1、航海專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第一章 航海專業(yè)數(shù)學(xué)根底第一節(jié) 球面三角一球面幾何1球面和球面上的園1球面和球球面 spherical surface ：半個圓周繞其直徑旋轉(zhuǎn) 360 而成的旋轉(zhuǎn)面稱球面。 球：球面所包圍的幾何體稱球。球的半徑：球的直徑：2球面上的圓1大圓 great circle：過球心的平面和球面相截的截痕。 2小圓 small circle：不過球心的平面和球面相截的截痕。 過球面上不在同一直徑兩端的任意兩點，只能有一個大圓，卻能作無數(shù)個小圓。 一個球面上不可能有兩個大圓平行，兩個大圓的平面的交線是他們的直徑，并 且兩個大圓互相平分。2球面角和球面距離1 軸、極、極距、極線1軸 axis ：垂直于任一圓

2、面 大圓或小圓 的球直徑。2極 pole ：軸與球面相交的兩點。3 極距 polar distance：從大圓弧或小圓弧上的一點到極的大圓距離，又 稱該圓的球面半徑。球面半徑并非球的半徑。4極線：極距為 90 的大圓弧又稱為極線或稱為赤道 equator 。2球面角及其度量1 球面角 spherical angle：球面上由兩個大圓弧所構(gòu)成的角。其交點叫做球面角的頂點。2球面角的三種度量方法： 切于頂點的大圓弧的切線的夾角。 頂點的極線被其兩邊大圓弧所截的弧長。 極線上的弧所對應(yīng)的球心角。3球面距離的距離和最近距離1球面距離：連接球面上兩點的大圓弧長，以大圓弧所對應(yīng)的球心角用度、 分、秒來度量

3、。2 球面上兩點間的最近距離：過球面上兩定點間小于180o 的大圓弧 劣弧。4 圓心角相等的大圓弧與小圓弧的長度關(guān)系。厶力血；&和晶份別相尊的小惻瓠長和大 團號怕T其美廉品；肌快就-總依恥., U- P因為Pi4口長度又因為肌長度 g丄M即口肌隹度月月C任JO XPa AB JO XAa結(jié)論：地球緯度圈與赤道的長度關(guān)系：ab長度Ab長度 cos例題見教材。二.球面三角形1 球面三角形spherical triangle1 球面三角形及其六要素球面三角形：在球面上由三個大圓弧所圍成的三角形稱為球面三角形。 球面三角形六要素：構(gòu)成球面三角形的三個角和三個邊。航海上研究的是六個要素均大于Oo而小于1

4、80 0的歐拉球面三角形。天文定位實質(zhì)上就是解天文球面三角形。2球面三角形的分類 1 球面等腰三角形和球面等邊三角形。兩邊或兩角相等的三角形稱球面等腰三角形。 三邊或三角都相等的三角形稱球面等邊三角形。2 球面直角三角形和球面直邊三角形。至少有一個角為90o的球面三角形稱為球面直角三角形。至少有一個邊為90o的球面三角形稱為球面直邊三角形。 3球面初等三角形 primary triangle 。 三個邊相對于其球半徑來說非常小的球面三角形稱為球面小三角形 三個角 不會很小 ；只有一個角及其對邊均甚小的球面三角形稱為球面窄三角形； 而球面小三角形和球面窄三角形統(tǒng)稱為球面初等三角形。4球面任意三角

5、形。 凡不具有特殊條件的球面三角形稱為球面任意三角形。3球面三角形的關(guān)系1球面全等三角形。 在同球或等球上，邊角對應(yīng)相等，且排列順序相同的三角形。2球面相似三角形。 在半徑不同的球面上，邊角度數(shù)對應(yīng)相等的三角形。3球面對稱三角形 從球面三角形的三頂點作直徑與球面交得另外三個頂點，相連得到另一球 面三角形。 4球面極線三角形 polar triangle 。 球面三角形的三個頂點的極線所構(gòu)成的三角形，稱為球面三角形的球面極 線三角形。4球面三角形的性質(zhì) 1球面三角形與三面角的關(guān)系2球面三角形的每一邊必大于Oo而小于1800,三邊之和大于 Oo而小于3600 3球面三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之

6、差小于第三邊4 球面三角形的每一角必大于00而小于1800,三個角的和大于 1800而小于 540o5 球面三角形三角之和超出1800的局部稱為球面盈角。6 球面三角形兩角之和減去第三角小于1800 7球面三角形的外角小于相鄰的兩內(nèi)角之和而大于它們之差。5 球面三角形的成立條件 1當(dāng)給定了球面三角形的三個邊時： 任一邊應(yīng)大于 00,小于 1800； 三邊之和大于 00,小于 3600； 二邊之和大于第三邊或二邊之差小于第三邊。 2當(dāng)給定了球面三角形的三個角時： 任一角應(yīng)大于 00,小于 1800； 三角之和大于 1800,小于 5400； 二角之和減去第三角小于180。(3) 假設(shè)給定球面三角

7、形的兩個角及其夾邊或兩個邊及其夾角，那么僅需滿足每一個角和每一個邊大于嘰小于180。的條件，球面三角形都成立。(4) 假設(shè)給定球面三角形的兩個角及其一個角的對邊，或兩個邊及其一邊的對 角，那么該三角形是否成立，情況比擬復(fù)雜。2.解球面三角形(1)余弦公式(cosine formula):邊的余弦公式是：cosa=cos bcosc+sin bsinc cosAcosb=cos acosc+sin asin ccosB cosc=cos acosb+sin asin bcosC一個邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積加上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積。 角的余弦公式是：cosA=-cos BsosC+s

8、in Bsin CcosacosB=-cosGbosA+sin Csin AcosbcosC=cosAcosB+sin Asn Bcosc一個角的余弦等于其它兩角余弦的乘積冠以負(fù)號加上這兩角正弦及其夾邊余弦 的乘積。(2 )正弦公式(sine formula) :各邊的正弦與其對角的正弦成比例。sin asinbsinesin Asin BsinC(3) 余切公式即四聯(lián)公式 (four parts formula) :ctg asin b=ctg As in C+cosCcosbctg asin c=ctg As in B+cosBcoscctg bsin a=ctg Bsin C+cosCc

9、osactg bsin c=ctg B+cosAcoscctg csin a=ctg Csin B+cosBcosactg csin b=ctg Csin A+cosAcosb外邊余切內(nèi)邊正弦的乘積等于外角余切內(nèi)角正弦的乘積加上內(nèi)邊內(nèi)角余弦的乘 積。四聯(lián)公式可以轉(zhuǎn)化，例：ctg asin b=ctg As in C+cosbcosC 可轉(zhuǎn)化成：ctg A=ctg asin bcscC-cos bctg C3球面直角三角形公式和球面直邊三角形公式：(“大字法那么)1) 球面直角三角形(right-angled triangle)公式：任一要素的正弦，等于相鄰二要素正切的乘積或等于相隔二要素余弦的

10、乘積。 假設(shè)a和b,求c。按任一要素的正弦等于與其相隔二要素余弦乘積的法 那么，可得：sin(90 o- c)=cos acosbcosc=cosacosb又假設(shè) A和B,求c。按任一要素的正弦等于與其相鄰二要素正切乘積的法 那么,可得：sin(90 o- c)=tg(90- A)tg(90- B)cosc=ctg Actg B2) 球面直邊三角形 (quadrantal triangle) 公式： 任一要素的正弦,等于相鄰二要素正切的乘積或等于相隔二要素余弦的乘積。假設(shè)等式右邊的正切和余弦的乘積中,遇有兩個要素都是邊或都是角時,那么在乘積之前 冠以負(fù)號。4球面初等三角形1) 球面小三角形其特

11、點是：A 三邊相對球半徑甚?。籅 三角不會很?。籆 三角和接近 180；D 其面積接近平面面積。一般可將球面小三角形視為平面三角形進行近似計算。2) 球面窄三角形其特性是：A. 邊a相對球半徑甚小；B. 小邊的對角 A也很小；C. 另外兩邊的差很小(兩邊近似相等b-c);D. 小邊的鄰角等于另一鄰角的外角，B- C外。3) 解球面窄三角形，小邊a與其鄰角B及邊c,而需要求角 A及邊bo ( 1)求 b 邊的第一近似公式和第二近似公式；(c b)1acosB(c b)2a sin B 2acosB 2 coses inb( )2 sin c(c b)i2asin 2 Bctgccosc2求角A第

12、一近似值和第二近似值公式a sin BAisi nc在第一近似值不能滿足高精度要求時，可求第二近似值。sin 2 Bctgccosca sinB a sinBacosBctgc A1 si ncsi nc4度與弧度的換算關(guān)系如下：3602210017453 弧度360咖3601 弧度57 .334382某一角，其值用度或分制單位表示為x或x，用弧度制單位計量，那么它們之間的關(guān)系為：rXXX弧度一57 .33438arc11=1。的弧度值0.01745弧度57 .3arc11=(1 的弧度值)=0.00029弧度3438上式那么可寫成：x弧度x arc1 =x arc1 5 球面三角形的解法1

13、畫圖法：根據(jù)該三角形的條件，畫出示意圖，求出未知量 例： a=50 ,b=70 ,C=120 畫圖求 c A B解：在球上取 B、C兩點，使BC=a= 50 ,過C點作與BC夾角120的大圓弧在大圓弧上取 CA=70=b用大圓弧連接BA那么三角形ABC即為所求球面三角形 在此三角形上量出 c=105 ,A=75 ,B=702 公式法：根據(jù)條件，選擇適宜的公式，求出未知量。有以下幾種解法： 三角函數(shù)對數(shù)表法已經(jīng)淘汰。查表法天文中講。計算器解算法用得最多，這里只講此方法。第二節(jié)觀測誤差一、觀測誤差的種類、性質(zhì)與處理方法1觀測 定義：觀測也稱測量。它是將所求量與作為測量單位的同類量作比擬而得出測定

14、值，是一個較復(fù)雜的過程。按觀測條件及觀測結(jié)果的質(zhì)量， 分類：等精度觀測和非等精度觀測。2誤差：觀測值與所觀測量的真值之間的差值。1 誤差 = 觀測值 - 真值2產(chǎn)生觀測誤差的主要原因有： 人為過失 測量儀器的不完善 測量方法不準(zhǔn)確 測者感觀上的缺陷 環(huán)境條件的影響 所用的計量單位不能量盡被測量的量3誤差的種類觀測誤差按其性質(zhì)可分為：1粗差 mistake ： 由于觀測方法的謬誤或者由于觀測者的粗心大意等過失而產(chǎn)生的誤差。如看錯 物標(biāo)，讀錯讀數(shù)，以及測量方法上的錯誤等等。2系統(tǒng)誤差 systematic error：它服從于一定的函數(shù)關(guān)系。在同一條件下反復(fù)觀測時，它不改變數(shù)值和符號；在條件變化時

15、，誤差或保持不變，或按一定 的規(guī)律變化著。如存在于羅經(jīng)中的基線誤差或羅經(jīng)差、六分儀中的指標(biāo)差、計 程儀改正率、以及天體高度改正等都屬于系統(tǒng)誤差。3偶然誤差 隨機誤差 ,random error ： 其個別值不服從任何一定的函數(shù)關(guān)系。在同一觀測條件下，它不斷地改變數(shù)值 和符號。隨著觀測次數(shù)增多，它產(chǎn)生的原因是臨時性的、偶然性的和隨機性 的。從總體上看，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明 顯。如測量值中的觀測誤差和湊整誤差、航向不穩(wěn)而引起的誤差，船舶搖擺而 引起的觀測誤差等都屬于偶然誤差。根本特征：A 在一定的觀測條件下，偶然誤差的數(shù)值有一個限度；B絕對值小的誤差出現(xiàn)時機比絕對值大

16、的誤差出現(xiàn)時機較多；C絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差，其出現(xiàn)的時機相等。D當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，誤差的算術(shù)平均值趨于零。4 誤差的處理方法觀測誤差的消除和削弱的方法，是根據(jù)誤差的種類不同而不同。1粗差：一般用重復(fù)觀測或檢核計算的方法來發(fā)現(xiàn)和消除它，對觀測者來說應(yīng)該盡可能 地防止發(fā)生和排除粗差的產(chǎn)生。2 系統(tǒng)誤差的消除，通常采用以下兩種方法：A解系統(tǒng)誤差的規(guī)律，針對既定情況，將它求出或測出，然后對觀測結(jié)果加以 改正消除它。如儀器的零點差、某地區(qū)的磁差、一定航向上的自差、計程儀 的誤差、天體高度天文蒙氣差等等。B直接求出該系統(tǒng)誤差，而是采用適當(dāng)?shù)臏y量方法和步驟，將它的影響消除 掉。如三方位陸標(biāo)定位時，

17、就是消除系統(tǒng)誤差的方法。3偶然誤差：對偶然誤差性質(zhì)的了解、規(guī)律的掌握和由此所采取的相應(yīng)措施，可使我們在一 定程度上削弱它的影響。二、觀測的最概率值及其精度1 .偶然誤差的概率分布 偶然誤差服從正態(tài)分布密度函數(shù)(2m 2式中：一一偶然誤差值；m 該觀測組的均方誤差sta ndard error從函數(shù)分析可知：1f為偶函數(shù)，在=0處，曲線有一頂峰=-2，由頂峰向兩邊對稱下降，其拐點位置在=m處，下降到兩端趨于平緩，并以橫軸為漸近線。這曲線反映了觀測偶然誤差的根本特征。2當(dāng)觀測值的均方誤差改變時，曲線的峰值、形狀也隨著改變。m減小峰值增加，但曲線以下面積仍等于 1，所以曲線兩邊很快趨近橫軸 如圖1-

18、2-2所示。m值愈小，表示 觀測組中絕對值小的誤差愈多，那么觀測愈精確。2、觀測誤差尺度及其概率1誤差尺度的選擇衡量的幾種尺度：(1)誤差的算術(shù)平均值 一-利用高斯符號表示 ，不能作為衡量誤差的尺度。nn(2)誤差絕對值的算術(shù)平均值(稱為平均誤差)，比擬正確反映了觀測的精確n度，可以用來作為衡量觀測誤差的尺度。(3 )均方誤差m=均方誤差(或稱標(biāo)準(zhǔn)誤差)正確地反映了觀測組的精確度，更加如實地反映了觀測組 誤差如下的本質(zhì)： 它不等于零，因為絕對不含誤差的觀測是不可能的； 它與諸 i的符號無關(guān)，因為誤差的符號對觀測組精確度的評定并無實際意義; 較大誤差的影響能更明顯地反映岀來； 它比擬穩(wěn)定，在觀測

19、次數(shù)足夠多的情況下，任意多一次或少一次，均方誤差變動 不大。觀測組的均方誤差也稱為單一觀測的均方誤差。2)偶然誤差概率的計算令t=,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)mf(t)=誤差值式中:t=m=均方誤差顯然誤差落在-tm、+tm區(qū)間的概率tmtm1.22 dt正態(tài)分布函數(shù)為偶函數(shù)P tmtmI2dt極限誤差二3m大于3m的誤差那么視為粗差，其觀測值剔除不用。但在要求較高的觀 測中也有用2m作為極限誤差，以確保觀測結(jié)果的準(zhǔn)確性。概率等于50%的誤差界稱為或然誤差或中央誤差，即誤差絕對值大于或然誤差或小于或然誤差的時機均為50%。t=0.6745時其概率恰為50%,所以或然誤差與均方誤差的關(guān)系為：2 =0.