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為0, 31x2

14、一 3x, xW 0.答案:8 .若函數(shù)y=|2x1,在（00, m上單調(diào)遞減，則 m的取值范圍是 解析：畫出圖象易知y=|2x1的遞減區(qū)間是（一8, 0,依題意應(yīng)有m< 0.答案：( 8, 0ax-l- 19,若f(x)=axH在區(qū)間(一2, +8)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 x+ 2解析：設(shè) xi>x2> 2,則 f(xi)>f(x2),工axi + 1ax2+ 1而毋)-f(x2) = R- 7T72ax1 + x2 2 ax2 - x1兇+2 02+2僅1 x2f2a11一=”+2直+2)>0,則 L/日 1得 a>2.答案:1+82,10.求下列

15、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y= - x2 + 2|x|+ 1;(2)y= a1 2x x2(a>0 且 aw 1).解：（1）由于y=-x2+ 2x+ 1 , x>0, 1x22x+ 1 , x<0,-fx 1 2+2, x> 0,即 y-(x+ 1 2+2, x<0.畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(一8, 1和0,1,單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1, +°°).(2)令 g(x) = 1 2xx2= (x+ 1)2 + 2,所以g(x)在(00, 1)上單調(diào)遞增，在( 1, + 8)上單調(diào)遞減.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y= a1 2xx2的增區(qū)間是

16、(一°°, 1),減區(qū)間是(一1,+8)；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù) y= a1 2xx2的增區(qū)間是(-1, + 00),減區(qū)間是(一8, 1).一，x11.已知 f(x)=xa(xw a).若a=2,試證f(x)在(一8, 2)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若a>0且f(x)在(1, +8)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解：(1)證明：設(shè) x1<x2<2,則 f(x1)- f(x2) = x1x2 2x1 2 x2 2_2 (x1 一 x2 )(x1 + 2 jx2+ 2 j.1 (x1+ 2)(x2+ 2)>0 , x1 x2<0,f(x1)<

17、;f(x2), f(x)在(一 00, 2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)設(shè) 1<x1<x2,貝Ux1x2f(x1) - f(x2)="-' / x1 a x2 a=ax2 x1(x1 a jx2 a )''' a>0 , x2 x1 >0,要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1- a)(x2- a)>0恒成立，a< 1.綜上所述，a的取值范圍為(0,1.12.已知函數(shù)f(x)=a2x+b 3x,其中常數(shù)a, b滿足ab0.若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab<0,求f(x+1)>f(

18、x)時(shí)x的取值范圍.解：(1)當(dāng) a>0, b>0 時(shí)，任意 x1, x2 R, x1<x2,則 f(x1)一 f(x2)=a(2x1一 2x2)+b(3x1一 3x2).-2x1<2x2, a>0? a(2x1 - 2x2)<0 ,3x1<3x2, b>0? b(3x1 - 3x2)<0 , f(Xl)-f(X2)<0 ,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).同理，當(dāng)a<0, b<0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).(2)f(x+ 1) f(x) = a 2x+ 2b 3x>0,當(dāng) a<0, b>0 時(shí),但&quo

19、t;x> a- > 2b，貝U x>logi.5 , 2b j；同理，當(dāng) a>0, b<0 時(shí)，。)< Ta, 2 2b則 x<logi.5 -a.,2bB組1 .設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2 x)=f(x),且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=ln x,則有(A. fg;f(2)<fg)B.囁*2)喧C-f5fgz(2)D. f(2)<fg;<)解析：選C 由f(2 x)=f(x)可知，f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對稱，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=ln 所以蘆六3x,可知當(dāng)x> 1時(shí)f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x<1時(shí)f

20、(x)為減函數(shù)，因?yàn)? 1 < 1- 1 <|2- 1|, 232 .已知函數(shù)y = Hx +>/xZ3的最大值為M,最小值為m,則那的值為()11A.4B.2C.李巧解析：選C 顯然函數(shù)的定義域是 3,1且y>0,故y2=4 + 2比1xjfx+3尸4 + 28x22x+ 3 =4+2寸(x+ 1 2+4，根據(jù)根式內(nèi)的二次函數(shù)， 可得 4< y2W8,故 2WyW22, 即 m = 2, M=242,所以 MJ=乎.3.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且對一切x>0, y>0都有j= f(x)-f(y),當(dāng)x>1時(shí), 有 f(x)>

21、0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；(3)若f(4)=2,求f(x)在1,16上的值域.解：;當(dāng)x>0, y>0時(shí),f y i= f(x) f(y)，.令 x=y>0,則 f(1) = f(x)-f(x)=0.(2)設(shè) xi, X26(0, + 8),且 X1 <X2,則 f(x2)f(xi) = ft )- x2>xi>0. . >1 , ,.f(x20.1- f(x2)>f(xi),即f(x)在(0, +川上是增函數(shù).(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函數(shù). f(x)min =f(1)=0, f(x)max= f(16),. f(4) = 2,由 f§f(x)-f(y),知吟 /= f(16)-f(4),. f(16) = 2f(4)= 4,f(x)在1,16上的值域?yàn)?,4.4.定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實(shí)數(shù)m, n,總有f(m+ n)= f(m) f(n),且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)&l