數(shù)列通項公式的求法(較全)

1、常見數(shù)列通項公式的求法不同的信念，決定不同的命運公式:等差射列的定義£ -口一45之2)等差數(shù)列n(n -pd2等差數(shù)列的通項公式4 = % -等差數(shù)列的求和公式S*=(勺-4)=莽/-等差數(shù)列的性質(zhì)q -4=口 - - 口/曬-林=中+ 7)等比數(shù)列的定義工=牙5之2)4-i等比數(shù)列的通項公式4三勺"7等比數(shù)列*(勺一口*厘_皿1 一 ,)等比數(shù)列的求和公式3- g =1)等比數(shù)列的性質(zhì)久% = %<%<»< +林=廣+ g)1、定義法若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求通公式項時,只需求出ai與d或ai與q ,再代入公式 an = a1 + (n

2、-1 )d或 an =aiqn,中即可.例1、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上 2, 5, 13后成為等比數(shù)列bn的b3241b5,求數(shù)列bn的的通項公式.練習(xí)：數(shù)列an)是等差數(shù)列，數(shù)列4是等比數(shù)列，數(shù)列g(shù)中對于任何n乏N*都有, 八 127cn =an -bn,c1 =0,c2 = ,c3=，c4 =一，分別求出此二個數(shù)列的通項公式.69542、累加法形如ani-an = f (n 乂已知a1)型的的遞推公式均可用累加法求通項公式.(1) 當(dāng)f(n產(chǎn)d為常數(shù)時，an為等差數(shù)列，則an =a1+(n 1)d ；(2) 當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下：由an書

3、一an = f(n y導(dǎo)當(dāng) n 之2時，an an=f (n 1)an= f (n-2)a3 -a2 = f (2 )a2 - a1 = f 11 以上(n -1斤等式累加得an = f n -1 +f n-2 III f 2 f 1an 二a1f n -1 +f n - 2 111f 2 f 1(3)已知a，an+-an = f (n ),其中f (n )可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通 項.若f (n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；若f (n)可以是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；若f (n )可以是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)

4、列求和；若f (n )可以是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和求和.例2、數(shù)列aj中已知a1 =1,an+ - an =2n - 3,求an的通項公式.練習(xí)1:已知數(shù)列an 滿足 an+ = an +3n +2且a1 =2,求an.練習(xí)2：已知數(shù)列an中，a1 =1,an邛an =3n _2n,求&的通項公式11練習(xí)3：已知數(shù)列an 滿足a1 =-，an4 =an+力，求求an）的通項公式2n n3、累乘法= f n/ 一 一形如an(已知&理的的遞推公式均可用累乘法求通項公式.a給遞推公式'±=f(n)(nuN+)中的n依次取1,2,3 , ,n1,可得到下

5、面n1個式子: an也=f 1 ,包=f 2 ,也=f 3 ,111,4=f n -1 .aa2a3an利用公式 an =a1 x2xa3x4x|x-an-,(an =0,nw n+ )可得：aa2 a3an 1an =A f 1 f 2 f 3 HI f n-1 .例3、已知數(shù)列 Qn滿足a1 = 2,an =_n_ an求an.3 n 1 ，an n練習(xí)1：數(shù)列Qn中已知a1 =i,an土 =R工，求an的通項公式練習(xí)2：設(shè)Qn 是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)a2書na2+an書an =0 ,求an的通項公式4、奇偶分析法(1)對于形如an+ +an = f (n理的遞推公式求通項公式

6、當(dāng)an + +an =d(d為常數(shù))時，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為 2,其通項分奇數(shù)項和偶 數(shù)項來討論. 當(dāng)f(n)為n的 函 數(shù) 時，由an+an = f(n),an+an4=f(n1)兩 式 相減，得 到an+1 - an 4 - f (n)-f (n-1),分奇偶項來求通項.例4、數(shù)列an滿足a =1,an+ + an =4,求an的通項公式.練習(xí)：數(shù)列an滿足a =6,an4+ a。= 6 ,求an 的通項公式例5、數(shù)列aj滿足ai =0, an書+an =2n ,求Ln的通項公式練習(xí)1：數(shù)列an滿足a1 =1,an書+an =n1,求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)列an

7、滿足為=2,an書+an =3n 1,求an的通項公式不同的信念，決定不同的命運(2)對于形如an4an = f (n理的遞推公式求通項公式當(dāng)an + an =d(d為常數(shù) 咫，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時，由an+an= f (n),anan=f (n 1)兩式相除，得到an+1-二”n),分奇偶項an_if n-1來求通項.例6、已知數(shù)列an 滿足ai =2自中an = 4 ,求an的通項公式.2, ,練習(xí)：已知數(shù)列滿足ai =一,an書，an =-2 ,求值的通項公式.3,求an的通項公式.例7、已知數(shù)列an 滿足

8、a1 =3,an書an練習(xí)1：數(shù)列an滿足a =2,an平d =3n,求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)列QJ滿足ai =1的書a =2n,求an的通項公式5、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）若給出條件直接求 an較難，可通過整理變形等從中構(gòu)造出一個等差或等比數(shù)列，從而根據(jù)等差或者等比數(shù)列的定義求出通項.常見的有：an書=pan +q（ p,q為常數(shù) 修an書+t = p（an +t），構(gòu)造an +t為等比數(shù)列.an+ = pan+tp"（t,p為常數(shù)）一型則超當(dāng)二 筆=駕十tp pnp- anp anan+ = pan+tq （t,p,q為吊數(shù)）F1 =n+t,冉參考類型（1）（3）q q q an

9、1 = pan qn r p,q, r是常數(shù) 一 an / ；in 1,=p an n and2 = pan+ + qan = an-2 -tan41 = p（an4 - tan J,構(gòu)造等比數(shù)列 Qn 由tan）例8、已知數(shù)列 加中，a1 =1 , an =2an +3,求an.練習(xí)：已數(shù)列an中，ai =1且an書=1an+1,則an =.2例9、已知數(shù)列an中，a1 =3,an書=3an +3n*,求4的通項公式練習(xí) 1：已知數(shù)列an中，a1 =3,an =2an+2n,則 an =.2 n練習(xí)2：已知數(shù)列 QJ中，a1 =2,an. =3an+4 3n,求恒的通項公式3例10、已知數(shù)列

10、。滿足為+=620+2日&=1,求21不同的信念，決定不同的命運練習(xí) 1：設(shè)數(shù)列 an滿足 a1 =1,an4 =3an +2n,則 an =n1練習(xí) 2：已知數(shù)列an中，a1 = ,an. =-an + ' l ，求 an.632不同的信念，決定不同的命運練習(xí)3：已知數(shù)列 Qn(nw N*)的滿足：a1 =1-3k,an=4n-1-3an_lc ,1 ,CI n _2,k ,k R 74n (1)判斷數(shù)列«an -土是否成等比數(shù)列;7(2)求數(shù)列an的通項公式例11、數(shù)列an中已知ai =1,an#=2an+3n,求an的通項公式練習(xí)1 ：數(shù)列 匕中已知a1 =2,

11、an書=3ann+2 ,求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)列an中已知a1 =2,an書=3an+2n2 n + 2 ,求an的通項公式不同的信念，決定不同的命運求求an的通項公式，令 bn = an書an。例12、已知數(shù)列an中，a =5,a2 =2,an =2an+3an/(n之3),求求an的通項公式練習(xí) 1：已知數(shù)列an中，a1 =1,a2 =2,an+2 =2an+1+1an ,33332練習(xí) 2：在數(shù)列an中，a1 =1 , 32=-, an = an邛+ 一553 求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求bn 。(2)求數(shù)列an的通項公式。不同的信念，決定不同的命運6、利用an與Sn的關(guān)系如果給出

12、條件是an與Sn的關(guān)系式,可利用ana1n = 1求解.Sn-Snj，n.2例13、已知數(shù)列an的前n項和為Sn =n2 2n+3,求an的通項公式.練習(xí)1：已知數(shù)列 Q的前n項和為Sn=1n2n+3,求 匕0的通項公式4練習(xí)2：若數(shù)列&的前n項和為Sn =3an_3,求an的通項公式21,，練習(xí)3:已知數(shù)列 匕前門項和5口=4-21-,求2/的通項公式 2 n -*7、倒數(shù)法(1)an4 = _pan ,nqaLLp-l+Z構(gòu)造工、是等差數(shù)列 qan + pan +panan p 科(2)pan 一 1an 1 = 一qan tan iS，.9pan p an p2a例14、已知數(shù)列

13、an滿足a1=1, an噂 =,求an的通項公式3an 2練習(xí)：已知數(shù)列劣中，© =3,烝邛=a，則an =1 2an2a,例15、已知數(shù)列an滿足a1=1, an =,求an的通項公式3%4練習(xí)：已知數(shù)列an中，a1 =2,an由=上a-,則an =31 anc _r._ c_ c. 網(wǎng)邊取河繳 _ _ _， _ _ 十士八/ 4 _ _ , 一并 il8、an斗二pan(p A0,an >0)" lgan子=lg p+rlgan,轉(zhuǎn)化為an41= pan+q型例16、已知數(shù)列an中，ai =100自#=10 a2,求an練習(xí)：已知數(shù)列an中，a1 =2,an. =2 a3,求an9、其他例17、已數(shù)列 中，a=1, an*爾=an 1 an ,則數(shù)列通項an =例18、在數(shù)列an中，a1 = 1, n>2時，an、Sn、Sn 1成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4；(2)求數(shù)列 心口的通項公式.例19、已知在等比數(shù)列an中，a1 =1