線性變換的定義0001

1、第七章 線性變換 1線性變換的定義上一章我們看到，數(shù)域 P上任意一個(gè)n維線性空間都與 Pn同構(gòu)，因之，有限維線性 空間的同構(gòu)可以認(rèn)為是完全清楚了線性空間是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象我們認(rèn)識(shí)客觀事物，固然要弄清它們單個(gè)的和總體的性質(zhì)，但是更重要的是研究它們之間的各種各樣的聯(lián)系在線性空間中，事物之間的聯(lián)系就反映為線性空間的映射線性空間到自身的映射通常稱為的一個(gè)變換這一章中要討論的線性變換就是最簡(jiǎn)單的，同時(shí)也可以認(rèn)為是最根本的 一種變換，正如線性函數(shù)是最簡(jiǎn)單的和最根本的函數(shù)一樣線性變換是代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象下面如果不特別聲明，所考慮的都是某一固定的數(shù)域P上的線性空間定義1線性空間V的一個(gè)變換

2、A稱為線性變換，如果對(duì)于 V中的任意的元素:-，:和數(shù)域中任意數(shù)k ,都有A二=A二心Ak： 二 kA： 1以后我們一般用黑體答謝拉丁字A , B,代表V的變換，Ak:J或AC代表元素在變換下的象定義中等式1所表示的性質(zhì)，有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法問題1:線性變換與線性同構(gòu)有什么異同？下面我們來看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，它們說明線性變換這個(gè)概念是有豐富的內(nèi)容的例1平面上的向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的二維線性空間把平面圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)二角，就是一個(gè)線性變換，我們用1=表示。如果平面上一個(gè)向量:在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是x, y，那么象I/的坐標(biāo)，即旋轉(zhuǎn) 二角之后的坐標(biāo)是x：y按照公式COS

3、T-sin 日isin。cos9 丿來計(jì)算的同樣地，空間中繞軸的旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)線性變換例2設(shè)是幾何空間中一固定的非零向量，把每個(gè)向量變到它在:上的內(nèi)映射的變換也是一個(gè)線性變換，以|丨.表示它用公式表示就是a 匕，嚇這里c,表示內(nèi)積例3線性空間V中的恒等變換或稱單位變換E ,即Ea=a J以及零變換0,即0a =0aV都是線性變換例4 設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，k是P中某個(gè)數(shù)，定義V的變換如下：一；k：,八 V不難證明，這是一個(gè)線性變換，稱為由數(shù)k決定的數(shù)乘變換，可用k表示.顯然，當(dāng)k=1 時(shí)，我們便得恒等變換，當(dāng)k=0時(shí)，便得零變換例5在線性空間Px或者Pxn中，求微商是一個(gè)線性變換這個(gè)變換通常

4、用D代表， 即 kr 1 k2： 2 III kJr 二 0 ,Df X = f x例6定義在閉區(qū)間a,b上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以Ca,b代表在這個(gè)空間中，變換xJfx = a ftdt是一線性變換例7在線性空間v中，定義；a =兔，-a三V.其中a0是v中一個(gè)固定向量，試問 是 否為線性變換？解當(dāng)玄=0時(shí)3：，1匸V.那么有二C = O二 C = P，及二：+：=： 0.但匚：亠 ：=2： 0 =匚黒亠.因此當(dāng) 兔=0時(shí)，a不是線性變換。假設(shè) a0 =0那么有匚_：“- ；： ；：= 0.k；：二;k： =0.故當(dāng)0=0時(shí),6是線性變換此時(shí)6為零變換。不難直接從定義推出線性

5、變換的以下簡(jiǎn)單性質(zhì)：1.設(shè)A是V的線性變換，那么 A0 =0,A- - AC .這是因?yàn)锳0 = A0： =0A： =0,A-： =A-1： =-1A： =-A：.2. 線性變換保持線性組合與線性關(guān)系式不變.換句話說，如果是JH/ r的線性組合：一匕：1 k 2“ r那么經(jīng)過線性變換 A之后，A:是 Ar, A2,IH , A r同樣的線性組合：A -kiAC l k2A： 2川 krAC r又如果: 1,2川，r之間有一線性關(guān)系式ki i k2： 2 川 kr： r =0那么它們的象之間也有同樣的關(guān)系kiAC i k2A： 2川 krAC r =0以上兩點(diǎn)，根據(jù)定義不難驗(yàn)證，由此即得3. 線性變換把線性性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān)的向量組。但應(yīng)該注意，3的逆是不對(duì)的，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組 例如零變換就是這樣。例8設(shè) 冷2,川S及 1,2川，是線性空間 V中兩組等價(jià)的向量組，又二-LV，試證：二冷,二2,川,二：飛與二：1,二：2,川，二Cs,也是兩個(gè)等價(jià)的向量組。證明 因?yàn)?宀，2,|宀與 52川，氣可以互相線性表出。記s冷=ki 焜jkis氣=為ki：ji -1,2j|s那么由線性變換性質(zhì) 可知：j二s二：i =k&Ci ki2；：2川 kis；s = jji =1,2,|,sj 二上式說明了向量組 匚：1,匚：2,川，