2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷和B卷試題和答案

1、2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試一、填空題1 .設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)X有f(x3)f(x4)1.又當(dāng)0x7時(shí)，f(x)log2(9x),則f(100)的值為.22 .右頭數(shù)x,y滿足x2cosy1,貝Uxcosy的取值氾圍是.22一xy3 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為：1,F為C的上焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，P是910C上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OAPF的面積的最大值為.4 .若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是。5 .正三棱錐P-ABC中，AB=1,AP=2,過AB的平面a將其體積平分，則棱PC與平面a所成角的余

2、弦值為.6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K(x,y)x,y1,0,1.在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為；5的概率為.7 .在ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn).若AABC的面積為J3,則仄M由3的最小值為.8 .設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列an,bn滿足：a10b102017,對(duì)任意正整數(shù)n,有an2an1an，bn12bn,則a1b1的所有可能值為.二、解答題9 .設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式x2kxm1對(duì)所有xa,b成立.證明：ba2J2.x2x310 .設(shè)x1,x2,x3是非負(fù)頭數(shù)，滿足x1x2x31,求(x13x25x3)(x1)的取小值和取大值.35一._一

3、一_2_2_._11 .設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足Re(z10,Re(z2)0,且Re(z1)Re(Z2)2(其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部).(1)求Re(z1z2)的最小值；求z12z22z1z2的最小值.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試一.如圖，在ABC中，ABAC,I為ABC的內(nèi)心，以A為圓心，AB為半徑作圓1,以I為圓心，舊為半徑作圓2,過點(diǎn)B,I的圓3與1,2分別交于點(diǎn)P,Q(不同于點(diǎn)B).設(shè)IP與BQ交于點(diǎn)R證明：BRCRannan,.設(shè)數(shù)列an定義為a11,an1n1,2,.求滿足arr32的正整數(shù)r的個(gè)ann,ann,.若相鄰連個(gè)小方格三.將3333方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之

4、一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值.四.設(shè)m,n均是大于1的整數(shù)，mn,a1,a2,an是n個(gè)不超過m的互不相同的正整數(shù)，且a1,a2,an互素.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) x,均存在一個(gè)i(1 i n),使得|aix|m(m 1)xi,這里I y表示實(shí)數(shù)y到與它最近的整數(shù)的距離2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試答案解：由條件知，f(x+14)=!=汽瑞，廝以小+7)1./(-100)=J(-100+14x7)=y(-2)=-log,42W-臼于t12cosrQ(-1,3*故J3.Ji| y"由 cos -可知，1 - ccii

5、r l(A ' I)-】.因此=1= 5J .2.A8ST有最小tflM這時(shí)T可以職工)：當(dāng)V*忖，.1COh有最大傕、八IL這時(shí)F可以取R).由于:(工+1一1的值域是一】,45+1,從而丁-cosy的取值范臣是l-1,有+1.解:易知70,0),F(0,1).設(shè)尸的坐標(biāo)是。8雙Jiisin彌0,三,則-(v|3n.="sin(8+.).223.其中【心】“.當(dāng)，="urcWrW】。時(shí)，泅邊形。父FF而積的最大“直為102解:考慮平穩(wěn)數(shù)gC.若占=0.則3=1,右任也,有之個(gè)平穩(wěn)數(shù).若b=1,則日日1,2,*他1；,有2x3=6個(gè)平穩(wěn)數(shù).若ZWT8,劉人處一16”

6、+曲有7x3x3=63個(gè)平穩(wěn)數(shù).若h=9,則工白W電9,有2*2=4個(gè)平穩(wěn)數(shù).4.綜上可知平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是2+6+63+4=75.悌：設(shè)4用PC的中點(diǎn)分別為尤整，則易證平而乂8M就是平面門,由中線長(zhǎng)公式知、I.-IAM-APAC)-24所以 = y/Af2-AK2=歸5.6.又易知直線尸在平面門上的射影是直淺“*，而Cf=1,KC=§.所以nKl-K：'-K(.cosZA.WC-2Kf故校PC與平面r上所成角的余弦值為3.10解：易即*中有9人點(diǎn).故在火中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為C；=84種.將火中的點(diǎn)按右圖標(biāo)記為心月,4.其中有名對(duì)點(diǎn)之叵的距寓為3.由什彌性,考慮取.與4西點(diǎn)

7、的憎況.則剩下的一個(gè)點(diǎn)有7種取法，送樣有7#*=56個(gè)三點(diǎn)蛆不計(jì)每俎中三點(diǎn)的次序），對(duì)每個(gè)4。=1,2,，、*）.K中恰有4H/兩點(diǎn)與之距高為#（這里下標(biāo)按噗！i理解），因用恰耳£4,4卬4Tm=LZ，用這8個(gè)三點(diǎn)蛆被計(jì)了兩次.從而滿足條件的三點(diǎn)蛆個(gè)數(shù)為582=41進(jìn)而所求概率為竺=上847_II*T.3MMIMIHlfc悌：由條件知*.一一.格m八ic故>f44.、：'”十.卜:，而je：；山丁7,附“，由于蘇=&皿=；,%同,卜葉獸市/，卜目口；41所以4（,卜，進(jìn)一步可得心,”'一J/i|j/|cosJ-2t從而Tv-TTyi沖瓦771-'

8、Afi+AC-當(dāng)戶卜套國(guó)=僅為*而下的最小值為VidL解：由條件可知:小,，A均為正整數(shù)，且由于2014-2F_51M,故卜"W，反復(fù)運(yùn)用凡的遞推關(guān)系知u-a卜”2(/1-th-3</.I1m15ht3d.-R(aI5n.，IMMft,i*n/$一13%+Xu1-21%+13.-34%+214.因此2皿三。卬=狐=512。三2fe(mod34)tSB13x2l34»8+1,故有仃13x21%13x獨(dú)一266(mod浦L另一方面，注意到叫<,有557<34%+21%-512如故</>r8.55當(dāng)*T時(shí)，分別化為什】應(yīng)刊“：工，無解.a.口Br當(dāng)九

9、一對(duì)，分別化為/一5?舊聞34）.叫凹生t得到唯一的正整數(shù)55（71I%此時(shí)叫4/?1-20,當(dāng)一J時(shí)，I分別化為H7Hmod34h</.得到唯一的王整數(shù)1155%10,此時(shí)必+一I工綜上所述，馬+的所有可能值為13.20.證明士令=-履一排，xa,57則fS）W-L1.于是/（口）=a-ka-Jti<Itf（/j）=b1kbm<f曰+b（a+bVR+bg什卜匕-y-小-、4分由十一2x知，g，研4+/一可苫<4,故方一口£2叔16分10.#：由柯西不等式3+證+以。明吟吟）*（百百/7，再+7-區(qū)十/r3y-Ir當(dāng)&=I,通=0,馬=0時(shí)不等式等號(hào)成

10、立；故欲求的艮小值為L(zhǎng).分因?yàn)閄+3i2+5r3）（rL+i-+i）=j（x+3r;+f馬）（5#+今+與）I1（“丫吟；（/十雙）十半+叼=5（兔+-yX,+6X-1Q分J以A,V9三行（6/十6"6aJ=,，當(dāng)即”01號(hào)府不等式等號(hào)成立,他欲求的最大值嶺加分11.解：（1|對(duì)#=L2,設(shè)=勺-_】/（兀,丸WH）.用條件知維=45J>0,x-y；=Re|zJ=2.因此Re（rZj）=Re（1-fi）（工+y：i）J=王/一/月=Jg；4）W-TM，上陷|+2）72“又當(dāng)二二口一人時(shí).Rczlz:>-2.這表明，Rek/的最小值為2.5分（2）對(duì)#=1,2,將4對(duì)應(yīng)到平

11、而直角坐標(biāo)系位中的點(diǎn)兒八記g是居關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn),則七片均位于雙曲線=2的右支上.設(shè)串網(wǎng)分別是匚的左，右傳點(diǎn),易知片（-2,。月口0）.根據(jù)雙曲線的定義，有忸月|=|月刊+WIJ嗡卜|嶗|+WL進(jìn)而得|芍+2卜|耳十2卜忖一勺卜.十4十|1+2|一卜一司=M+1竊|一苗=4應(yīng)+明一|次|-怛碓/,FkTPFFhhhi,hTPT口警號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)豈位于線段？月上£例如，當(dāng)=三=2+&1時(shí),月憐是的中點(diǎn)），綜上可知，,+2|+5+2卜,一回的最小值為3/L比分2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試答案證明連接般.K.。.PH'PC由于點(diǎn)。在阿匚上*故歷=/Q所以上/月。=/。

12、月.7R*/.ORAttBS.StL7/IQR=Z/Pfl.于是/7fiQ=/7PA.版A!BPsAJRR.從:七/依B=Z7BP.I；IBIPTrIb注點(diǎn)到R,為A4E-的內(nèi)心放招=FC，所以/C/£f是3Kps飲C.故/«£"?又點(diǎn)座回/；的泵曲71.iSEZBFC=IW-ZAt12ZBRC=ZfM+ZWC=Z/BP+Z7CPm360'-ZBIC-£BPC二360（90*+；）一（180*_；）因此-W.故HK_L<K.10分IU分一解,由數(shù)列的定義可斯研二入勺=2.假設(shè)對(duì)某個(gè)常數(shù)rA2布4kr,我們證明對(duì)，=1'*”

13、-1，自ar¥>-2r+f-l>r-*-2r-t二r-J<f+2i*(L1時(shí)才白納海明."i一I時(shí).illpar-r>r*由定M.叫履3+r=r+r=2dl.tfr+2-tr+l)=2r-(r+i)sr-|<r+2+結(jié)論MjM.設(shè)對(duì)某個(gè)I7</7成立.則由定義4*i,i=q+為十(,+'r一十*2r+J)/十2(+1<J3r+1-(r+2/+l>=2r+/-(r+2f+0=-I<r+21+2»即結(jié)論對(duì)，+】也成:匚由數(shù)學(xué)也納法知，時(shí)所"=12"T成立.特別當(dāng)/二，-1時(shí)*有/t=1*

14、從而0以7="e產(chǎn)(皆-2)=3r-l-若將所書滿足=的正整數(shù)r從示到大記為不小.則由上面的結(jié)論可知4=1.與=2,*=3)1-1,Jt=2,3-*一*.*“*1.*.*.20分由此可知腓r3r*1.7%tnIh從rftj一xJ山iir類就地定義加我£).于是 II) I£皿人)*倒也力-2£函A1 +國(guó)坨*/) *,!,» “3二££曲4,卜曲耳父)二Z“£). IjT南麻，色的方格行133>=353個(gè).設(shè)含有匕色方格的打仃”個(gè)+列療力個(gè)，則勺色的方丹一定在過什和b包的交義方格中,詞此帥之前暫從而 hS J

15、 = + 8之 2-Jab > 21J363 > 3K,故”勺)之3九j = L2.3.-1F3同|T+一一.*1ji，產(chǎn)I，41產(chǎn)*J.1由于。二<3即；<彳匕二在L2，.產(chǎn)”中滿足凡二的故，共有2018個(gè)，為心事,%h*30分由可知.對(duì)毋個(gè)小劃7+1”工f2中恰行一半滿足呵<r.由于6tt+1=胃*十I與產(chǎn),均為奇數(shù)，而在0.+L中*”中，奇數(shù)均滿足凡”隅教均詞足,<，其中的女改比布股少I個(gè).因此滿足叫<r<351t的正整數(shù)r的個(gè)數(shù)為:(聲-2018-1)=莖了空.40分解:記分隔邊的條數(shù)為2.H先，將力格紙技如圖分成：個(gè)區(qū)域.分別染成：.牌

16、旗色，粗線上均為分隔辿*此時(shí)其有56條分隔邊.即2=56.10分U3J下面還明£之56.將方格餓的行從上至下依次記為4.人1*列從左至右依次記為段方”鼻.行4中方格出現(xiàn)的題色數(shù)記為孤4)列就中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)效記為匍耳).三總醺色分別記為qq瑪.對(duì)于儕色勺設(shè)聯(lián)公)是含有J色方格的行數(shù)與列數(shù)之和.記舞、ft若A行含有白色方格，由于在行人中育市種酸色的方格,因此至少有黑人)-1條分同理在列日中,邕少條分隰邊.子是/r口；八工5儲(chǔ))-口+工阿里I=2(/i(4)+n(0-66®二Znct)-66.30分卜面分兩畀情形討論.WI形1:W十或-列全部方格同色.不妨設(shè)有行全為勺色.從西

17、方格紙的33列中均含有白色的方格.曲于。色方格ff新3個(gè).故至少宥“行中含有勺色方格于是)11+33=44.由,及即得L之，J"JT>打仁I66>4459+3966=56.40分2：沒有一行也沒有列的全部方格腐色,則對(duì)任點(diǎn)1£區(qū)33.均杳舊41之2.mwr)>2.從而由知ji£受工加(4)12-66宮33,4,66-66>5品綜上所述.分隔£條數(shù)的最小值等于56.50&正弟：首先證明以下再個(gè)痛玷於1：仃在印也7j.j;.依足廣冏+44mlM=1*弄II*區(qū)加.)£j£a.由1皿*1*.qj=1.由i?蜀

18、定理,痔任螯蕾,*G*、c/酒足9-ifnL®卜面證明.通過芮整.存存一級(jí)3匕.亮.滿足,且絕對(duì)值均不顯過M.id$1%.c小/1工242Q：&(。,自O(shè)工|勺？0.如果學(xué).，0.如工存A勺>EAI.：I<_0A1.又國(guó)為4«&_,廿/勿為正&.故由可知存在9<0.令C：=9-&,.；*"*ct=ct(l<k<»*HJ卜四.R1+c：也&=i并且04巾-。，4<'<£r,因?yàn)閝'vq,H.c/<m.所以與(<*；.<；"

19、；)<Sjq.G.,q),乂c；>r,及c,*>0.故S式c；.c；.,c：)4S式qgL.q).如果S,>0那么存在r,<-m,因此有個(gè)C,>0.令c：=c%,c*=<?,<!,c；=q(l44"及=i,j),那么成立.并且-E<r；<q,c,<c；<0.與上面類似地口J知Sjqg.)4S(cgg,&)fl&yg.&)vSqg,因?yàn)镾1與另均是非他整數(shù),故通過有限次上.述的調(diào)整，可得到組g.c,c.使1成0片且S)=S,=O.結(jié)論I獲證.20分結(jié)論2(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)均61abllVlal

20、Nbll.(2)任意整數(shù)"和實(shí)數(shù)y行R“g“|llyl.由J對(duì)任意整數(shù)“和實(shí)數(shù)X.有II""11=1x11,故不妨設(shè)"£71二,此時(shí)22llal二|a|,IIb若油40，不妨設(shè)o04，則+bw，從而22IIab11=|。+。國(guó)0|+|6|=11。Ikib|若H>>0.即ab同號(hào).當(dāng)|0|+)區(qū)1時(shí),有"+。曰一_1.!.此時(shí)222ln+/d川+/>Ra|+MM。IRML當(dāng)時(shí)，注意總有11。十川區(qū)：，故llu+frl$-<|tf|+|fr|=llalMI/>L30分故(1)用證.由(D及l(fā)l-yll=lly

21、l即知(2)成立.回到假用題，由結(jié)論1，存起整數(shù)弓弓.,。.使得c岡山網(wǎng)+一。：并且IqKm.于是利用結(jié)論2得IIX1=|£c"g£|G|IS114m為atxI.因此maxIIatx11IIx1mnK)分若35(朋十】).山可知n,.11x11211xIImaxIIaxII22xmnm(/n4l)+則在4M,中存在兩個(gè)相鄰正整數(shù).不妨設(shè)“a,相鉆.則Ix11=11%II4IIa2xll+llatxII.故II%人II。|qxII中個(gè)，Axil211x122m(rn+l)綜上所述，總存在一個(gè)f滿足II瞌2Ixlh50分m(m+l)2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(

22、B卷)一、填空題：本大題共8個(gè)小題,每小題8分，共64分.1 .在等比數(shù)列an中，a2艮a333,則a1a2011的值為.a7a20172 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z910z22i,則|z|的值為.3 .設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x)x2是奇函數(shù)，f(x)2x是偶函數(shù)，則f(1)的值為.4 .在ABC中，若sinA2sinC,且三條邊a,b,c成等比數(shù)列，則cosA的值為.5 .在正四面體ABCD中，E,F分別在棱AB,AC上，滿足BE3,EF4,且EF與平面BCD平行,則DEF的面積為.6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K(x,y)|x,y1,0,1,在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之

23、間距離均不超過2的概率為.7 .設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次曲線x2ay2a20的焦距為4,則a的值為.8 .若正整數(shù)a,b,c滿足201710a100b1000c，貝U數(shù)組(a,b,c)的個(gè)數(shù)為.二、解答題(本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)9 .設(shè)不等式|2xa|52x|對(duì)所有x1,2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.210 .設(shè)數(shù)列%是等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn為向2Hn,n1,2,L.(1)證明：數(shù)列bn也是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an、bn的公差均是d0,并且存在正整數(shù)s,t,使得asbt是整數(shù)，求|a1|的最小值.11.在平面直角坐標(biāo)系xO

24、y中，曲線C1：y24x,曲線C2:(x4)2y28,經(jīng)過C1上一點(diǎn)P作一條傾斜角為45o的直線I,與C2交于兩個(gè)不同的點(diǎn)Q,R,求|PQ|PR|的取值范圍.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（B卷）一、(本題滿分40分)設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc0,令dmaxa,b,c,證明：(1a)(1b)(1c)1d2二、（本題滿分40分）給定正整數(shù)m,證明：存在正整數(shù)k,使得可將正整數(shù)集N分拆為k個(gè)互不相交的子集A1,A2,L,Ak,每個(gè)子集A中均不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d（可以相同），滿足abcdm.三、（本題滿分50分）如圖，點(diǎn)D是銳角ABC的外接圓上弧BC的中點(diǎn)，直線DA與圓過點(diǎn)B,C的切線分別

25、相交于點(diǎn)P,Q,BQ與AC的交點(diǎn)為X,CP與AB的交點(diǎn)為Y,BQ與CP的交點(diǎn)為T,求證：AT平分線段XY.四、(本題滿分50分)設(shè)a1,a2,L001,2,L,5,b。1,2,L,10,集合X(i,j)1ij20,(aiaj)(bibj)0,求X的元素個(gè)數(shù)的最大值一試試卷答案1.答案:解：數(shù)列an的公比為qa3 3故a22a1a2011a7 a2017a1a20116/q (a1a2011)2.答案:J5。解：設(shè)z abi, a,bR,由條件得(a 9) bi10a (10b 22)i ,比較兩邊實(shí)虛部可得a b9 10a 后小,解得:10b 22a 1,b2,2i ,進(jìn)而 |z| J5.3.

26、答案:7。解：由條件知,4f(1)(f( 1)2-(1)f( 1) 1.1f 2 f(1) 2兩式相加消去f( 1),可知:2f(1)即 f(1)4.解：由正弦定理知，a sinA 2,c sin Ca:b:c 2:72:1 ,從而由余弦定理得:, 222a b c acosA 2bc(. 2)2 12 2222 15.解：由條件知,EF平行于BC ,因?yàn)檎拿骟w ABCD的各個(gè)面是全等的正三角形，故AE AF EFAD AB AE BE 7.由余弦定理得，DE,AD2 AE2 2AD?AE?cos60o、49同理有DF 37.1作等腰 DEF底邊EF上的局DH ,則EH EF 2 ,故DH

27、2Jde2 eh2 V33,于是 S DEF 1 EF gDH 2 33.26.解：注意K中共有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為3_C984 種,當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時(shí)，有如下三種情況:(1)三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種情況,(2)三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1,1,J2的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有4416種情況,(3)三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為近,J2,2的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，其中，直角頂點(diǎn)位于(0,0)的有4個(gè)，直角頂點(diǎn)位于（1,0）,（0,1）的各有一個(gè)，共有8種情況.綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為.、,30516830,進(jìn)而所求概率為3084147.解：二次曲線方程可寫成0,

28、故二次曲線為雙曲線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(a)2(a)2(F22(a)a注意到焦距2c4,可知1.17所以a1一172一一20178.解：由條件知c竺710001時(shí),有10b20,對(duì)于每個(gè)這樣的正整數(shù)由10ba201知，相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)為20210b,從而這樣的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為20(20210b)b10(1022)11572，2,一,2017當(dāng)c2時(shí)，由20b,知，b20,100進(jìn)而2002017201,10故a200,201,此時(shí)共有2組（a,b,c）.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為5722574.9.解：設(shè)t2x,則t2,4，于是|ta|5t|對(duì)所有t2,4成立，由于|ta|5t|(ta)2(

29、5t)2,(2ta5)(5a)0,對(duì)給定實(shí)數(shù)a,設(shè)f(t)(2ta5)(5a）,則f（t）是關(guān)于t的一次函數(shù)或常值函數(shù),注意t2,4,因此f(t)0等價(jià)于f(1a)(5f(4)(3a)(5a)a)0),解得3a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3a5.10.解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為則bn1bn(an22an3an1)(ana2)an2(an3an1)(an1an)(an1an)an2g2d(an1an)gd(2an2an1an)gd3d2所以數(shù)列燈也是等差數(shù)列.（2）由已知條件及（1）的結(jié)果知：3d20,bnanan2a2(and)(an2d)an2-_23dan2d2an9若正整數(shù)s,t滿足as

30、btZ,則asbtasbtai(s1)da1(t1)d2al個(gè)非零的整數(shù)，故118a1 | 1 ,從而、一st22記l2a1,則lZ,且18al3(31st1)1是391a11a.181117又當(dāng)a1時(shí)，有a1b31Z,181818綜上所述，|a1|的最小值為.2.一 .、一 一22 22t t，代入曲線C2的方程得，(x 4) (x 2t t )8,1811.解：設(shè)P(t2,2t),則直線1的方程為yx化簡(jiǎn)可得：2x22(t22t4)x(t22t)280,由于1與C2交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故關(guān)于x的方程的判別式為正，計(jì)算得，2_2_2_2_2_2_2_2_2一222222222一(t2t4)2(

31、t2t)8)(t2t)8(t2t)162(t2t)1642_2_2_2_2_(t2t)8(t2t)(t2t)(t2t8)t(t2)(t2)(t4),因此有t(2,0)U(2,4),設(shè)Q,R的橫坐標(biāo)分別為為？2,由知，Xix2t22t4,xx21(t22t)28),2因此，結(jié)合l的傾斜角為45o可知，|PQ|gPR|而Xit2)g72(x2t2)2x1X22t2(x1X2)2t4.222.24.4,.3,.24.3_.24(t2t)82t(t2t4)2tt4t4t82t4t8t2tt44t28(t22)24,由可知，t22(2,2)U(2,14),故(t22)20,4)U(4,196),從而由得

32、：|PQ|gPR|(t22)244,8)U(8,200)2注1：利用C2的圓心到l的距離小于C2的半徑，列出不等式土;5"|22,同樣可以求得中t的范圍.注2：更簡(jiǎn)便的計(jì)算|PQ|gPR|的方式是利用圓哥定理，事實(shí)上，C2的圓心為M(4,0),半徑為r2J2,222221242故|PQ|gPR|PM|r(t4)(2t)(2V2)t4t8.加試試卷答案、證明：當(dāng)d1時(shí)，不等式顯然成立以下設(shè)0 d1,不妨設(shè)a,b不異號(hào)，即ab 0,那么有(1a)(1b)1abab1ab1c1d02c因此(1a)(1b)(1c)|(1c)(1c)1c21c1d20(mod m 1),二、證明：取km1,令

33、Axxi(modm1),xN,i1,2,L,m1設(shè)a,b,c,dA,則abcdi?ii?i故m1abcd,而m1m,所以在Ai中不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d,滿足abcdmAXAY證明：首先證明YX/BC,即證XCYB連接BD,CD,因?yàn)镾A巴？SSABCSABCABPSACQSABP所以21，AC?AQsin CAQ21 八-AB?APsin BAP 211八八AC?CQsinACQ1AC?BCsinACB1八八J1八-AB?BCsinABC-AB?BPsinABP22由題設(shè)，BP,CQ是圓的切線，所以ACQABC,ACBABP,CAQDBCDCBBAP（注意D是弧BC的中點(diǎn)），于是由知AB?

34、AQCQ本AC?APBP因?yàn)镃AQBAP,所以BAQSABQSACP1-1AB?AQsin2BAQ1一AC?APsinCAP2AB?AQAC?APBCQBCP1“BC?CQsinBCQ21BC?BPsinCBP2CQBP由，,SCBQ即SABQSCBQSACPSBCPS_oABQSCBQAXXC'SACPSBCPAYYB故空AYXCYBAXCMBY.設(shè)邊BC的中點(diǎn)為M,因?yàn)椋?,XCMBYA所以由塞瓦定理知,AM,BX,CY三線共點(diǎn)，交點(diǎn)即為T,故由YX/BC可得AT平分線段XY四、解：考慮一組滿足條件的正整數(shù)(a1,a2,L,a20,b1,b2,L,b20)對(duì)k1,2,L,5,設(shè)a1

35、,L,a20中取值為k的數(shù)有tk個(gè)，根據(jù)X的定義，當(dāng)優(yōu)aj時(shí)，(i,j)X,因此55至少有C：個(gè)(i,j)不在X中，注意到tk20,則柯西不等式，我們有k1k15c21c525115251CC20Ct2-?(t"tk)-?(-(tk)2tk)-?20?(1)30k12k1k125k1k125從而X的元素個(gè)數(shù)不超過C203019030160另'方面，取a4k3a4k2a4k1a4kk(k1,2,L,5),b6ai(i1,2,L,20),則對(duì)任意i,j(1ij20),有(aiaj)(bibj)(aiaj)(6a)(6aj)(aiaj)2022等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)aiaj,這恰好發(fā)生5

36、c430次，此時(shí)X的元素個(gè)數(shù)達(dá)到C2030160綜上所述，X的元素個(gè)數(shù)的最大值為160.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（B卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 .評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔：其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不得增加其他中間檔次，2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中第9小題4分為個(gè)檔次，第10、11小題5分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次.一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.L在等比數(shù)列加“中，%=應(yīng).=如，則且上外的值為生卜“卻”答案：I.9解

37、:：數(shù)列4的公比為4="=甲，故=：十02V2aT+aMP刈i）q'92.設(shè)復(fù)數(shù)N滿足？+9=10J+22i,則3的值為.答案；5.解;：設(shè)2=+bi,由條件得（。+9）+bi=10q+（-10。+22）i.比較兩邊實(shí)虛部可得+9=10a.=-10/）+22,解得q=1"=2,故？=l+2i,進(jìn)而同=4.3 .設(shè)/（不是定義在K上的函數(shù)，若/口）+/是奇函數(shù)，/"十2'是偶函數(shù),則/的值為.答案；-；4解；由條件知，/+1=-(/(-1)+(-1)2)=-1)-1./。)+2=/(1)+3,兩式相加消去1）,可知21）+3=-!，即"1）

38、=-；244 .在AAQC中，若sin/=2sinC,11三條邊，瓦。成等比數(shù)列,則cos/的值為.答案:邛解:由正弦定理知，巴二包1=2,又從=所，于是=從csinC而由余弦定理得，cosA=bf;®辛"，=一旦"2t）c2xv2x145 .在正四面體/灰刀中，分別在棱力民力。上，滿足BE=3,E尸=4,且EF與面8CD平行，則AD印的面積為.解；由條件知，"'平行于8C,因?yàn)檎拿骟w力以。的各個(gè)面是全等的正三角形，故AE=AFEF=4,AD=AH=AE-VRE=7,由余弦定理得，DE=1心+力£L2dD-4£,co

39、7;60°=J49+16二2X=屈,作等腰MEF底邊EF上的高DH,則E=；E尸=2,故DH=ylDE2-EH2=而，于是$5廣=；EFDH=2而.6 .在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)集K=（/）|x,y=-l,0,1.在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離均不超過2的概率為.答案，之.14解;注意K中共有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為C：=84種.當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時(shí)，有如卜.三種情況；（1）三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種情況.（2）三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1,1,后的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有4x4=16種情況.（3）三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為加，血,2的等腰直用三角形的頂點(diǎn)，其

40、中，直角頂點(diǎn)位于（0,0）的有4個(gè)，直角頂點(diǎn)位于（土1,0）,（0,±1）的各有一個(gè),共有8種情況,綜上可知,選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為6-16+83。，進(jìn)而所求概率為患=147.設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系,r6中，二次曲線/十口/十/ =。的 焦距為4,則a的值為.答案；上半.2解：二次曲線方程可寫成一馬一 = 1顯然必須->（）,故二次曲線為雙曲 （T 線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為一一一J=l,則,2二（后）2+L尸=/-。，注意到焦距 W-。）* （一 ）2c = 4,可知八” =4,又"。，所以"=土乎8.若正整數(shù)n,b3滿足20172104型

41、00*000%則數(shù)組（4ac）的個(gè)數(shù)為答案：574.解，由條件知20171000=2.當(dāng)c=l時(shí)，10</）<20.對(duì)于每個(gè)這樣的正整數(shù)力，由10/>£。0201知,相應(yīng)的。的個(gè)數(shù)為202-10.從而這樣的正贅數(shù)組的個(gè)數(shù)為士(202-103)=002+2)xU=572/h-io2當(dāng)c = 2時(shí)，由20W/W2017100,知，二20.進(jìn)而2004。？201710故。=200,201.此時(shí)共有2組（4,瓦。）.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為572+2574.二、解答題；本大題共3小題，滿分56分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9 .（本題滿分16分）設(shè)

42、不等式|2；a|<|5-2時(shí)所有大匚|.2成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.解;設(shè)/=2：則在2,4,于是|/一0<5-/|對(duì)所有O成立,由于<（5-r）2o（21一。-5）（5。）<0.8分對(duì)給定實(shí)數(shù)-設(shè)/（。=-。-5乂5-必則/是關(guān)于f的一次函數(shù)或常值函數(shù).注意/24,因此數(shù)。<0等價(jià)于,12yr1/（4）=（3-公（5-）<0,解得3<a<5所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是3<<5.16分10 .本題滿分20分）設(shè)數(shù)列包J是等差數(shù)列，數(shù)列/J滿足2=】2.（1）證明:數(shù)列他也是等差數(shù)列;<2）設(shè)數(shù)列打、4的公差均是dxO,并且存在正整數(shù)5

43、J,使得巴+也是整數(shù)，求同的最小值.解：<1）設(shè)等差數(shù)列牝的公差是d,則（%+2凡+3-一（q+1。*+2=%式3一%+1）-3+1+“）（%+上一%）二4"2'2d-（4x+aJW=（2%.2=3所以數(shù)列也;也是等差數(shù)列.5分<2）由已知條件及（1>的結(jié)果知工/：_/因?yàn)椋?0,故這樣3Q=-4=例+d）q+2d）-2=3d%+2d=4.0分n”9若正整數(shù)5,/滿足f,則t224+=4+q+-=1+(s-l)d+%+(，-1)d+一0s+/22z=2al+-WZ397記/ = 2al +,則XZ,且1防=3(3/-s-/+1)+1是一個(gè)非零的IKu.>

44、;b從而，”二IS15分又當(dāng)=時(shí)，有“+bn-k=IGZ.IK181820分綜上所述，同的最小值為A.II.C本題滿分20分)在平面直角坐標(biāo)系.0r中，曲線C：./=4x,曲線g：a-4)2十/=8.經(jīng)過C上一點(diǎn)戶作一條幀斜角為45。的直線/,與G交于兩個(gè)不同的點(diǎn)0,兄.求|P0|,|PR|的取值范圍.解；設(shè)外產(chǎn),2/1,則宜線/的方程為>，="十2一八代入曲線G的方程得，(*-4卜+(.k+2/-/)2=8,化簡(jiǎn)可得2V2(產(chǎn)一21+4)x+(r+8=0.由于/與G交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故關(guān)于文的方程的判別式為正.計(jì)算得.=(/2-2/-|-4)2-2(/2-2r)2+8)=(/2-2/>2-8(/2-2/)+16-2(/2-2/)2-164=-(r-2r1+8(產(chǎn).2/)=-a2-2f)(C-2/-8)=-/(/-2地+2)(-4)，因此有/(-2,0)11(2.4),10分設(shè).火的橫坐標(biāo)分別為知X”由知，X,+a=/-2/+4,/0=-(r-21)24-8),2因此，結(jié)合/的幀斜角為45?？芍?，|圖網(wǎng).近a-產(chǎn))/&-r)=2x,x2-2r(xli-4)+2r=(r-2t)2+«-2r(r-2r+4)-b2?=/一4-十4八十82/十4，；一Sr：+2/4=/4-4/2+8=