求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法歸納與訓(xùn)練

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2. 已知數(shù)列滿足，求.類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，求.例3:已知， ，求.變式: 1已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）.解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中， ，求.變式: 在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_類型4 （其中p，q均為

2、常數(shù)，）（或,其中p，q, r均為常數(shù)）.解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決.例5:已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 變式 : 已知數(shù)列中，,，求.類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,其中s，t滿足例6：已知數(shù)列中,，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7:已知數(shù)列中，,，求.變式: 1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解

3、法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解.例8：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.變式: 1.已知數(shù)列中，,求通項(xiàng).2. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求通項(xiàng).3. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足,求通項(xiàng)公式.4. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+2an,求通項(xiàng)公式.求通項(xiàng).5. 已知數(shù)列中,求通項(xiàng).6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,求通項(xiàng).7.已知,求通項(xiàng).8.已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)an 類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例

4、9:設(shè)數(shù)列：，求. 例10：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例11：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例12： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例13：已知數(shù)列中，求數(shù)列類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為.例14：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.變式: 1.若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.已知數(shù)列滿足時(shí)，求通項(xiàng)公式. 3.若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項(xiàng)a 類型10周期型 解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期例15：若數(shù)列滿足，若，則的值為 .變式: 已知數(shù)列滿足，則=

5、（ ）A0BCD 求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解.例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式. 2. 已知數(shù)列滿足，求.類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解.例2:已知數(shù)列滿足，求。例3:已知， ，求。變式:（2004，全國I,理15）1.已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 解

6、：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故 所以由， 取n=2，則=1，代入得. 所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）.解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，求.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_ 類型4 （其中p,q均為常數(shù)）（或,其中p,q, r均為常數(shù)）解法：一

7、般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.變式 : 已知數(shù)列中，,，求.類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足例6：已知數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7:已知數(shù)列中，,，求.變式: 1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II

8、）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.類型6 遞推公式為與的關(guān)系式.(或)解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解.例8：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以變式: 1.已知數(shù)列中，,求通項(xiàng).2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求通項(xiàng).3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足,求通項(xiàng)公式.4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+2an,求通項(xiàng)公式.求通項(xiàng).5.已知數(shù)列中,求通項(xiàng).6

9、.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,求通項(xiàng).7.已知,求通項(xiàng).8. （2006，陜西,理,20本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)an 類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.例9 : 設(shè)數(shù)列：，求.例10：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的

10、通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.例11：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得 整理得。令，則，代入式得 由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例12：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例13：已知數(shù)列中，求數(shù)列類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為.例14：已知數(shù)列